培优1 平面向量中的最值与范围问题（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

培优1 平面向量中的最值与范围问题

平面向量中的最值、范围问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的最值、范围，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数解析式，转化为求函数的最值.

类型一 向量线性运算中的最值（范围）

往往综合运用向量的线性运算、平面向量基本定理以及共线的充要条件等，把所求问题转化为函数问题或条件不等式问题，从而借助函数的性质或基本不等式求最值与范围.

典例1

（1） 已知向量，,,且，则的最大值为（  ）

A. 1 B. 2 C.  D. 4

（2） [2024·辽宁本溪月考]在等腰梯形中，已知，，， ，点在线段上，且，当点为线段的中点时，________；当点在线段上运动时，的最大值为________.

【答案】（1） B

（2） ；

【解析】

（1） 由题意得，，，因为，故，即，所以,当且仅当，时等号成立.综上所述，的最大值为2.故选B.

（2） 如图，连接.因为，， ，所以，故.当点 为线段 的中点时，，又，所以，

，；当点 在线段 上运动时，，由，，三点共线可知，，即，所以，又，即，所以，所以，即 的最大值为.

类型二 向量数量积的最值与范围

求解向量数量积的最值（范围）问题时，往往先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，建立关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解；在一些和几何图形与关的问题中，也可利用图形、几何知识求解.

典例2

（1） [2024·湖南永州月考]已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（  ）

A.  B.  C.  D.

（2） 已知是边长为2的正六边形内的一点（不包括边界），则的取值范围是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】（1） B

（2） A

【解析】

（1） 以 的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，.设，则，，

，，，，所以，所以.所以当，时，取得最小值.

（2） 设，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，所以，由题意可得点C的横坐标为3，点 的横坐标为，所以，所以.

类型三 向量模的最值（范围）

求向量模的最值（范围）一般要利用公式 转化为函数或基本不等式求解，或利用向量三角不等式 求解.

典例3

（1） 已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量满足，则的最大值是（  ）

A. 1 B. 2 C.  D.

（2） 设,，则的最大值与最小值分别为____.

【答案】（1） C

（2） 20,4

【解析】

（1） 由题意得，，由，得