10.2 事件的相互独立性（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“事件的相互独立性”核心知识点，通过清明节志愿者选天情境引入，系统梳理相互独立事件的定义（P(AB)=P(A)P(B)）、性质（独立事件的对立事件也独立）及乘法公式，构建从概念探究到综合应用的学习支架。 资料以现实情境（如设计团队成功概率、破译密码）引导学生用数学眼光观察，通过定义法与直接法判断独立性培养数学思维，用符号公式表达概率关系提升数学语言能力。课中辅助教师授课，课后跟踪训练与巩固题帮助学生查漏补缺。

10.2 事件的相互独立性 学习目标 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义. 2.掌握相互独立事件概率的乘法公式. 3.能运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题. 新知学习 探究 新课导学 清明节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在这三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天.记事件甲选的是第一天，乙选的是第一天. 思考 你认为事件是否发生会影响事件发生的概率吗？，，三者之间有何关系？ 提示： 事件是否发生不会影响 事件发生的概率，. 一 相互独立事件的判断 相互独立事件 相关内容 定义 对任意两个事件与，如果①________________成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立 性质 若事件与相互独立，那么与②________，与③______，与也都相互独立 【答案】； ； ［提醒］ 如果三个事件，，两两互斥，那么概率加法公式 成立，但当三个事件，，两两独立时，等式 一般不成立. 例1 （对接教材例1）有两个设计团队，一个比较稳重，记作，另一个具有创新性，记作.某公司要求他们分别在一个月内做一个设计，从过去的经验知道：的成功概率为；的成功概率为；两个团队中至少有一个成功的概率为. 试推断的成功及的成功是否相互独立，并说明理由. 【解】 的成功与 的成功不相互独立. 理由如下：，，， 因为， 所以, 从而可得 的成功与 的成功不相互独立. 两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响； （2）定义法：如果事件，同时发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率的积，则事件，为相互独立事件． ［跟踪训练1］． （1） 甲、乙两名射手同时射击，设事件为“甲击中目标”，事件为“乙击中目标”，则事件与事件（ ） A. 相互独立但不互斥 B. 互斥但不相互独立 C. 相互独立且互斥 D. 既不相互独立也不互斥 （2） 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 （ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】（1） A （2） B 【解析】 （1） 选A.甲、乙两射手同时射击，是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；甲、乙两射手可能同时击中目标，即事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.故选A. （2） 选B.事件甲发生的概率（甲），事件乙发生的概率（乙），事件丙发生的概率（丙），事件丁发生的概率（丁）.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，（甲丙）（甲）（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为，（甲丁）（甲）（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为，（乙丙）（乙）（丙），故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B. 二 相互独立事件概率的计算 例2 （对接教材例2）甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和,求： （1） 两人都译出密码的概率； （2） 至多一人译出密码的概率. 【答案】例2 【解】 记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件,与 为相互独立事件，且,. （1） “两人都译出密码”的概率为 . （2） “至多一人译出密码”的对立事件为“两人都译出密码”，所以至多一人译出密码的概率为. 【变式探究】 （设问变式）在本例条件下，求： （1） 两人都译不出密码的概率； （2） 恰有一人译出密码的概率. 【答案】（1） 解：两人都译不出密码的概率为. （2） “恰有一人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有一人译出密码的概率为. 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤 （1）用恰当的字母表示题中有关事件； （2）根据题设条件，分析事件间的关系； （3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和（相乘的事件之间必须满足相互独立）； （4）利用乘法公式计算概率. ［跟踪训练2］． （1） 甲盒中有200个螺杆，其中有160个型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个型的．现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成型螺栓的概率为（ ） A. B. C. D. （2） 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，若选手能连续正确回答出2个问题，则停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题是否回答正确相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为____________. 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选C.设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件，则事件 与 相互独立，，，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为. （2） 若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错，因为每个问题回答是否正确相互独立，故所求概率为． 三 相互独立事件的综合应用 例3 （对接教材例3）排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球都完成得分，谁取胜谁就得1分，得分的队拥有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束．甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各队发球的胜负结果相互独立．若甲、乙两队双方平后，甲队拥有发球权． （1） 当时,求两队共发2次球就结束比赛的概率； （2） 当时，求甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率． 【答案】 （1） 【解】当 时，两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分或均由乙队得分，且两个事件互斥.记事件“时，两队共发2次球就结束比赛”，因为各队发球的胜负结果相互独立，所以. 故当 时，两队共发2次球就结束比赛的概率为. （2） 当 时,甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以 或 取得该局胜利. 记事件“甲以 取得该局胜利”，“甲以 取得该局胜利”，“当 时，甲队得25分且取得该局比赛胜利”. 因为各队发球的胜负结果相互独立，且,互斥，所以, , 则. 故当 时，甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为. 求较复杂事件的概率的方法 （1）列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示出来； （2）厘清事件之间的关系（两事件是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式； （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. ［跟踪训练3］． （1） 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且每个开关是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. （2） 某中学的“信息技术”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员．已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息技术”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，，，且他是否通过每个考核相互独立．若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则________. 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选C.记“A，B，C，D四个开关闭合”分别对应事件A，B，C，D，四个事件相互独立.题图中含开关的三条线路同时断开的概率为，所以灯亮的概率. （2） 依题意，得 即 解得. 课堂巩固 自测 1．（教材P252T1改编）若，，，则事件，的关系为（ ） A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】选C.因为，所以，由 可知事件，B相互独立. 2．（教材 改编）甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是（ ） A. 0.3 B. 0.63 C. 0.7 D. 0.9 【答案】B 【解析】选B.设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，则.故选B. 3．（多选）已知随机事件与相互独立，且发生的概率为，发生且不发生的概率为，则（ ） A. 发生的概率为0.6 B. 发生且不发生的概率为0.2 C. 或发生的概率为0.9 D. 与同时发生的概率为0.2 【答案】BD 【解析】选.依题意，A与B相互独立，，,，所以，A错误；，所以，B正确；A或B发生的概率为，C错误；，D正确.故选. 4．一台机床有的时间加工零件，其余时间加工零件．加工零件时，停机的概率为，加工零件时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为__________. 【答案】 【解析】由题意知，加工零件 且停机的概率是，加工零件 且停机的概率是,即这台机床停机的概率是. 5．某班级准备到郊外野营，为此向商店订购了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨．则他们淋雨的概率是________. 【答案】 【解析】由题意，表示下雨，表示准时收到帐篷，且， 所以淋雨的可能性为． 1.已学习：事件的相互独立性含义、相互独立事件概率的计算及综合应用. 2.须贯通：判断两个事件是否相互独立有两种方法：一是根据事件的含义判断事件发生与否对事件发生的概率是否有影响；二是根据定义判断是否成立. 3.应注意：事件的互斥性与独立性之间的关系. 学科网（北京）股份有限公司 $