2.3确定二次函数的表达式课堂练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

2.3确定二次函数的表达式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知抛物线经过点(0，5)，且顶点坐标为(2，1)，关于该抛物线，下列说法正确的是（    ） A．表达式为 B．图象开口向下 C．图象与轴有两个交点 D．当时，随的增大而减小 2．如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　 A． B． C． D． 3．在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中经过哪三个点的a的值最大（    ） A．点A，点B，点C B．点A，点C，点D C．点A，点B，点D D．点B，点C，点D 4．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为（    ） A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3 C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋3 5．若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 6．抛物线y=－2x2－x+1的顶点在第_____象限(    ) A．一 B．二 C．三 D．四 7．将如图所示抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式是（    ） A． B． C． D． 8．小明在研究某二次函数时列表如下： … 0 2 3 … … 11 6 3 3 6 … 当自变量满足时，下列说法正确的是（    ） A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2 C．有最大值6，有最小值3 D．有最大值6，有最小值2 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x …… ﹣1 0 1 2 …… y …… 0 3 4 3 …… 那么关于它的图象，下列判断正确的是（    ） A．开口向上 B．与x轴的另一个交点是(3，0) C．与y轴交于负半轴 D．在直线x＝1的左侧y随x的增大而减小 10．已知抛物线过、和三点，那么、、的值分别是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．设函数(a，h，k是实数，)，当时，，当时，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．已知二次函数的图象与y轴交点坐标为，与x轴交点坐标为和，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．    14．已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表： 0 2 6 0 6 下列结论： ①； ②当时，函数最小值为； ③若点，点在二次函数图象上，则； ④方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+5的图象与y轴交于点B，以点C为圆心的半圆与抛物线y＝﹣x2+bx+5相交于点A、B．若点C的坐标为（﹣1，），则b的值为 ． 16．如图是二次函数的图像，该函数的最小值是 ． 17．如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论： ①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论是 ．（填序号）． 三、解答题 18．请写出如图所示的抛物线的解析式： 19．已知抛物线经过（3，5），A（4，0），B（-2，0），且与y轴交于点C． （1）求二次函数解析式； （2）求△ABC的面积． 20．已知二次函数的图象经过点，．求二次函数的解析式． 21．如图，在平面直角坐标系中，过点P（﹣，）的抛物线．分别交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧） (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点Q是抛物线对称轴上一点，当取得最小值时，求点Q的坐标； (3)当M（m，0），N（0，n）两点满足：， ，且时，若符合条件的M点的个数有2个，直接写出n的取值范围． 22．直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，一抛物线的顶点为A，且经过点B． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点C（m，－4.5）在抛物线上，求m的值 23．分别求出符合下列条件的抛物线y=ax2的解析式： (1)经过点(-3，2)； (2)与y=x2开口大小相同，方向相反. 24．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）． （1）求该函数的关系式； （2）求当横坐标取﹣3和1时所对应的函数值； （3）根据（2）计算，直接写出当x的值在什么范围时，所对应的函数值大于0． 《2.3确定二次函数的表达式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B A B B B B D 题号 11 12 答案 C B 1．D 【分析】由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将(0，5)代入解析式求解． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为(2，1)， ∴， 将(0，5)代入得， 解得， ∴，故选项A不符合题意； ∵a=1>0， ∴图象开口向上，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为(2，1)，且图象开口向上， ∴图象与轴没有有两个交点，故选项C不符合题意； ∵a=1>0，且对称轴为直线x=2， ∴时，随增大而减小，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． 2．B 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可． 【详解】对称轴在y轴的右侧， ， 由图象可知：， ，故不正确，不符合题意； 当时，， ，故正确，符合题意； 由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确，符合题意； ， ， ， ， ，故不正确，不符合题意； 当时，y的值最大此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故正确，符合题意， 故正确， 故选B． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 3．C 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法，求过，，，中的三个点的二次函数解析式，继而解题． 【详解】解：设过三个点，，的抛物线解析式为： 分别代入，，得 解得； 设过三个点，，的抛物线解析式为： 分别代入，，得 解得； 设过三个点，，的抛物线解析式为： 分别代入，，得 解得； 设过三个点，，的抛物线解析式为： 分别代入，，得 解得； 最大为， 故选：C． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．B 【分析】由题意可知：该抛物线的解析式为y=-2（x-h）2+k，然后将顶点坐标代入即可求出解析式． 【详解】解：由题意可知：该抛物线的解析式为y=-2（x-h）2+k， 又∵顶点坐标（-1，3）， ∴y=-2（x+1）2+3， 故答案为y=-2（x+1）2+3． 故选B． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，若两抛物线形状与开口方向相同，则它们二次项系数必定相同． 5．A 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，直接设抛物线为，再进一步求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点， ∴设二次函数为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 故选：A 6．B 【分析】直接根据顶点坐标公式求出顶点坐标，再判断顶点所在的象限即可． 【详解】∵a=-2，b=-1，c=1， ∴-==，==， ∴顶点坐标为（，）， ∴顶点在第二象限. 故选B. 【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．熟记顶点坐标公式是解题关键. 7．B 【分析】先根据图像信息求解原抛物线的解析式，然后利用平移法则求解即可． 【详解】解：由题意，原抛物线顶点为，过点， ∴设原抛物线解析式为：， 将代入得：， ∴， ∴原抛物线解析式为， ∴将原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到， 故选：B． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，以及二次函数图象平移，掌握二次函数的顶点式以及平移法则是解题关键． 8．B 【分析】先用待定系数法求出二次函数解析式，改成顶点式，找出二次函数图像的对称轴，结合自变量的取值范围即可求得最值． 【详解】解：由题意，二次函数的图象经过，，，代入函数解析式， 可得， 解得， 该二次函数的解析式为， 该二次函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线． ，，， 时，y取最小值，， 时，y取最大值，， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，利用待定系数法求出函数解析式，找出函数图象的对称轴是解决问题的关键． 9．B 【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，结合解析式和二次函数的性质解答． 【详解】解：由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为． 将（-1，0）代入，得 ， 解得a=-1． 即： 对称轴为： A、∵a=-1＜0，∴抛物线的开口方向向下，故本选项A错误； B．x＝﹣1时，y＝0，根据函数的对称性，x＝3时，y＝0，故x＝3是方程ax2+bx+c＝0的一个解正确，符合题意； C．x＝0，y＝3，故与y轴交于正半轴，故本选项C错误，不符合题意； D．在直线x＝1左侧y随x的增大而增大，故本选项D错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 10．D 【分析】将、和三点代入抛物线过,利用待定系数法求得该抛物线的解析式. 【详解】 ， 解得，. 所以D选项是正确. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式.解答该题时,借用了二次函数图象上的点的坐标特征,经过图象上的某点一定在该函数图象上，熟悉掌握是关键. 11．C 【分析】 本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．当时，；当时，代入函数解析式整理得，将的值分别代入即可得出结果． 【详解】 解：当时，；当时，；代入函数式得：， ， 整理得： 若，则，故A错误； 若，则，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则，故D错误； 故选：C． 12．B 【分析】设二次函数解析式，利用待定系数法即可求即． 【详解】解：设二次函数解析式， ∵二次函数的图象与y轴交点坐标为， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交点坐标为和， ∴， 解得， ∴二次函数解析式． 故选择B． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求二次函数解析式方法是解题关键． 13．②③ 【详解】分析：①观察函数图象，可知：当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＞2时，M=y1，结论①错误； ②观察函数图象，可知：当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＜0时，M=y1，再利用二次函数的性质可得出M随x的增大而增大，结论②正确； ③利用配方法可找出抛物线y1=-x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值不存在，结论③正确； ④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x值，由此可得出：若M=2，则x=1或2+，结论④错误． 此题得解． 详解：①当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方， ∴当x＞2时，M=y1，结论①错误； ②当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方， ∴当x＜0时，M=y1， ∴M随x的增大而增大，结论②正确； ③∵y1=-x2+4x=-（x-2）2+4， ∴M的最大值为4， ∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确； ④当M=y1=2时，有-x2+4x=2， 解得：x1=2-（舍去），x2=2+； 当M=y2=2时，有2x=2， 解得：x=1． ∴若M=2，则x=1或2+，结论④错误． 综上所述：正确的结论有②③． 故答案为②③． 点睛：本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 14．①③④ 【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点和点代入解析式求出y1、y2即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得： ，解得：， ∴二次函数的解析式是， ∴a=1＞0，故①正确； 当时，y有最小值，故②错误； 若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确； 当y=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，正确的结论是：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键． 15． 【分析】先求出点B坐标，再根据中点坐标公式得到点C坐标，再代谢求出b的值． 【详解】∵二次函数的图象与y轴交于点B， ∴B点坐标为(0,5)， ∵点A，B关于点C对称，且C， ∴A点坐标为(﹣2,2)， 将A点代入函数解析式得：2=﹣4﹣2b+5， 解得b=. 故答案为. 16． 【分析】先根据二次函数的对称轴为直线可求出的值，再将点代入可求出的值，然后求出时，的值即可得． 【详解】解：由图像可知，此函数的对称轴为直线，函数的图像经过点， 则，， 解得， 将代入得：，解得， 则二次函数的解析式为， 当时，， 即该函数的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像、以及最值，读懂二次函数的图像是解题关键． 17．①②③④ 【分析】①根据二次函数的对称轴，，即可判断出；②结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断；③结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；④运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确； ∵， ∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0， ∴， ∴，故③正确； ∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为，将代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴当时，； ∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确； 综上所述，①②③④均正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键． 18． 【详解】设二次函数为， ， 解得：a ＝ ，b＝ 3，c＝1 所以二次函数为 19．（1）二次函数解析式为；（2）△ABC的面积为24． 【分析】（1）直接利用待定系数法求出函数解析式，进而得出答案； （2）先求出C点的坐标，利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为(a≠0)， 将(3，5)代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为． 即； （2）令x=0，则y=8， ∴C(0，8)， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法与三角形的面积公式是解题的关键． 20． 【分析】根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，将，代入得方程组，求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算． 21．(1)抛物线的函数表达式为； (2)点Q的坐标为； (3)n的取值范围为． 【分析】（1）将点P的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）求出抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点A、B两点的坐标，根据对称性可知A、B两点关于对称轴l对称，连接AC，交对称轴l于点Q，连接BQ，此时取最小值，求出直线AC的函数表达式即可求出点Q的坐标； （3）分别求出、、，当时，根据勾股定理可得，化简可得关于m的一元二次方程，由符合条件的M点的个数有两个可得，解不等式结合已知条件即可求解． 【详解】（1）解：∵点P（﹣，）在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴l为， 当时， 解得， ， ∴A（﹣3，2），B（1，0）． 当时， ， 即点C（0，2）． ∵A，B两点关于对称轴l对称， ∴连接AC，交对称轴l于点Q， 此时取得最小值，即为AC的长． 设直线AC的函数表达式为，将A（﹣3，2），点C（0，2）代入，得 ∴ 解得 ∴， 当时，， ∴点Q的坐标为． （3）解：∵M（m，0），n（0，n）,， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∵符合条件的M点的个数有2个， ∴， ∴，解得： ， ∵， ∴n的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，包括待定系数法求函数解析式、抛物线的对称性、勾股定理等，解题的关键是用方程的思想解决问题． 22．（1）y=-0.5(x+2)；(2)1或-5 【详解】试题分析：（1）利用x轴上的点y坐标为0，y轴上的点x坐标为0代入直线的表达式求出A、B点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把x=m时，y=﹣4.5代入抛物线的表达式求出m． 试题解析：解：（1）由直线y=﹣x﹣2，令x=0，则y=﹣2，∴点B坐标为（0，﹣2），令y=0，则x=﹣2，∴点A坐标为（﹣2，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣h）2+k．∵抛物线顶点为A，且经过点B，∴y=a（x+2）2，∴﹣2=4a，解得：a=﹣0.5，∴抛物线解析式为y=﹣0.5（x+2）2，即y=﹣0.5x2﹣2x﹣2； （2）∵点C（m，﹣4.5）在抛物线y=﹣0.5x2﹣2x﹣2上，∴﹣0.5m2﹣2m﹣2=﹣4.5，∴m2+4m﹣5=0，解得：m1=1，m2=﹣5． 23．(1) y=；(2) y= . 【详解】试题分析：（1）把点（-3，2）代入解析式即可求得； （2）由开口大小相同，可知|a|一样，方向相反，可知互为相反数，由此可得. 试题解析：（1）∵y=ax2过点(-3，2)，∴2=a×(-3)2，则a=， ∴解析式为y=x2； （2）∵y=ax2与抛物线y=x2开口大小相同，方向相反， ∴a=- ， ∴解析式为. 【点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线解析式，关键是要正确进行计算. 24．（1）y=-（x+1）2+4；（2）0；（3）-3<x<1 【分析】（1）已知顶点A（﹣1，4），则设顶点式y=a（x+1）2+4，再代入点B求出a即可； （2）将x=-3和x=1分别代入函数求出y值即可； （3）根据（2）求出的结果可知x=-3和x=1时，y=0，再根据a的值得出抛物线开口方向，即可判断y>0时x的取值范围. 【详解】解：（1）已知顶点A（﹣1，4），则设顶点式y=a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入，得 -5= a（2+1）2+4， 解得a=-1， 则函数解析式为y= -（x+1）2+4=-x2-2x+3； （2）当x=-3时，y=-（-3+1）2+4=0， 当x=1时，y=-（1+1）2+4=0； （3）由x=-3和x=1时，y=0，且a=-1<0，即抛物线开口向下， 则当-3<x<1时，所对应的函数值大于0． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟悉顶点式和二次函数的性质. 学科网（北京）股份有限公司 $