6.4.3 第2课时 正弦定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦正弦定理这一核心知识点，从实际测量问题引入，系统梳理定理推导过程、公式及变形，构建“已知两角及一边”“已知两边及其中一边对角”解三角形的学习支架，衔接三角形形状判断的应用。 通过情境化问题培养数学眼光，例题变式训练发展逻辑推理（数学思维），符号语言表达强化数学语言。课中辅助教师分层教学，课后跟踪训练助学生查漏补缺，提升解三角形能力与数学素养。

第2课时 正弦定理 学习目标 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形公式. 2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状. 新知学习 探究 新课导学 如图所示，若想知道河对岸的一点与岸边一点之间的距离，而且已经测量出了的长度，也想办法得到了与的大小. 思考 你能借助这三个量，求出的长度吗？ 提示： 如图，作,垂足为，根据三角形内角和定理计算,易知，所以. 一 已知两角及一边解三角形 1．正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的①____的比相等 符号语言 ②__________③__________ 【答案】正弦； ； 2.正弦定理的变形 （1）,,. （2）. （3）,,为外接圆的半径. 例1 （对接教材例7）在中，已知 , ,,解三角形. 【解】 因为 ， , 所以 . 由正弦定理，得, 解得,. 已知两角及一边解三角形的基本思路 （1）由三角形内角和定理求出第三个角. （2）由正弦定理的变形公式，求另外的两条边. ［跟踪训练1］． （1） 在中， , ,,则（ ） A. B. C. D. （2） 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，,则________. 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 选A.由正弦定理，得. （2） 因为，，所以.又，,所以由正弦定理得，故，解得. 二 已知两边及其中一边的对角解三角形 例2 （对接教材例8）在中，已知 ，,,解三角形. 【解】 由正弦定理, 知, 因为,所以 或 , 当 时， , 所以; 当 时, , 所以. 故当 时， ，; 当 时， ,. 【变式探究】 （条件变式）若本例中，“ ”改为“ ”，其他条件不变，解此三角形. 解：由正弦定理，知, 因为,所以 ,所以 , 所以. 已知两边及其中一边的对角解三角形的步骤 ［跟踪训练2］． （1） 在中，角，，所对的边分别是，,，若,,,则（ ） A. B. C. 或 D. 或 （2） 在中，若,, ，则 （ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】（1） A （2） B 【解析】 （1） 选A.由题意可得,则 或.因为,所以,所以.故选A. （2） 选B. ,由正弦定理可知,所以,因为 ,所以 或 .故选B. 三 判断三角形的形状 例3 在中，已知,且,试确定的形状. 【解】 方法一（利用边的关系来判断）：由正弦定理得, 由, 得. 又, 所以, 即,所以. 又, 所以, 所以,所以. 综上，,所以 为等边三角形. 方法二（利用角的关系来判断）：由,得,所以. 又 与 均为 的内角,所以, 由,得 , 所以. 根据余弦定理，上式可化为,得, ,所以 为等边三角形. 判断三角形形状的两种途径 ［注意］在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解. ［跟踪训练3］． （1） 在中，角，,所对的边分别为,,，且,若,则是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 （2） 在中，若，则此三角形为 （ ） A. 等边三角形 B. 等腰且非等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】（1） C （2） C 【解析】 （1） 选C.根据正弦定理可知,所以，所以,又因为，所以，即 是等边三角形.故选C. （2） 选C.在 中，由 以及正弦定理可知，，即，因为 ，所以，所以，，所以 为直角三角形． 课堂巩固 自测 1．（教材 改编）在中，若 , ,,则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】选A.由题意可得 ,由正弦定理得. 2．（教材 改编）在中，已知，,,则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】选B.由 及已知可得,所以, 由,得,又,所以,,所以.故,由勾股定理得. 3．（多选）在中，下列关系中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.在 中，由正弦定理得，所以，所以， 因为，所以， 所以，所以A不一定成立，C不成立，B，D一定成立，故选. 4．在中，角，，的对边分别为，，，已知，， ，求. 解：由正弦定理，得， 得. 因为，所以 ， 所以 或 . 当 时， ，. 当 时， ，. 所以 或. 1.已学习：正弦定理及公式变形、利用正弦定理解三角形. 2.须贯通：在解三角形的过程中，正弦定理及公式变形实现边角互化，应用了转化与化归、数形结合的思想方法. 3.应注意：已知两边及其中一边对角解三角形时一般要分类讨论. 学科网（北京）股份有限公司 $