精品解析：广东深圳市第三高级中学2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试卷

深圳市第三高级中学2025-2026学年第一学期期末考试 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）条件. A 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 3. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知函数则=（    ） A. B. C. 1 D. 2 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 设x、y、z为正数，且，则 A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 定义在上奇函数满足：当，，则__________． 13. 已知函数的部分图象如图所示，则___________. 14. 已知函数满足为奇函数，若函数与图象的交点为，，…，，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值； （3）已知角的终边过点，求的值. 16. 如图所示，设矩形的周长为24，把它沿翻折，翻折后交于点，设. （1）用表示，并求出的取值范围; （2）求面积的最大值及此时的值. 17. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若求的值域 （3）若求的值 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）求的零点； （2）设函数的最大值为，求的解析式； （3）若任意，存在，使，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市第三高级中学2025-2026学年第一学期期末考试 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解． 【详解】因为， 所以， 故选：B． 2. “”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为不能推出，而能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点所在的象限，判断，的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角终边所在的位置. 【详解】因为点是第四象限的点， 所以且. 所以角的终边位于第二象限. 故选：B 4. 已知函数则=（    ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】代入即可求解. 【详解】. 故选：D. 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数单调性和，再结合零点存在定理即可得解. 【详解】因为函数和均为单调递增函数， 所以函数为单调递增函数， 又，所以， 所以由零点存在定理可知函数的零点所在的区间为. 故选：B. 6. 如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案. 【详解】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意； 对于B，当时，，不符合题意； 对于C，，定义域为，函数为偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增，符合题意； 对于D，，当时，，不符合题意， 故选：C 7. 已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点，代入可得，再利用辅助角公式化简得，再根据平移变换求解即可． 【详解】依题意，得，得， 所以， ， 了得到的图象，需要将函数的图象, 需要将函数的图象向左平移个单位长度． 故选：A． 8. 设x、y、z为正数，且，则 A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z 【答案】D 【解析】 【详解】令，则，， ∴，则， ，则，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由幂函数、指数函数、对数函数的奇偶性与单调性直接判断即可. 【详解】对于A，，既是奇函数，又是增函数，符合题意； 对于B，，为增函数，不是奇函数，不符合题意； 对于C，定义域为，非奇非偶函数，是增函数，不符合题意； 对于D，，为幂函数，既是奇函数，又是增函数，符合题意； 故选：AD. 10. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用与的关系，结合求解判断；对C，由选项B，结合条件求出得解；对D，由平方差公式结合选项B求解. 【详解】对于A，由，则，化简得，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质. 【详解】对A：令，，则， 因为，所以，故A正确； 对B：令得：，结合可得， 所以为偶函数，故B错误； 对C：令可得：，因， 所以， 进一步可得：， 又，，故， 故，依次有, 所以，故C正确； 对D：令可得：; 用代替，得：， 结合C的结果，可得：，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB相对简单，对C，令得到后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对D，用和用代替，是解决问题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 定义在上的奇函数满足：当，，则__________． 【答案】 【解析】 分析】根据奇函数性质求得，再由奇函数对称性求函数值. 【详解】∵是定义在上的奇函数， ∴，则， ∴． 故答案为： 13. 已知函数的部分图象如图所示，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由图可得，即可求得：，再由图可得：当时，结合即可得，代入即可求解. 【详解】由图可得：， 所以，解得： 由图可得：当时，， 即：，所以 （） 又，所以， ， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据“五点法”求函数图象的解析式，一般先根据周期求，再由特殊点求，属于中档题. 14. 已知函数满足为奇函数，若函数与的图象的交点为，，…，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由为奇函数，确定关于对称，再判断也关于对称，进而可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以关于对称， 因为， 所以的对称中心为，， 所以也关于对称， 所以与两个图象的交点也关于对称， 所以对于每组对称点和均满足，， 又，， 故必为其中一个交点，所以交点个数为奇数， 因此所有交点横坐标和为，所有交点纵坐标和为， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值； （3）已知角的终边过点，求的值. 【答案】（1）1；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据分式指数幂的化简计算即可求解； （2）根据对数的换底公式与对数的运算性质计算即可求解； （3）根据三角函数的定义和诱导公式的化简计算即可求解. 【详解】（1）原式； （2）由，得， 所以； （3）由题意知，， 所以. 16. 如图所示，设矩形的周长为24，把它沿翻折，翻折后交于点，设. （1）用表示，并求出的取值范围; （2）求面积最大值及此时的值. 【答案】（1） （2）最大值为，此时. 【解析】 【分析】（1）根据题意，在中，利用勾股定理即可用表示出，结合可求得的取值范围； （2）由（1）中结合三角形的面积公式即可直接写出面积表达式，再利用基本不等式可求出最大值. 【小问1详解】 由矩形的周长为24，且，可得， 在中，易知，所以可得，因此； 所以， 在中，由勾股定理可得，整理可得， 又，即，依题意解得， 即可得 【小问2详解】 在中，； 又，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 即当时，面积的最大值为. 17. 已知函数． （1）求函数单调递增区间； （2）若求的值域 （3）若求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用正弦函数的单调性计算求解； （2）应用正弦函数的值域计算求解； （3）先应用同角三角函数求解得出，最后结合两角和正弦公式计算即可. 【小问1详解】 因为， 令， 得， 所以的单调递增区间为 【小问2详解】 函数，当时，， 结合正弦函数的性质可得： 当时，即，函数； 当时，即，函数． 所以，故的值域为． 【小问3详解】 ． ，． 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由是奇函数得，代入整理得； （2）判断单调性采用定义法，设为区间内的任意两个值，且，计算出，说明函数是增函数； （3）结合函数奇偶性、单调性转化为对任意恒成立恒成立，然后分类讨论求解. 小问1详解】 由题意可得：=， ∵是奇函数， ∴，即 ， 所以， ∴，即， 即. 【小问2详解】 是上的增函数，证明如下： 设为区间内的任意两个值，且， 则，， ∵= =， 即， ∴是上的增函数. 【小问3详解】 由（1）（2）知，是上的增函数，且是奇函数. ∵， ∴， ∴， 即对任意恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，只需，解得， 综上，实数的取值范围 19. 已知函数. （1）求的零点； （2）设函数的最大值为，求的解析式； （3）若任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由得，解该方程即可得解； （2）先由题设得，构造函数，分、和三种情况结合二次函数单调性分析讨论即可求解. （3）求出最小值和的最小值即可求解. 【小问1详解】 令，则， 所以的零点是. 【小问2详解】 ， 设，则，， 由二次函数在上的单调性可知 当即时，； 当即时，； 当即时，， 所以. 【小问3详解】 由条件可知的最小值不小于的最小值， 因为，所以的最小值是， ， 若时，当，取得最小值， 所以，且，故， 若时，当，取得最小值， 所以，且，故， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $