6.2.1 向量的加法运算（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量的加法运算，系统梳理向量加法的定义、三角形法则（首尾相接）、平行四边形法则（共起点作邻边）及运算律（交换律、结合律），通过位移情境引入，构建“情境-概念-法则-应用”的学习支架，为后续向量运算奠定基础。 该资料以小王位移等实际情境引导学生用数学眼光观察现实，借助几何直观培养数学思维，结合船航行方向等实例让学生用数学语言表达问题。课中助力教师实现从具体到抽象的教学，课后通过巩固自测帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.了解向量加法的几何意义及运算律，掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算. 3.能用向量加法解决实际问题. 新知学习 探究 新课导学 如图所示，小王上午从家（点）到达了公司（点），下午从公司（点）到达了舅舅家（点）. 思考1．分别用向量表示出小王上午的位移、下午的位移以及这一天的位移. 思考2．这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？ 【答案】思考1 提示：；；. 思考2 提示： . 一 向量的加法 1．向量加法的定义 （1） 定义：求两个向量①__的运算，叫做向量的加法. （2） 对于零向量与任意向量，规定②______③______. 【答案】（1） 和 （2） ； 2．向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量，，在平面内取任意一点，作,，则向量叫做与的和，记作④________，即⑤________ 平行四边形法则 以同一点为起点的两个已知向量,,以，为邻边作，则以为起点的向量（是的对角线）就是向量与的和 【答案】； 3． 与 , 之间的关系 一般地，我们有⑥____，当且仅当，中有一个是零向量或，是方向相同的非零向量时，等号成立. 【答案】 例1 （1） 如图1，用向量加法的三角形法则作出; （2） 如图2，用向量加法的平行四边形法则作出. 【答案】 （1） 【解】在平面内任取一点，作,,再作向量，则.如图1所示. （2） 在平面内任取一点，作,,以，为邻边作，则.如图2所示. 求作和向量的方法 （1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为起点，将两向量平移到首尾相接，从该起点到另外一个向量的终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接. （2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为起点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和. ［跟踪训练1］． （1） [2024·河北张家口模拟]在如图所示的坐标纸中有定点，，，，，，，则（ ） A. B. C. D. （2） 某人向正东方向走后，再向正南方向走，则此人位移的方向是________________________________________. 【答案】（1） B （2） 南偏东 （或东偏南） 【解析】 （1） 选B.以，为邻边作平行四边形（图略），可知 为所作平行四边形的对角线．故由平行四边形法则可知向量 即为所求向量. （2） 如图所示，此人从点 出发，经点，到达点，则，因为 是三角形的内角．所以 ，则位移的方向是南偏东 （或东偏南）. 二 向量加法的运算律 （1）交换律：①________. （2）结合律：②______________. 【答案】； 例2 （1） （多选）如图，在平行四边形中，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. （2） 根据图示填空，其中,,,. ________; ________. 【答案】（1） ACD （2） ； 【解析】 （1） 由平行四边形法则可得，，A正确；由三角形法则可得，，B错误；，C正确；，D正确.故选. （2） .. 向量加法运算律的应用策略 （1）多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如;. （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. ［跟踪训练2］． （1） （ ） A. B. C. D. （2） 已知正方形的边长等于1,则________. 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选B..故选B. （2） . 三 向量加法的实际应用 例3 （对接教材例2）已知在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 【解】 作出图形，如图.设船速 的方向与岸的方向成 角，由图可知，结合已知条件可知，四边形 为平行四边形， 在 中， , ， 所以，又 ， 所以 ,从而船速的方向与水流方向成 角. 故船行进的方向是与水流的方向成 角的方向. 【变式探究】 1．（设问变式）若本例条件不变，求经过，该船的实际航程是多少千米？ 解：由本例解图可知,则经过，该船的实际航程是. 2．（综合变式）若本例改为若船沿垂直于水流的方向航行，其他条件不变，求船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值. 解：如图所示，, ， 则.所以船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值为2. 应用向量加法解决实际问题的基本步骤 （1）表示：用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题. （2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将相关向量进行运算,解答向量问题. （3）还原：根据向量的运算结果,结合共线向量、相等向量等概念回答原问题. ［跟踪训练3］．若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”,则向量表示（ ） A. 向东北方向航行 B. 向北偏东 方向航行 C. 向北偏东 方向航行 D. 向东北方向航行 【答案】B 【解析】选B.如图，，,易知,所以 .故 的方向是北偏东 .可知.故选B. 课堂巩固 自测 1．（教材P22T4（1）（2）改编） （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.. 2．如图，在矩形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.在矩形 中，. 3．（教材P22习题6.2T1改编）若向量表示向东走，表示向南走，则向量表示____________________________. 【答案】向东南方向走 【解析】由题意知向量 表示方向为东南方向，大小为 的向量，即 表示向东南方向走. 4．在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，有，两点.若，在的东偏北 方向. （1） 作出； （2） 作出，使其与的模相等，方向相反. 【答案】 （1） 解：根据 的模及方向作出 如图所示. （2） 由题得,又 在 的东偏北 方向，故 在 的西偏南 方向，故可作出 如图所示. 1.已学习：向量加法的三角形法则、平行四边形法则、加法运算律. 2.须贯通：三角形法则和平行四边形法则都可用于求向量的和，体现了数形结合的思想方法. 3.应注意：（1）三角形法则需要向量首尾相接； （2）平行四边形法则需要向量共起点. 学科网（北京）股份有限公司 $