6.3.1 平面向量基本定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量基本定理这一核心知识点，基于向量共线定理推广，明确基底需为不共线向量，任一平面向量可由基底唯一线性表示，构建从共线到共面的知识支架。 通过“思考-探究-例题-跟踪训练”设计，以梯形、平行四边形等几何实例，培养数学抽象（数学眼光）和逻辑推理（数学思维），课中助力教师分层教学，课后即时练与巩固题帮助学生查漏补缺，强化基底表示应用能力。

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 学习目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 新知学习 探究 新课导学 向量共线定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来. 思考 向量共线定理是否可以推广到所有共面的向量呢？ 提示：可以.所有共面的向量中，只要指定两个不共线向量，则其他向量都可以用这两个向量表示出来. 一 平面向量基本定理 条件 ,是同一平面内的两个①________向量 结论 对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使②________________________ 基底 若,不共线,把③____________________叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 【答案】不共线； ； {, 【即时练】 1．（多选）设,是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】ACD 【解析】选.选项B中，，所以 与 共线，所以不能作为基底，选项A,C,D中两向量均不共线，可以作为基底. 2．（多选）设是平行四边形的两条对角线，的交点，其中可表示这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ，} D. ， 【答案】AC 【解析】选.平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于A，与 不共线，可以作为基底；对于B，与 为共线向量，不可以作为基底；对于C，与 不共线，可以作为基底；对于D，与 是共线向量，不可以作为基底. 3．已知,不共线，,,要使{,}能作为平面内的一个基底，则实数 的取值范围为______________________. 【答案】 【解析】若{,}能作为平面内的一个基底，则 与 不共线，则，因为,,所以.所以实数 的取值范围为. 对基底的理解 （1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底； （2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.设向量与是平面内两个不共线的向量，若,则且. 二 用基底表示向量 例1 （对接教材例1）如图，已知在梯形中，，，，分别是，的中点，设，，试用{,}为基底表示，. 【解】 因为，，，分别是，的中点，所以. . 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示；二是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解. ［跟踪训练1］． （1） 已知是的中线，，，以{,}为基底表示，则（ ） A. B. C. D. （2） [2024·新疆乌鲁木齐模拟]如图，由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，设，则下列关系正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） B 【解析】 （1） 选B..故选B. （2） 选B.由题图知，因为，所以，即，则.故选B. 三 平面向量基本定理的应用 角度1 三点共线的向量表示 例2 （1） 如图，已知，，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，用，表示,则（ ） A. B. C. D. （2） 在中，，，分别是，，的中点，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】（1） A （2） D 【解析】 （1） ，.而，所以，所以． （2） 因为 是 的中点，所以，所以,所以.故选D. （1）已知为非零向量，则，，三点共线. （2）已知，，为非零向量，若，则，，三点共线. ［跟踪训练2］．在平行四边形中，为的重心，，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】选C. 通解：如图，设 与 相交于点，又 为 的重心，可得 为，的中点，点 在 上，且，则.又，则,,所以. 秒解：由题意知，所以，所以,,所以. 角度2 求解平面几何问题 例3 （对接教材例2）如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，分别为，边上靠近，两点的三等分点，设，. （1） 试用,表示，，； （2） 证明：，，三点共线. 【答案】 （1） 【解】由题意得， ，. （2） 证明：因为，，所以，故 与 共线.又 与 有公共点，所以，，三点共线. 平面向量基本定理在解决几何问题中的作用 （1）平面向量基本定理提供了一种向量的表示方法. （2）由平面向量基本定理可知，任一向量都可以用同一个基底线性表示，而且这种表示是唯一的.因此，恰当选择基底是解决问题的关键. ［跟踪训练3］．[2024·河南洛阳月考]如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点.若，则的值是______. 【答案】 【解析】方法一（利用基底求解）：过点 作，交 于点（图略），由，为 中点，知，则， 因为，所以，即，故. 方法二（利用平面向量基本定理求解）：由，，三点共线，可设，则，由，，三点共线可设，则，则，由平面向量基本定理可得 解得 则， ， 则，化简得，则，即. 课堂巩固 自测 1．设,是同一平面内的两个向量，则（ ） A. ，一定平行 B. 同一平面内的任一向量,都有 C. ，的模相等 D. 若，不共线，则同一平面内的任一向量，都有 【答案】D 【解析】选D.由平面向量基本定理，得选项D正确. 2．（教材P36习题6.3T1改编）如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A..故选A. 3．（多选）已知非零向量，,,满足,,则以下结论正确的是（ ） A. 若与不共线，与共线，则 B. 若与共线，与相等，则 C. 存在实数，使得与相等，与不共线 D. 不存在实数,使得与不共线，与共线 【答案】AD 【解析】选.若 与 不共线，与 共线，设,即,,则,故A正确；若 与 共线，可设,则,,可得 与 共线，故D正确；若,则,即,所以，B错误；若,与 不共线，则，所以,显然不成立，C错误. 4．（教材P27T1改编）如图，在正方形中，设，，，则以{,}为基底时，可表示为________，以{,}为基底时，可表示为__________. 【答案】； 【解析】以{,}为基底时，；以{,}为基底时，将 平移，使 与 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得. 5．设，分别是的边，上的点，，，若,为实数，则________. 【答案】 【解析】如图，，又因为 与 不共线， 所以由平面向量基本定理得 ,, 所以. 1.已学习：平面向量基本定理及其应用. 2.须贯通：平面内的向量借助几何直观（或性质）均可用基底唯一表示，实质是利用三角形法则、平行四边形法则进行线性运算，同时也体现了化归与转化、数形结合的思想. 3.应注意：基底中的向量必须是不共线的两个向量. 学科网（北京）股份有限公司 $