7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

课后达标 检测 A 基础达标 1．计算：（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】选C.原式.故选C. 2．[2024·天津市和平区期中]为虚数单位，若,则复数的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为,所以,故复数 的虚部为3.故选B. 3．已知复数,,为实数.若，则的值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 0 【答案】B 【解析】选B.,则 解得.故选B. 4．在复平面内，为原点，四边形是复平面内的平行四边形，且，，三点对应的复数分别为,,，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.由题意及复数加法的几何意义可得.故选C. 5．在平行四边形中，若点，对应的复数分别为和,则该平行四边形的对角线的长度为（ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】B 【解析】选B.依题意得 对应的复数为,因此 的长度为.故选B. 6．（多选）若，，则可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.设，则，由题意可得 解得 或 所以 或.故选. 7． __________. 【答案】 【解析】原式. 8．在平行四边形中，对角线与相交于点，若向量，对应的复数分别是，，则对应的复数为__________. 【答案】 【解析】依题意有，而，故 对应的复数为. 9．若复数,，为虚数单位满足,写出一个满足条件的复数：________________________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】,故.由 知，，化简得,故只要,即 可为任意实数 均满足题意，可取. 10．已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点，分别对应复数,,是，的交点，如图所示，求点，对应的复数，及点，间的距离. 解：因为，分别对应复数,, 所以 对应复数为,即点 对应的复数为. 又，所以 对应的复数为, 即点 对应的复数为. 所以. B 能力提升 11．设为复数，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】选A.设,,， 由，得 ， 所以， 由，解得， 则， 所以当 时，. 12．（多选）已知复数，满足，且在复平面内所对应的点为，所对应的点为，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 点在第二象限 C. 点的轨迹是圆 D. 点与点距离的最大值为 【答案】BC 【解析】选.的虚部为2，故A错误；点A的坐标为，所以点A在第二象限，故B正确；由，可知点B的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，故C正确；,故D错误.故选. 13．[2024·浙江宁波月考]已知复数，，若是纯虚数，则实数的值为________. 【答案】 【解析】由题意可得，因为 是纯虚数， 则 解得. 14．已知复数满足,求: （1） 的最大值和最小值； （2） 的最大值和最小值. 【答案】 （1） 解：设在复平面内复数 对应的点为，则满足 的点 的集合是圆心为,半径为1的圆内区域（包括边界），表示点 到原点 的距离. 如图所示，对应的复数的模为 的最大值，对应的复数的模为 的最小值. 因为，所以，. 即 的最大值为3，最小值为1. （2） 设,则, . 由（1）知, 所以 的最大值为,最小值为. C 素养拓展 15．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中所求的点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于 时，使得 的点即费马点.根据以上材料，若,则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.设，则 表示点 到 三个顶点，，的距离之和.依题意结合对称性可知 的费马点 位于虚轴的负半轴上，且 ，则 ,此时.故选B. 16．已知复数，存在实数，使成立. （1） 求证：为定值； （2） 若，求实数的取值范围. 【答案】 （1） 证明：因为，则, 由复数相等得 消去 得，故 为定值. （2） 解：因为,且, 所以 又因为，即， 则， 整理得， 所以原不等式组即为 解得， 故实数 的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $