7.1.1 数系的扩充和复数的概念（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

第七章 复 数

7.1 复数的概念

7.1.1 数系的扩充和复数的概念

学习目标

1.了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件.

新知学习 探究

新课导学

数系的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：

因为类似的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似的方程在整数范围内有解；

因为类似的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似的方程在有理数范围内有解；

因为类似的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似的方程在实数范围内有解.

思考 我们已经知道，类似的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？

提示：能.引入虚数单位，使,则方程 的解为.

一 复数的有关概念

1．定义：形如的数叫做复数,其中叫做①__________,满足②________.

点拨 ,,,,,,,.

【答案】虚数单位；

2．表示方法：复数通常用字母表示,即.以后不作特殊说明时，复数都有,,其中的与分别叫做复数的③____与④____.

【答案】实部； 虚部

3.复数集：全体复数构成的集合,}叫做复数集.

【即时练】

1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1） 复数的实部是1，虚部是.（  ）

（2） 方程的解为.（  ）

【答案】（1） ×

（2） √

2．复数的虚部是（  ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】选B.虚部不带,的虚部是.

3．若复数的实部与虚部相等，则______.

【答案】4

【解析】由题意知，解得.

在复数中，实数和分别叫做复数的实部和虚部，特别注意，连同它的符号叫做复数的虚部.

二 复数的分类

1．复数可以分类如下：

 

 

【答案】实数； 虚数； ；

2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

例1 （对接教材例1）当实数取何值时，复数是下列数？

（1） 虚数；

（2） 纯虚数.

【答案】（1） 【解】当 即 且 时，复数 是虚数.

（2） 当 即 或 时，复数 是纯虚数.

【变式探究】

（设问变式）本例条件不变，则当时，的值为（  ）

A. 1 B. 5 C.  D. 3

【答案】B

【解析】选B.因为,所以 为实数，需满足 解得.

利用复数的分类求参数的方法及注意事项

（1）利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式,得到实部与虚部，再求解.

（2）要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.

［跟踪训练1］．

（1） 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（  ）

A. 2 B.  C.  D. 4

（2） [2024·北京市东城区期中]复数，若,则实数的值是 （  ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】（1） A

（2） B

【解析】

（1） 选A.由 是纯虚数，得 解得.故选A.

（2） 选B.能比较大小的两个数一定都是实数，故,解得,又，即