6.3.1 平面向量基本定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.3 平面向量基本定理及坐标表示

6.3.1 平面向量基本定理

学习目标

1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.

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向量共线定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来.

思考 向量共线定理是否可以推广到所有共面的向量呢？

提示：可以.所有共面的向量中，只要指定两个不共线向量，则其他向量都可以用这两个向量表示出来.

一 平面向量基本定理

【答案】不共线； ； {,

【即时练】

1．（多选）设,是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是（  ）

A. 和 B. 和

C. 和 D. 和

【答案】ACD

【解析】选.选项B中，，所以 与 共线，所以不能作为基底，选项A,C,D中两向量均不共线，可以作为基底.

2．（多选）设是平行四边形的两条对角线，的交点，其中可表示这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是（  ）

A. ， B. ，

C. ，} D. ，

【答案】AC

【解析】选.平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于A，与 不共线，可以作为基底；对于B，与 为共线向量，不可以作为基底；对于C，与 不共线，可以作为基底；对于D，与 是共线向量，不可以作为基底.

3．已知,不共线，,,要使{,}能作为平面内的一个基底，则实数 的取值范围为______________________.

【答案】

【解析】若{,}能作为平面内的一个基底，则 与 不共线，则，因为,,所以.所以实数 的取值范围为.

对基底的理解

（1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；

（2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.设向量与是平面内两个不共线的向量，若,则且.

二 用基底表示向量

例1 （对接教材例1）如图，已知在梯形中，，，，分别是，的中点，设，，试用{,}为基底表示，.

【解】 因为，，，分别是，的中点，所以.

.

用基底表示向量的方法

将两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示；二是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.

［跟踪训练1］．

（1） 已知是的中线，，，以{,}为基底表示，则（  ）

A.  B.  C.  D.

（2） [2024·新疆乌鲁木齐模拟]如图，由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，设，则下列关系正确的是 （  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】（1） B

（2） B

【解析】

（1） 选B..故选B.