8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦“平面与平面垂直的判定”核心知识点，先通过生活实例“开门”引入二面角概念，系统梳理二面角的定义、平面角及范围，再结合定义法和判定定理（线面垂直推面面垂直）构建知识体系，辅以例题解析和跟踪训练作为学习支架。 资料以生活情境激发学生用数学眼光观察空间关系，通过“一作二证三求”步骤培养数学思维的逻辑性，例题与自测题结合符号和图形语言强化数学表达。课中助力教师清晰授课，课后帮助学生巩固知识，有效查漏补缺。

8.6.3 平面与平面垂直 第1课时 平面与平面垂直的判定 学习目标 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系. 2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义. 3.归纳并应用平面与平面垂直的判定定理. 新知学习 探究 新课导学 如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”.在门开大的过程中，会给人两个平面“夹角”变大的感觉. 思考 把门开大一些“夹角”变大，是指哪个角变大？ 提示：是门和门框所在墙的夹角，可以用题图中的 进行刻画. 一 二面角 1．定义：从一条直线出发的①____________所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的②__，这两个半平面叫做二面角的③__. 【答案】两个半平面； 棱； 面 2.画法： 3.记法：二面角 或二面角 或二面角. 4．二面角的平面角 文字 在二面角 的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的④__________叫做二面角的平面角 图示 符号 , ,,,,是二面角的平面角 范围 ⑤________ ⑥__________ 规定 二面角的大小可以用它的⑦________来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是⑧____的二面角叫做直二面角 【答案】； ； ； 平面角； 直角 例1 如图，已知三棱锥的各棱长均为2，求二面角的余弦值. 【解】 如图，取 的中点，连接，，则，.由二面角定义知 为二面角 的平面角.因为，，所以，即二面角 的余弦值为. 解决二面角问题的策略 （1）清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点. （2）求二面角大小的步骤 简称为“一作、二证、三求”. ［跟踪训练1］．如图，已知四边形是正方形， 平面. （1） 二面角的平面角的大小为________； （2） 二面角的平面角的大小为________. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 因为 平面，， 平面，所以，，，所以 为二面角 的平面角.又由题意知 ，所以二面角 的平面角的大小为 . （2） 因为 平面，， 平面，所以，，，所以 为二面角 的平面角.又四边形 为正方形，所以 ，故二面角 的平面角的大小是 . 二 平面与平面垂直 角度1 定义法证明面面垂直 定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是①__________，就说这两个平面互相垂直 画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.如图 记法 【答案】直二面角 例2 如图，已知 ， ，又，求证：平面 平面. 【证明】 因为 ，， 所以 和 都是等边三角形， 则有，令其值为, 则 和 为共底边 的等腰三角形， 取 的中点，连接，，则，， 所以 为二面角 的平面角. 在 中，因为, 所以,. 在 中，, 因为， 所以 . 即二面角 为直二面角. 故平面 平面. 利用定义证明面面垂直的方法 要证面面垂直，只要证明二面角的平面角为直角,其步骤是： （1）找出两相交平面的平面角； （2）证明这个平面角是直角； （3）根据定义判定这两个相交平面互相垂直. 角度2 判定定理法证明面面垂直 两平面垂直的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的②____，那么这两个平面垂直 ， 【答案】垂线 例3 （对接教材例8）如图，在三棱锥中，，，.设，，分别为棱，，的中点，且.求证：平面 平面. 【证明】 由，，分别为棱，的中点，得， 所以. 因为，，分别为棱，，的中点，所以， ， 又，所以， 所以. 又，， 平面， 所以 平面，又 平面，所以平面 平面. 利用判定定理证明面面垂直的方法 要证面面垂直,只要证线面垂直，即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是： ［跟踪训练2］． （1） [2024·山西太原期末]如图所示，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列说法中正确的是（ ） A. 平面 平面 B. 平面 平面 C. 平面 平面，且平面 平面 D. 平面 平面，且平面 平面 （2） 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形， ，，为的中点， 平面，，为的中点.求证： ① 平面； ② 平面 平面. 【答案】（1） C （2） ① 证明：连接，，在平行四边形 中，为，的中点， 因为 为 的中点，所以， 又因为 平面， 平面， 所以 平面. ② 因为 ，且， 所以 ，即， 因为 平面， 平面，所以， 因为，， 平面， 所以 平面， 又因为 平面，所以平面 平面. 【解析】 （1） 选C.因为，，是 的中点，所以，,又因为，， 平面，所以 平面.又因为 平面， 平面，所以平面 平面，平面 平面，C正确.故选C. 课堂巩固 自测 1．（教材P159T2改编）对于直线,和平面 , ，下列条件一定能得到 的是（ ） A. , , B. , , C. , , D. , , 【答案】D 【解析】选D., , ,则平面 , 也可能相交且不垂直，A错误；, , ,则平面 , 也可能相交或平行，B错误；, , ,则 ,C错误；, ,则 ,又 ,则 ,D正确. 2．已知二面角 为 ，异面直线，分别垂直于平面 ， ，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为二面角 为 ，异面直线，分别垂直于平面 ， ，空间中两直线夹角的范围为，，则 与 所成的角为 .故选B. 3．如图，在正方体中，，交于点，给出，，，其中能作为二面角的平面角的是________________. 【答案】 【解析】连接（图略）， 由正方体的性质知，， ，， 平面， 所以 平面. 因为， 平面， 所以，， 所以 是二面角 的平面角. 4．（教材P159T4改编）如图，在直三棱柱中，，为棱上任意一点.求证：平面 平面. 证明：因为三棱柱 为直三棱柱， 所以. 又因为，， 平面，且，所以 平面.又因为 平面，所以平面 平面. 1.已学习：（1）二面角的定义；（2）平面与平面垂直的概念与判定定理. 2.须贯通：掌握面面垂直的判定方法;掌握垂直关系的转化思想. 3.应注意：应用面面垂直的判定定理的条件:线垂直于面且线在面内. 学科网（北京）股份有限公司 $