8.1 基本立体图形 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及简单组合体，前承多面体知识，后启空间几何体综合应用，通过定义、相关概念、结构特征表格构建知识支架，形成从旋转体到组合体的完整认知脉络。 以孔子六艺城建筑实例引入，用表格对比结构特征培养数学眼光，通过例题辨析（如圆锥轴截面是否为梯形）发展数学思维，轴截面转化体现数学语言的模型意识。课中助教师清晰授课，课后跟踪训练与巩固题助学生查漏补缺。

第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体 学习目标 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征. 2.能利用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 新知学习 探究 新课导学 你到过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”.如图，以圆柱体为基座，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观. 思考 几何体球、圆柱和上节课学习的多面体有何区别？ 提示：球、圆柱不是由平面多边形围成的多面体，它们是旋转体. 一 圆柱、圆锥、圆台、球 1．圆柱、圆锥、圆台 类别 圆柱 圆锥 圆台 定义 以①____的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 以直角三角形的②____________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用③____于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 相关概念 轴：旋转轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 轴：旋转轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 顶点：母线的交点 上底面：原圆锥的截面 下底面：原圆锥的底面 轴：上、下底面圆心的连线所在的直线 侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面 母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分 图形及表示 结构特征 （1）圆柱的两个底面是圆面，而不是圆. （2）圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行（与轴平行）且相等 （1）底面是圆面. （2）有无数条母线，长度相等且交于顶点 （1）上、下底面是互相平行且不相等的圆面. （2）有无数条母线，等长且延长线交于一点 【答案】矩形； 一条直角边； 平行 2.球 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图形 球心 半圆的圆心 半径 连接球心和球面上任意一点的线段 直径 连接球面上两点并且经过球心的线段 表示 球常用表示球心的字母来表示，如球 结构特征 （1）球面是旋转形成的曲面.球面也可看成空间中到定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合. （2）球的截面都是圆面 例1 （1） 下面说法中错误的是（ ） A. 圆柱的母线与轴平行 B. 圆锥的轴截面可以是梯形 C. 圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形 D. 圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面 （2） （多选）下列说法正确的是（ ） A. 球的半径是球面上任意一点与球心的连线 B. 球面上任意两点的连线是球的直径 C. 用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 D. 以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球 （3） （多选）下列命题为假命题的是（ ） A. 矩形绕一条直线旋转一周所得的旋转体是圆柱 B. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C. 在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D. 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 【答案】（1） B （2） AC （3） ABC 【解析】 （1） 圆柱的母线即为圆柱的高线，与轴平行，所以A正确；圆锥所有轴截面是顶角相等且两腰长均为母线的等腰三角形，所以B错误，C正确；根据圆柱的性质可判断D正确. （2） 球的半径是连接球心和球面上任意一点的线段，A正确；只有两点的连线经过球心时才为直径，B错误；由球的结构特征易得C正确；球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，D错误. （3） 矩形绕其对角线所在直线旋转一周得到的旋转体不是圆柱，A为假命题；以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台，B为假命题；由圆柱、圆台母线的性质可知D为真命题，C为假命题. （1）判断旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线. （2）简单旋转体的轴截面及其应用 ①旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现旋转体结构特征的关键量； ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. ［跟踪训练1］． （1） 等腰三角形绕底边上的中线所在的直线旋转所得的几何体是（ ） A. 圆台 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球 （2） （多选）下列说法中，正确的是 A. 圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 C. 圆台的所有平行于底面的截面都是圆面 D. 以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转 形成的曲面围成的空间图形是圆锥 【答案】（1） B （2） ACD 【解析】 （1） 选B.由题意可得，且，所以形成的几何体是圆锥. （2） 选.对于A，圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，A正确；对于B，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台，B错误；对于C，圆台的所有平行于底面的截面都是圆面，C正确；对于D,由圆锥的定义易知D正确. 二 简单组合体 1．概念 由①____________组合而成的几何体叫做简单组合体. 【答案】简单几何体 2．构成形式 有两种基本形式：一种是由简单几何体②____而成的；一种是由简单几何体③____________一部分而成的. 【答案】拼接； 截去或挖去 例2 （对接教材例2）观察下列几何体的结构特点，完成以下问题. （1） 图1所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出旋转 后能得到图1几何体的几何图形； （2） 图2所示几何体结构特点是什么？试画出旋转 后能得到图2几何体的几何图形； （3） 图3所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数. 【答案】 （1） 【解】题图1所示几何体是由圆锥和圆台组合而成的，将解析图1旋转 得到题图1中的几何体. （2） 题图2所示几何体是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心而形成的.将解析图2旋转 得到题图2中的几何体. （3） 题图3所示几何体是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成的，且四棱锥的底面与四棱柱的底面相同.共有9个面，16条棱，9个顶点. 判断组合体构成的方法 （1）判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体； （2）组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分构成的，要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证. ［跟踪训练2］． （1） 如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（ ） A. B. C. D. （2） 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括 A. 一个圆台、两个圆锥 B. 两个圆柱、一个圆锥 C. 两个圆台、一个圆柱 D. 一个圆柱、两个圆锥 【答案】（1） A （2） D 【解析】 （1） 选A.该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故选A. （2） 选D.图1是一个等腰梯形，为较长的底边，以 边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥. 三 旋转体中的计算 例3 一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和，求： （1） 圆台的高； （2） 将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长. 【答案】 （1） 【解】圆台的轴截面是等腰梯形（如图所示）.由已知可得，. 又由题意知腰长为，所以高. （2） 如图所示，延长，，，交于点，设截得此圆台的圆锥的母线长为， 则由，可得， 解得， 即截得此圆台的圆锥的母线长为. 解决旋转体中计算问题的方法策略 （1）巧用轴截面实现空间图形平面化：旋转体中有关底面半径、母线、高以及有关球的问题的计算，可巧用轴截面求解，即将立体问题转化为平面问题. （2）在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解即可. ［跟踪训练3］．一条排水管的截面如图.已知排水管的截面圆半径是，水面宽是.则截面水深是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.由题意知，交 于点C，因为，所以，在 中，因为，，所以，所以.故选B. 课堂巩固 自测 1．（教材P105T3改编）下列选项中的三角形绕直线旋转一周，能得到如图所示几何体的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.由题意知，该几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B符合题意. 2．若以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】选C.因为该正方形旋转一周所得圆柱的高为1，底面的半径为1，所以圆柱的轴截面的面积为.故选C. 3．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面圆半径的比值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】选A.设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意可知，底面的周长为，故，所以，则该圆锥的母线长与底面半径的比值为. 4．某地球仪上北纬 纬线圈的长度为，如图所示，求该地球仪的半径. 解： 如图所示，由题意知，北纬 所在小圆的周长为 ，则该小圆的半径，其中 ，所以该地球仪的半径. 故该地球仪的半径是. 1.已学习：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及简单组合体. 2.须贯通：圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面在解决几何量中的特殊作用，体会空间几何体平面化的思想；处理台体常采用还台为锥的补体思想；处理简单组合体常采用分割思想. 3.应注意：同一平面图形绕不同旋转轴形成的旋转体一般是不同的. 学科网（北京）股份有限公司 $