10.1.4 概率的基本性质（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦概率的基本性质这一核心知识点，从甲、乙下棋实例引入，系统梳理性质1至性质6，构建互斥事件、对立事件概率计算及综合应用的学习支架，形成从具体到抽象的知识脉络。 该资料以实例驱动（如电话被接、掷骰子问题），引导学生用数学眼光观察现实，通过性质推导与例题解析发展逻辑推理（数学思维），即时练与跟踪训练强化数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，巩固知识。

10.1.4 概率的基本性质 学习目标 1.通过实例，理解概率的性质. 2.掌握随机事件概率的运算法则. 新知学习 探究 新课导学 甲、乙两人下棋，甲不输的概率是，两人下成平局的概率是0.3. 思考 甲获胜的概率是多少？ 提示：甲不输包括甲获胜和平局两种情形，故甲获胜的概率是0.3. 一 概率的基本性质 性质1：对任意的事件，都有①____________. 性质2：必然事件的概率为②____，不可能事件的概率为③____，即④____,⑤____. 性质3：如果事件与事件互斥，那么⑥________________. 推广：如果事件,， ，两两互斥，那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么⑦______________,⑧____________. 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为 ,所以. 性质6：设,是一个随机试验中的两个事件，我们有. 【答案】； 1； 0； 1； 0； ； ； 【即时练】 1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 任意事件发生的概率的范围是.（ ） （2） 事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率.（ ） （3） 若事件与事件互斥，则.（ ） （4） 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级属于次品，若生产中出现乙级品的概率为，出现丙级品的概率为，则抽查一件产品，恰好是正品的概率为0.96.（ ） 【答案】（1） × （2） × （3） × （4） √ 2．投掷一枚质地均匀的骰子，设事件为“掷得偶数点”，事件为“掷得的点数是2”，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.因为,, 所以,, 故. 3．已知，，，则____. 【答案】0.2 【解析】因为，所以. （1）由于事件的样本点数总是小于或等于试验的样本空间，所以任何事件的概率都在区间内，即. （2）利用概率性质进行计算，要注意每一条性质使用的条件，不能断章取义. 二 互斥事件、对立事件的概率 例1 （对接教材例11）某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35. （1） 打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？ （2） 打进的电话响4声而不被接的概率是多少？ 【答案】 （1） 【解】设事件“电话响第 声时被接”，则事件 彼此互斥. 设事件“打进的电话在响5声之前被接”. 根据互斥事件概率加法公式，得. （2） 事件“打进的电话响4声而不被接”是事件 的对立事件，记为. 则. 互斥、对立事件概率的计算思路 （1）运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要判断事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为若干个两两互斥的事件，然后求出各事件的概率，用互斥事件的概率加法公式得出结果. （2）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题. ［跟踪训练1］． （1） 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于的概率为，质量小于的概率为，那么质量在范围内的概率是（ ） A. 0.62 B. 0.38 C. 0.02 D. 0.68 （2） 一个盒子里装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.有放回地随机抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，，则，，不完全相同的概率为________. 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选C.设“质量小于”为事件A，“质量小于”为事件B，“质量在”为事件C，则,且A,C为互斥事件，所以，则. （2） 由题意知，试验的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共27个样本点.“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的对立事件包括的样本点有，，，共3个，所以. 三 不互斥事件的和的概率 例2 某学校举办数学、物理、化学三个学科的专业知识竞赛，高一某班共有50名同学参加（至少参加一个项目且不能同时参加物理和化学竞赛），若从中随机抽取一名同学，该同学参加数学竞赛的概率为，参加物理竞赛的概率为，同时参加数学和物理竞赛的概率为. （1） 求该班只参加化学竞赛的学生人数； （2） 若从该班50名学生中随机抽取一名学生，该名学生只参加化学竞赛的概率是只参加数学竞赛的概率的两倍，求该同学同时参加数学和化学竞赛的概率. 【答案】 （1） 【解】设该同学参加数学竞赛为事件，参加物理竞赛为事件，参加化学竞赛为事件， 只参加化学竞赛为事件， 则, 则只参加化学竞赛的学生人数为. （2） 设只参加数学竞赛为事件，由题及（1）知， ，解得， 故该同学同时参加数学和化学竞赛的概率 . 不互斥事件的和的概率求法 若事件,不互斥，则，往往根据的含义，利用古典概型求出；若,互斥，则有，此时，对，两个事件而言，是更一般的概率加法公式. ［跟踪训练2］．某家族有，两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，，两种性状都不出现的概率为，则该成员，两种性状都出现的概率为________. 【答案】 【解析】设事件“该成员出现 性状”，事件“该成员出现 性状”，则事件“该成员，两种性状都不出现”，事件“该成员两种性状都出现”．由题意得,,,所以,又,所以. 四 概率性质的综合应用 例3 （对接教材例12）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下骰子朝上的点数．若用表示第一次抛掷出的点数，用表示第二次抛掷出的点数，用表示这个试验的一个样本点. （1） 记“两次点数之和大于9”，“至少出现一次点数为3”，求事件，的概率; （2） 甲、乙两人玩游戏，双方约定：若为偶数,则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明理由. 【答案】（1） 【解】依题意，先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有36个样本点，其中事件，，，，，，即事件 包含6个样本点，所以事件 的概率为.事件，，，，，，，，，，，即事件 包含11个样本点，所以事件 的概率为. （2） 不公平.理由如下：设事件“为偶数”，事件,,事件,,可得,.因为事件 与事件 互斥，且，所以.因此甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，而,故这种游戏规则不公平. 求复杂事件概率的策略 （1）当所求事件可以转化为几个彼此互斥的事件的和，可以利用互斥事件和的概率公式；若事件，不互斥，可利用一般的概率加法公式. （2）对于一些复杂事件，可先求此事件的对立事件的概率，再利用公式来计算此事件的概率. ［跟踪训练3］．从11至14世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》.某学校团委为拓展学生课外学习兴趣，现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉的著作的概率为________. 【答案】 【解析】方法一：从五部著作中任意选择两部，样本空间中样本点的个数，设事件“所选的两部中至少有一部不是杨辉的著作”，则“所选的两部都是杨辉的著作”，事件 包含的样本点的个数，则. 方法二：从五部著作中任意选择两部，样本空间中样本点的个数，事件“所选的两部中至少有一部不是杨辉的著作”包含的样本点的个数，则所选的两部中至少有一部不是杨辉的著作的概率. 课堂巩固 自测 1．（教材P245练习T1改编）下列说法正确的是（ ） A. 若，为两个随机事件，则 B. 若事件，,两两互斥，则 C. 若，为互斥事件，则 D. 若,则 【答案】C 【解析】选C.对于A，当A，B为互斥事件时，才有，所以A错误；对于B，当事件A，B,C两两互斥，且 时，才有，所以B错误；对于C，当A，B为互斥事件时，，所以C正确；对于D，由概率的性质可知，若,则,所以D错误. 2．从1，2，3， ，30这30个数中任意摸出一个数，则摸出的数是偶数或能被5整除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.设事件“摸出的数为偶数”，事件“摸出的数能被5整除”， 则，，， 所以.故选B. 3．某池塘有,,,四种鱼，若从中随机捕捉一条，捕到种鱼的概率为，种鱼的概率为，捕到不是种鱼的概率为，则捕到种鱼的概率为____. 【答案】0.26 【解析】捕到 种鱼的概率为，则捕到 种鱼的概率为. 4．（教材P247T13改编）某射击运动员在一次射击中射中10环,9环,8环,7环,7环以下的概率分别为，，，，.求这个运动员在一次射击中， （1） 射中10环或9环的概率； （2） 至少射中7环的概率. 【答案】4．解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为，，，，. （1） . 所以射中10环或9环的概率为0.3. （2） 因为射中7环以下的概率为， 所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为. 1.已学习：概率的基本性质. 2.须贯通：（1）使用互斥事件的概率加法公式必须满足各事件彼此互斥，否则使用更一般的概率加法公式； （2）求复杂事件的概率常有两种方法：一种是将所求事件拆分为彼此互斥事件的并事件，体现了化难为易的思想方法，一种是求其对立事件的概率，体现了正难则反的思想方法. 3.应注意：（1）互斥事件的概率加法公式的应用条件； （2）将事件拆分为若干个互斥事件时，要不重复、不遗漏. 学科网（北京）股份有限公司 $