9.1.2 分层随机抽样 9.1.3 获取数据的途径（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦分层随机抽样（含定义、比例分配、样本平均数估计）及获取数据的途径，从实际问题引入抽样必要性，通过定义学习、比例分配方法掌握、样本平均数计算，到数据获取途径分类，构建完整知识支架。 以真实情境（如学校新生调查、公司销售点研究）引导学生用数学眼光发现问题，通过例题推理与跟踪训练培养数学思维，结合数据途径分类强化数据意识。课中助教师高效教学，课后帮学生巩固知识、查漏补缺。

9.1.2 分层随机抽样 9.1.3 获取数据的途径 学习目标 1.通过具体实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性. 2.掌握各层样本量比例分配的方法. 3.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本平均数. 4.了解获取数据的途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、普查和抽样、互联网、试验设计等. 新知学习 探究 新课导学 某校高一新生共900人，其中男生500人，女生400人．学校想了解高一新生对文史类课程的看法，以便开设相关选修课程，准备从高一新生中抽取45人进行访谈． 思考 如何抽样，才能提高调查结果的有效性？ 提示：可以将男生和女生看作两个群体，对两个群体分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本，即采用分层随机抽样的方法. 一 分层随机抽样 1．定义 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行①________________，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为②________，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为③__. 【答案】简单随机抽样； 总样本； 层 2．比例分配 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小④________，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 【答案】成比例 例1 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品的销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，完成这两项调查宜分别采用什么方法? 【解】 调查①：总体中个体差异明显，适合用分层随机抽样；调查②：总体中个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样. 抽样方法的选取 （1）看总体是否由差异明显的几个部分组成.若是，则选用分层随机抽样；否则，考虑用简单随机抽样． （2）看总体容量和样本量的大小．当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本量较小时，采用随机数法．简单来说，总体容量小，简单随机抽样；总体差异明显，分层随机抽样.在实际抽样中，为了使样本具有代表性，通常要同时使用几种抽样方法． ［跟踪训练1］．下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是（ ） A. 从10名同学中抽取3人参加座谈会 B. 某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本 C. 从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用的时间 D. 从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 【答案】B 【解析】选 中总体所含个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无明显差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样. 二 分层随机抽样的应用 例2 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程. 【解】 抽样过程如下： 第一步,确定抽样比.样本量与总体数量的比为； 第二步，确定分别从3类在职人员中抽取的人数. 从行政人员中抽取（人）， 从教师中抽取（人）， 从后勤人员中抽取（人）； 第三步，从3类在职人员中分别采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人； 第四步，把抽取的人数组合在一起构成所需样本. 分层随机抽样的步骤 ［跟踪训练2］．某高校数学学院，，三个不同专业分别有800，600，400名学生，为了解学生的课后学习时间，用分层随机抽样的方法从三个专业中抽取学生进行调查． （1） 若从三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从专业抽取学生__人； （2） 若从专业中抽取36名学生进行调查，则应从专业抽取学生__人． 【答案】（1） 16 （2） 48 【解析】 （1） 应从 专业抽取的学生人数为. （2） 设抽取的样本量为，由，得，应从 专业抽取的学生人数为. 三 用样本平均数估计总体平均数 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和，样本平均数分别为，，总的样本平均数为，则________________________，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 【答案】 例3 某学校为了调查高一年级共三个班学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙三个班中，按分层随机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间单位：，数据如表． 甲 6 6.5 7 7.5 8 乙 6 7 8 9 10 11 12 丙 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （1） 求三个班中学生人数之比； （2） 估计这个学校高一的学生中，一周的锻炼时间超过的百分比； （3） 估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间． 【答案】（1） 【解】由题表可知，按分层随机抽样的方法从甲、乙、丙三个班中分别抽取了5个、7个、8个学生.故三个班学生人数之比为. （2） 由题意知，抽取的20个学生中，一周的锻炼时间超过 的有5人，故高一年级学生一周的锻炼时间超过 的百分比为. （3） 从甲班抽取的5名学生的总时间为. 从乙班抽取的7名学生的总时间为. 从丙班抽取的8名学生的总时间为. 则. 即估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间为. 分层随机抽样的相关计算常用的3个关系 . （2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比. （3）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为. ［跟踪训练3］．某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算，重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则可估计高二年级学生数学成绩的平均值为（ ） A. 110 B. 125 C. 95 D. 105 【答案】D 【解析】选D.可估计高二年级学生数学成绩平均值为. 四 获取数据的途径 获取数据的途径 适用类型 注意问题 通过调查获取数据 对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误 通过试验获取数据 没有现存的数据可以查询 严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础 通过观察获取数据 自然现象 需要专业测量设备，通过长久的持续观察获取数据 通过查询获得数据 有众多专家研究过，其收集的样本观测数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真 【即时练】 1．“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（ ） A. 通过调查获取数据 B. 通过试验获取数据 C. 通过观察获取数据 D. 通过查询获得数据 【答案】C 【解析】选C.“中国天眼”主要是通过观察获取数据. 2．为了研究近年我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是（ ） A. 通过调查获取数据 B. 通过试验获取数据 C. 通过观察获取数据 D. 通过查询获得数据 【答案】D 【解析】选D.因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据. 3．（多选）下列项目中需要收集的数据，可以通过试验获取的有（ ） A. 某种新式海水稻的亩产量 B. 某省人民群众对某任省长的满意度 C. 某品牌的新款汽车柱（挡风玻璃和左、右前车门之间的柱）的安全性 D. 某地区降水量对土豆产量的影响情况 【答案】AC 【解析】选，C两项所需数据都没有现存数据可供查询，需要通过试验的方法来获取样本观测数据；B项数据宜通过调查获取；D项数据宜通过观察或查询获取. 选择获取数据的途径的依据：选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度进行选择的.有的数据能通过多种途径获取，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的途径能够提高数据的可靠性. 课堂巩固 自测 1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的身高状况，分别从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（ ） A. 简单随机抽样 B. 抽签法 C. 随机数法 D. 分层随机抽样 【答案】D 【解析】选D.因为男生、女生身高有较大差异，从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样． 2．为提高群众的防诈骗意识，某市举办了全民防诈骗知识竞赛（满分100分），其中社区、社区、社区参赛选手的人数分别为，800，600．现用分层随机抽样的方法从三个社区中抽取样本，经计算可得社区、社区参赛选手成绩的样本平均数分别为76，82，全社区参赛选手成绩的样本平均数为75，则社区参赛选手成绩的样本平均数为（ ） A. 79 B. 73 C. 70 D. 69 【答案】C 【解析】选C.由题意可设样本中A，B，C社区参赛选手的人数分别为，，，设A社区参赛选手成绩的样本平均数为，则，解得. 3．（教材P185T3改编）某工厂质检人员统计了甲、乙两种设备生产的同一产品的某种性能，将数据整理后得到下表（单位：件）．若按性能比例采用分层随机抽样的方法从该批产品中选取10件，则10件产品中性能一般的产品有______件． 设备 性能 甲设备 乙设备 性能良好 800 400 性能一般 600 200 【答案】4 【解析】按照分层随机抽样的方法从该批产品中选取10件，则10件产品中性能一般的产品有（件）. 4．（教材P188习题9.1T2改编）某刊物对其读者进行满意度调查，选取了某地300名读者，已知选取的读者男女比例为，对该刊物满意的读者中男性占男性总人数的，女性占女性总人数的． （1） 求对该刊物不满意的读者中男性的人数； （2） 若按性别比例用分层随机抽样的方法从对该刊物不满意的读者中抽取5人进行深入调研，求抽取男性、女性的人数. 【答案】（1） 解：易知男性读者有（人），又对该刊物满意的读者中男性占男性总人数的，故对该刊物不满意的读者中男性有（人）. （2） 调查的女性读者有（人），又对该刊物满意的读者中女性占女性总人数的，则对该刊物不满意的读者中女性有（人），按性别比例用分层随机抽样的方法从对该刊物不满意的读者中抽取5人，则男性有（人），女性有（人）. 1.已学习：分层随机抽样、用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数、获取数据的途径. 2.须贯通：分层随机抽样主要适用于个体差异较大的总体的抽样；分层随机抽样的步骤：分层、定抽样比、定各层抽取的个体数、各层抽取个体、合并成总样本. 3.应注意：在分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，与层数及分层方法无关，每层的抽样一般采用简单随机抽样. 学科网（北京）股份有限公司 $