6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量数乘运算的坐标表示及共线条件这一核心知识点，前承平面向量加减运算的坐标表示，通过思考探究、例题解析、跟踪训练构建学习支架，帮助学生掌握数乘坐标法则及共线判定方法。 该资料以问题链驱动探究，如思考1引导学生从已知向量坐标抽象数乘运算规律，培养数学眼光。例2通过三点共线证明，训练学生运用坐标推理的数学思维。变式探究与自测题设计，强化用坐标语言解决参数及点坐标问题的数学语言表达，课中助力教师引导学生主动建构知识，课后便于学生回顾巩固，弥补薄弱环节。

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 学习目标 1.掌握向量数乘的坐标运算法则. 2.理解用坐标表示两向量共线的条件，能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线. 新知学习 探究 新课导学 我们上一节课学习了平面向量的加、减运算的坐标表示，若已知,. 思考1．怎样求向量的坐标？你能得到向量的坐标吗？ 思考2．若,则它们的坐标之间有什么关系？ 【答案】思考1 提示：，. 思考2 提示：. 一 向量数乘运算的坐标表示 符号表示 若，则①______________ 文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的②__________ 【答案】； 相应坐标 例1 （1） 已知,,,则（ ） A. B. C. D. （2） 已知点，，若点满足，则点的坐标为（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】（1） A （2） A 【解析】 （1） 因为,,,所以,,所以. （2） 设D点坐标为，由 可得，所以 解得 所以点D的坐标为，. 平面向量坐标运算的技巧 （1）进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系； （2）在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算； （3）在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用. ［跟踪训练1］． （1） 已知向量,,若,则（ ） A. B. C. D. （2） 已知向量，，，则的坐标是________________. 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 选A.因为,,且,所以. （2） 因为，，，所以. 二 平面向量共线的坐标表示 条件 ，,其中 结论 向量，共线的充要条件是____________________________ 【答案】 例2 已知，，三点的坐标分别为，，，且，，求证：. 【证明】 设,. 由题意知，， ，所以，， ，， 所以,, ,, 所以,, ,, 所以,. 因为,所以. （1）向量共线的判定方法 （2）三点共线的实质是有公共点的两个向量共线问题. ［跟踪训练2］． （1） 下列各组向量共线的是（ ） A. , B. , C. , D. , （2） 已知点，，，则，，三点________.（填“共线”或“不共线”） 【答案】（1） C （2） 不共线 【解析】 （1） 选C.对于A，因为,,则,即 与 不共线；对于B，因为,,则,即 与 不共线；对于C,因为,,则,即 与 共线；对于D，因为,,则，即 与 不共线.故选C. （2） 因为，，又，所以 与 不共线，所以,,三点不共线. 三 平面向量共线的应用 角度1 利用向量共线求参数 例3 （1） 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 （2） 在平面直角坐标系中，，，，若，，三点共线，则正数__. 【答案】（1） B （2） 11 【解析】 （1） 由题意得.故选B. （2） 由题意可得，，因为，，三点共线，所以，即 或，因为，所以. 利用向量共线求参数 （1）利用向量平行的坐标等价形式列出方程（组），通过解方程（组）可以求出参数的值； （2）若两个向量满足关系,再根据 的正负判断两个向量的方向关系. ［跟踪训练3］．已知点，,,若，，三点共线，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.由已知得,, 易知 与 共线，所以,即,解得,所以. 角度2 求点的坐标 例4 （对接教材例9）已知点与点，点在直线上，且，求点的坐标. 【解】 设点 的坐标为， 因为， 所以当 在线段 上时，， 所以， 所以 解得 所以点 的坐标为； 当 在线段 的延长线上时，， 所以， 所以 解得 所以点 的坐标为，综上所述，点 的坐标为 或. 【变式探究】 1．（条件变式）若将本例条件“”改为“”，其他条件不变，求点的坐标. 解：设点 的坐标为. 因为， 所以, 所以 解得 所以点 的坐标为. 2．（综合变式）若将本例条件改为“经过点的直线分别交轴、轴于点，，且”，求点,的坐标. 解：由题设知，，，三点共线， 且.设，. 若点 在，之间，则有， 所以， 所以 解得 点,的坐标分别为，； 若点 不在，之间，则有， 易得点,的坐标分别为，. 综上，点，的坐标分别为，或，. 利用向量共线求点的方法 （1）求点的坐标：把向量模的比例关系转化为向量数乘关系，再代入坐标运算； （2）设,.若点是线段的中点，则点的坐标为. ［跟踪训练4］．在中，，，点在中线上，且，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.设点C的坐标为，则点D的坐标为. 由 可得,, 即 解得 故点C的坐标为. 课堂巩固 自测 1．（教材P33T1改编）已知向量,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选. 2．设，，则线段的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.因为，，所以线段 的中点坐标为,.故选A. 3．（多选）已知向量,，若，则以下结论正确的是（ ） A. 时，与同向 B. 时，与同向 C. 时，与反向 D. 时，与反向 【答案】AD 【解析】选.因为，则，解得 或，故排除.当 时，,,,与 的方向相同，故A正确；当 时，,,,与 的方向相反，故D正确.故选. 4．（教材P37T13改编）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，则点的坐标为____________. 【答案】 【解析】设点 的坐标为， 因为点，， 所以， ， 因为， 所以 解得 所以点 的坐标为. 5．已知向量，，，若，，三点共线，则________. 【答案】 【解析】， 因为，，三点共线， 所以 与 共线， 所以, 解得. 1.已学习：平面向量数乘运算的坐标表示、两个向量共线的坐标表示. 2.须贯通：利用向量共线的坐标表示可以解决参数问题及三点共线问题；向量数乘运算的坐标表示及应用体现了转化与化归的思想方法. 3.应注意：只有当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $