7.1.1 数系的扩充和复数的概念（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦复数的概念，以数系扩充为主线，从方程无解问题引入虚数单位，系统梳理复数的定义、实部虚部表示、分类（实数、虚数、纯虚数）及复数相等的充要条件，构建完整知识支架。 资料以问题链驱动探究，通过“思考”环节引导学生用数学眼光发现数系扩充必要性，结合例题、变式及跟踪训练，培养逻辑推理与数学表达能力。课中助力教师分层教学，课后通过即时练与巩固题帮助学生查漏补缺，深化对复数概念的理解。

第七章 复 数 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件. 新知学习 探究 新课导学 数系的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 因为类似的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似的方程在整数范围内有解； 因为类似的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似的方程在有理数范围内有解； 因为类似的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似的方程在实数范围内有解. 思考 我们已经知道，类似的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 提示：能.引入虚数单位，使,则方程 的解为. 一 复数的有关概念 1．定义：形如的数叫做复数,其中叫做①__________,满足②________. 点拨 ,,,,,,,. 【答案】虚数单位； 2．表示方法：复数通常用字母表示,即.以后不作特殊说明时，复数都有,,其中的与分别叫做复数的③____与④____. 【答案】实部； 虚部 3.复数集：全体复数构成的集合,}叫做复数集. 【即时练】 1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 复数的实部是1，虚部是.（ ） （2） 方程的解为.（ ） 【答案】（1） × （2） √ 2．复数的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.虚部不带,的虚部是. 3．若复数的实部与虚部相等，则______. 【答案】4 【解析】由题意知，解得. 在复数中，实数和分别叫做复数的实部和虚部，特别注意，连同它的符号叫做复数的虚部. 二 复数的分类 1．复数可以分类如下： 【答案】实数； 虚数； ； 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 例1 （对接教材例1）当实数取何值时，复数是下列数？ （1） 虚数； （2） 纯虚数. 【答案】（1） 【解】当 即 且 时，复数 是虚数. （2） 当 即 或 时，复数 是纯虚数. 【变式探究】 （设问变式）本例条件不变，则当时，的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 3 【答案】B 【解析】选B.因为,所以 为实数，需满足 解得. 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 （1）利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式,得到实部与虚部，再求解. （2）要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解. ［跟踪训练1］． （1） 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 （2） [2024·北京市东城区期中]复数，若,则实数的值是 （ ） A. B. C. D. 1 【答案】（1） A （2） B 【解析】 （1） 选A.由 是纯虚数，得 解得.故选A. （2） 选B.能比较大小的两个数一定都是实数，故,解得,又，即,所以,故. 三 复数相等 在复数集,}中任取两个数,,规定：与相等当且仅当①________且②________. 【答案】； 例2 （1） 若,,,则复数（ ） A. B. C. D. （2） 若,，是虚数单位，且,则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】（1） B （2） D 【解析】 （1） 由,得,则,根据复数相等的充要条件得 解得 故. （2） 因为,所以 所以,.所以. 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解； （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. ［跟踪训练2］． （1） [2024·广东深圳模拟]（多选）下列说法正确的是（ ） A. 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等 B. 是纯虚数 C. 如果复数是实数，那么, D. 复数可能是实数 （2） 已知，,,则________,______. 【答案】（1） AD （2） ；1 【解析】 （1） 选.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，即这两个复数相等，故A正确；当 时，是实数，故B错误；要使复数 是实数，只需，所以C错误；当 时，复数 是实数，故D正确. （2） 因为，所以 所以 课堂巩固 自测 1．设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】选A.因为复数 的实部与虚部互为相反数，所以,解得. 2．（教材P73习题7.1 T3改编）若实数,满足,则的值是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】选C.依题意得 得,则. 3．若，则实数________. 【答案】 【解析】由题意得 解得. 4．（教材P73习题7.1T2改编）当实数取什么值时，复数是下列数？ （1） 实数； （2） 虚数； （3） 纯虚数. 【答案】 （1） 解：若 是实数，则, 解得 或. （2） 若 是虚数，则,解得 且. （3） 若 是纯虚数，则 解得. 1.已学习：数系的扩充、复数的概念及分类、复数相等的充要条件. 2.须贯通：两个复数一般不能比较大小，如有大小关系，则它们一定是实数；两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等；复数问题实数化是求解复数的基本方法，体现了转化与化归的数学思想. 3.应注意：（1）复数代数形式是否规范; （2）复数是纯虚数的充要条件是且. 学科网（北京）股份有限公司 $