培优1 平面向量中的最值与范围问题（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量中的最值与范围问题这一核心知识点，系统梳理线性运算、数量积、模、夹角四类问题，基于向量基本定理、共线条件等基础，构建“问题转化—函数或不等式求解”的学习支架，衔接向量基础与综合应用。 该资料以典例分析为核心，通过坐标法、几何图形直观培养数学眼光，将问题转化为函数或不等式问题发展数学思维，用符号表达与模型构建强化数学语言。课中辅助教师突破难点，课后尝试训练助学生查漏补缺，提升综合解题能力。

培优1 平面向量中的最值与范围问题 平面向量中的最值、范围问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的最值、范围，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数解析式，转化为求函数的最值. 类型一 向量线性运算中的最值（范围） 往往综合运用向量的线性运算、平面向量基本定理以及共线的充要条件等，把所求问题转化为函数问题或条件不等式问题，从而借助函数的性质或基本不等式求最值与范围. 典例1 （1） 已知向量，,,且，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 （2） [2024·辽宁本溪月考]在等腰梯形中，已知，，， ，点在线段上，且，当点为线段的中点时，________；当点在线段上运动时，的最大值为________. 【答案】（1） B （2） ； 【解析】 （1） 由题意得，，，因为，故，即，所以,当且仅当，时等号成立.综上所述，的最大值为2.故选B. （2） 如图，连接.因为，， ，所以，故.当点 为线段 的中点时，，又，所以，，；当点 在线段 上运动时，，由，，三点共线可知，，即，所以，又，即，所以，所以，即 的最大值为. 类型二 向量数量积的最值与范围 求解向量数量积的最值（范围）问题时，往往先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，建立关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解；在一些和几何图形与关的问题中，也可利用图形、几何知识求解. 典例2 （1） [2024·湖南永州月考]已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. （2） 已知是边长为2的正六边形内的一点（不包括边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） A 【解析】 （1） 以 的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，.设，则，，，，，，所以，所以.所以当，时，取得最小值. （2） 设，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，所以，由题意可得点C的横坐标为3，点 的横坐标为，所以，所以. 类型三 向量模的最值（范围） 求向量模的最值（范围）一般要利用公式 转化为函数或基本不等式求解，或利用向量三角不等式 求解. 典例3 （1） 已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量满足，则的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. （2） 设,，则的最大值与最小值分别为____. 【答案】（1） C （2） 20,4 【解析】 （1） 由题意得，，由，得，设 与 的夹角为 ，,即，当，即 与 同向时，取最大值，最大值是.故选C. （2） 因为,，所以，当且仅当 与 同向时取等号，，当且仅当 与 反向时取等号，所以 的最大值与最小值分别为20，4. 类型四 向量夹角的最值（范围） 若两向量的夹角为 ，先求出 的范围，再根据余弦函数 在 的单调性求出夹角 的范围. 典例4 已知向量,满足,,且,则,夹角的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为,所以, 即,,, 又因为 , 所以,, 所以,, 所以,夹角的最小值为.故选C. 【尝试训练】 1．已知点和,为坐标原点，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. 3 D. 【答案】D 【解析】选D.由题意可得,, 则 , 结合二次函数的性质可得， 当 时，.故选D. 2．[2024·四川内江期中]已知向量，满足，，且，为任意向量，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.设向量，的夹角为 .由，，且，得.又，所以.在平面直角坐标系中，取，，满足，，且.设，则，，所以，所以当 时，取得最小值，为. 3．[2024·广东江门期中]设向量,，则,的最小值为________. 【答案】 【解析】,， 令， 则， 所以,， 当，即,时，,取得最小值，且最小值为． 4．如图所示，，，是圆上的三点，的延长线与的延长线交于圆外一点.若，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】由点 是圆 外一点，可设，则.又因为，，三点共线，令，则，所以，，则. 学科网（北京）股份有限公司 $