6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦平面向量的正交分解、坐标表示及加减运算坐标法则，通过光滑斜面木块受力问题导入，联系物理情境引导学生观察力的方向与关系，搭建向量分解到坐标表示的学习支架，衔接向量基本概念与坐标运算。 特色在于情境化导入培养数学抽象，分层题型（坐标表示、运算、应用）提升数学运算能力，通性通法总结助力教师教学，实例如平行四边形顶点坐标求解，帮助学生用数学语言表达现实问题，提升逻辑思维与应用意识。

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 新课程标准解读 核心素养 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示 数学抽象 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算 数学运算 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2. 【问题】　这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？ 　 　 　 　 　 　 知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个　互相垂直　的向量，叫做把向量作正交分解. 2.平面向量的坐标表示 （1）向量的坐标表示 （2）向量坐标与点的坐标的关系 在直角坐标平面中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标（x，y）就是　终点A　的坐标；反过来，终点A的坐标（x，y）也就是向量的坐标. 提醒　（1）表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A（x，y），a＝（x，y）；（2）当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同；（3）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关. 知识点二　平面向量坐标的加、减运算 若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则： （1）a＋b＝　（x1＋x2，y1＋y2）　；a－b＝　（x1－x2，y1－y2）　，即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）； （2）向量坐标的几何意义：如图所示，在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），则＝（x1，y1），若A（x1，y1），B（x2，y2），则＝　（x2－x1，y2－y1）　. 结论：（1）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的　终点　的坐标减去　起点　的坐标； （2）两向量相等，对应坐标分别　相等　. 1.已知向量a＝（1，2），b＝（3，1），则b＋a＝（　　） A.（－2，1） B.（2，－1） C.（2，0） D.（4，3） 解析：D　因为a＝（1，2），b＝（3，1），所以b＋a＝（3，1）＋（1，2）＝（4，3），故选D. 2.如图，在平面直角坐标系中，向量＝（　　） A.（1，2） B.（－1，－2） C.（2，4） D.（－2，－4） 解析：C　因为O（0，0），A（2，4），所以＝（2，4），故选C. 3.已知A（－1，1），B（－3，4），平面向量的坐标是（－2，3）. 解析：由已知＝（－3，4）－（－1，1）＝（－2，3）. 题型一 平面向量的坐标表示 【例1】　（1）如图，设与x轴、y轴同向的两个单位向量分别为i，j，取{i， j}作为基底，分别用i，j表示向量，，，并求出向量，，的坐标； 解：由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，则坐标表示分别为＝（6，2），＝（2，4），＝（－4，2）. （2）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.求向量a，b的坐标. 解：如图，作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，AM＝OA·sin 45°＝4×＝2， ∴A（2，2），故a＝（2，2）. ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°， 又OC＝AB＝3，∴C（－，）， ∴＝＝（－，），即b＝（－，）. 通性通法 求点和向量坐标的常用方法 （1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标； （2）在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. 【跟踪训练】 1.（2024·泰安月考）若＝（3，4），A点的坐标为（－2，－1），则B点的坐标为（　　） A.（1，3） B.（5，5） C.（1，5） D.（5，4） 解析：A　设B（x，y），∵A点的坐标为（－2，－1），∴＝（x＋2，y＋1）.又∵＝（3，4），∴解得即B点的坐标为（1，3）.故选A. 2.如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及向量与的坐标. 解：由题意及题图知B，D分别是30°角，120°角的终边与单位圆的交点. 设B（x1，y1），D（x2，y2）， 由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝， ∴B（，），D（－，）， 又A（0，0），∴＝（，），＝（－，）. 题型二 平面向量的坐标运算 【例2】　（1）（2024·开封月考）在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（3，5），＝（－1，2），则＋＝（　A　） A.（－2，4） B.（4，6） C.（－6，－2） D.（－1，9） 解析：在平行四边形ABCD中，因为A（1，2），B（3，5），所以＝（2，3）.又＝（－1，2），所以＝＋＝（1，5），＝－＝（－3，－1），所以＋＝（－2，4）.故选A. （2）设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，＝，则C点的坐标为（　D　） A.（－2，1） B.（1，－2） C.（2，－1） D.（－1，2） 解析：由题意可知＝－＝－i＋2j.∵＝，∴＝－i＋2j，∴C（－1，2）.故选D. （3）若＝（1，1），＝（0，1），＋＝（a，b），则a＋b＝－1. 解析：∵＋＝＝－＝（－1，0）＝（a，b），∴a＝－1，b＝0，∴a＋b＝－1. 通性通法 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算； （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算； （3）向量的坐标运算可类比数的运算进行. 【跟踪训练】 1.已知向量a＝（2，4），a＋b＝（3，2），则b＝（　　） A.（1，－2） B.（1，2） C.（5，6） D.（2，0） 解析：A　b＝a＋b－a＝（3，2）－（2，4）＝（1，－2）. 2.若a＋b＝（－3，－4），a－b＝（5，2），则向量2a＝（2，－2），向量2b＝（－8，－6）. 解析：a＋b＝（－3，－4）①，a－b＝（5，2）②.由①＋②，得2a＝（－3，－4）＋（5，2）＝（2，－2）；由①－②，得2b＝（－3，－4）－（5，2）＝（－8，－6）. 题型三 平面向量坐标运算的应用 【例3】　已知点A（2，3），B（5，4），＝（5λ，7λ）（λ∈R）.若＝＋，试求λ为何值时： （1）点P在第一、三象限的角平分线上； 解：设点P的坐标为（x，y），则＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），＋＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，7λ）＝（3，1）＋（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）. ∵＝＋，且与不共线， ∴则 若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝. （2）点P在第三象限内. 解：若点P在第三象限内，则∴λ＜－1. 【母题探究】 （变设问）若本例条件不变，点P在坐标轴上，求λ的值. 解：由本例知 （1）当点P在x轴上时，y＝4＋7λ＝0，∴λ＝－. （2）当点P在y轴上时，x＝5＋5λ＝0，∴λ＝－1. 通性通法 坐标形式下向量相等的条件及应用 （1）条件：相等向量的对应坐标相等； （2）应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系即构造方程（组），由此可以求出某些参数的值或点的坐标. 【跟踪训练】 已知一个平行四边形的三个顶点坐标为A（3，7），B（4，6），C（1，－2），求此平行四边形顶点D的坐标. 解：设点D的坐标为（x，y）， 当平行四边形为ABCD时，＝， 所以（4，6）－（3，7）＝（1，－2）－（x，y）， 所以所以 所以D（0，－1）. 当平行四边形为ABDC时，同理可得D（2，－3）. 当平行四边形为ADBC时，同理可得D（6，15）. 综上可得点D可能为（0，－1）或（2，－3）或（6，15）. 1.已知向量a＝（0，1），b＝（2，1），则a－b＝（　　） A.（0，－2） B.（2，0） C.（－2，0） D.（2，2） 解析：C　∵a＝（0，1），b＝（2，1），∴a－b＝（－2，0），故选C. 2.已知＝（－2，4），则下列说法正确的是（　　） A.A点的坐标是（－2，4） B.B点的坐标是（－2，4） C.当B是原点时，A点的坐标是（－2，4） D.当A是原点时，B点的坐标是（－2，4） 解析：D　由题意，向量＝（－2，4）与终点、始点的坐标差有关，所以A点的坐标不一定是（－2，4），故A错误；同理B点的坐标不一定是（－2，4），故B错误；当B是原点时，A点的坐标是（2，－4），故C错误；当A是原点时，B点的坐标是（－2，4），故D正确.故选D. 3.已知＝（3，1），＝（－4，－3），则＝（　　） A.（－7，－4） B.（7，4） C.（－1，4） D.（1，4） 解析：A　＝－＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4），故选A. 4.已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且＝，＝，求点M，N及向量的坐标. 解：因为A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4）， 所以＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8）， ＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3）. 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 因为＝，＝， 所以（x1＋3，y1＋4）＝（1，8），（x2＋3，y2＋4）＝（6，3）， 所以x1＝－2，y1＝4，x2＝3，y2＝－1， 所以M（－2，4），N（3，－1）， 所以＝（3，－1）－（－2，4）＝（5，－5）. 1.如图所示，向量的坐标是（　　） A.（1，1） B.（－1，－2） C.（2，3） D.（－2，－3） 解析：D　由题图知，M（1，1），N（－1，－2），则＝（－1－1，－2－1）＝（－2，－3），故选D. 2.已知＝（1，2），A（3，4），则B点坐标是（　　） A.（2，3） B.（4，6） C.（3，2） D.（6，4） 解析：B　设B点的坐标为（x，y），则＝（x－3，y－4）＝（1，2）.∴解得∴B点的坐标是（4，6）. 3.（2024·厦门月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是函数y＝sin x图象的最高点，Q是y＝sin x的图象与x轴的交点，则＋的坐标是（　　） A.（，1） B.（π，0） C.（－π，0） D.（2π，0） 解析：B　由题意以及题图可知Q（π，0），O（0，0），所以＋＝＝（π，0），故选B. 4.设＝（2，3），＝（m，n），＝（－1，4），则＝（　　） A.（1＋m，7＋n） B.（－1－m，－7－n） C.（1－m，7－n） D.（－1＋m，－7＋n） 解析：B　＝＋＋＝－－－＝－（－1，4）－（m，n）－（2，3）＝（－1－m，－7－n）. 5.（多选）在平面直角坐标系xOy内，下面四种说法正确的有（　　） A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应唯一的一个向量 D.平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标一一对应 解析：ABD　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，A、B、D正确. 6.（多选）已知A（3，2），B（5，4），C（6，7），则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为（　　） A.（4，5） B.（8，9） C.（2，－1） D.（3，－1） 解析：ABC　设点D的坐标为（x，y）.若是平行四边形ABCD，则有＝，即（5－3，4－2）＝（6－x，7－y），解得x＝4，y＝5，所以所求顶点D的坐标为（4，5），所以A正确；若是平行四边形ABDC，则有＝，即（5－3，4－2）＝（x－6，y－7），解得x＝8，y＝9，所以所求顶点D的坐标为（8，9），所以B正确；若是平行四边形ACBD，则有＝，即（6－3，7－2）＝（5－x，4－y）， 解得x＝2，y＝－1，所以所求顶点D的坐标为（2，－1），所以C正确.综上，顶点D的坐标为（4，5）或（8，9）或（2，－1）.故选A、B、C. 7.如图，向量a，b，c的坐标分别是（－4，0），（0，6），（－2，－5）. 解析：将各向量分别向i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，所以a＝（－4，0）；b＝0i＋6j，所以b＝（0，6）；c＝－2i－5j，所以c＝（－2，－5）. 8.已知2 024个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为（8，15），则其余2 023个向量的和为（－8，－15）. 解析：设其余2 023个向量的和为（x，y），则（8，15）＋（x，y）＝（0，0），∴（x，y）＝（－8，－15）. 9.（2024·舟山月考）已知向量a＝（2m，m），b＝（n，－2n），若a＋b＝（9，－8）（m，n∈R），则m－n＝－3. 解析：∵a＋b＝（2m＋n，m－2n）＝（9，－8），∴∴∴m－n＝2－5＝－3. 10.以原点O及点A（2，－2）为顶点作一个等边△AOB，求点B的坐标及向量的坐标. 解：因为△AOB为等边三角形，且A（2，－2）， 所以｜｜＝｜｜＝｜｜＝4. 因为在0～2π范围内，以Ox为始边，OA为终边的角为. （1）当点B在OA的上方时，以OB为终边的角为. 由三角函数的定义得＝（4cos，4sin）＝（2，2）. 所以＝－＝（2，2）－（2，－2）＝（0，4）. （2）当点B在OA的下方时，以OB为终边的角为. 由三角函数的定义得＝（0，－4）， 所以＝－＝（0，－4）－（2，－2）＝（－2，－2）. 综上所述，点B的坐标为（2，2），的坐标为（0，4）或点B的坐标为（0，－4），的坐标为（－2，－2）. 11.已知点A（1，1），B（2，4），将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得向量的坐标是（　　） A.（2，2） B.（3，3） C.（1，3） D.（3，4） 解析：C　∵点A（1，1），B（2，4），∴＝（1，3），将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，向量的大小和方向没有变化，∴＝＝（1，3）.故选C. 12.（2024·临沂月考）对于向量m＝（x1，y1），n＝（x2，y2），定义mⓧn＝（x1x2，y1y2）.已知a＝（2，－4），且a＋b＝aⓧb，那么向量b＝（　　） A.（2，） B.（－2，－） C.（2，－） D.（－2，） 解析：A　设b＝（x，y），由新定义及a＋b＝aⓧb，可得（2＋x，y－4）＝（2x，－4y），所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝（2，）. 13.已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为（0，0），（2，0），（1，1），则顶点C的横坐标的取值范围是（1，3）∪（3，＋∞）. 解析：当ABCD为平行四边形时，＝＋＝（2，0）＋（1，1）＝（3，1），故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是（1，3）∪（3，＋∞）. 14.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2）. （1）若＝＋，求点P的坐标； （2）若＋＋＝0，求的坐标. 解：（1）因为＝（1，2），＝（2，1）， 所以＝（1，2）＋（2，1）＝（3，3）， 即点P的坐标为（3，3）. （2）设点P的坐标为（x，y）， 因为＋＋＝0， 又＋＋ ＝（1－x，1－y）＋（2－x，3－y）＋（3－x，2－y） ＝（6－3x，6－3y）. 所以解得 所以点P的坐标为（2，2），故＝（2，2）. 15.（2024·洛阳月考）已知向量＝（5，12），将绕原点O按逆时针方向旋转90°得到，则＝（　　） A.（－5，13） B.（－5，12） C.（－12，13） D.（－12，5） 解析：D　过点A作AA'⊥y轴于点A'，过点B作BB'⊥x轴于点B'，则△OAA'≌△OBB'，且AA'＝BB'＝5，OA'＝OB'＝12，所以B（－12，5），所以＝（－12，5），故选D. 16.已知向量u＝（x，y）和向量v＝（y，2y－x）的对应关系可以用v＝f（u）表示. （1）若a＝（1，1），b＝（1，0），试求向量f（a）及f（b）的坐标； （2）求使f（c）＝（4，5）的向量c的坐标. 解：（1）由v＝f（u）可得，当u＝（x，y）时，有v＝（y，2y－x）＝f（u），从而f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，2×0－1）＝（0，－1）. （2）设c＝（x，y），则f（c）＝（y，2y－x）＝（4，5）， 所以解得即c＝（3，4）. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $