6.4.3 第3课时 用余弦、正弦定理解三角形 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 课后达标检测 A基础达标 1.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为ab,C若 OsA= 3b=3C=2则△ABC的面积为 () 22 A.1 B.2 C.2v2 【答案】C 3 sin A-22 SAABC-bcsin A-2v2 【解析】选C.因为 所以 3所以 故选C V3b2+c2-a2) 2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是Q,b,C,若△ABC的面积是◆，则A=() 【答案】A 【解析】选A由b2+c2-Q2=2 bccos A及已知整理得△ABC的面积为 bosin A=3心4-2-9 A+0所 4 ,所以cosA≠0，所以tanA=V5,因为A∈(0，D,所以 A= a2a2+c2-b2 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是abc若京+-云则△ABC的形状为() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【答案】D a2 a2+c2-b2 解析】选D由下子+双金孩定理可移反 2 bccos A、 ,所以 COs A sin A cos B 所以由正弦定理可得面西©A 所以sin AcosA=sin Bcos B 独家授权侵权必究 复学科网书城 三方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 即sin2A=sin2B 因为A,B为△ABC的内角， 所以2A=2B或2A+2B=T, 所以A=B或 A+B-2 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.故选D. 4.[2024·山东临沂模拟]如图，在四边形ABCD中，B=C=120°，AB=4, BC=CD=2,则该四边形的面积为() A D 120°120 A.V3 B.5V3 C.6v3 D.73 【答案】B DBC=180-120=30° 【解析】选B连接BD(图略)在△BCD中，由已知条件，知 2 ,所以 LABD=90° 在 △BCD 中 ，由余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC·CDc0sC=22+22-2×2×2C0s120°=12所以BD=2W3,所 SA8cD=Sa4BD+S△BcD=3×4×2V5+号×2×2×sin120°=5V3 5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C△ABC的面积为a2sinA,则cosA的最小值 为() 。 2 B D. 【答案】C S△ABc=besin A=a2sinA,Ae(0,),sinA≠0，所以2 -bc a2 【解析】选C.因为 ,所以 独家授权侵权必究 拿学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 c0sA=+2-e2≥2c_3 2bc 2bc ,当且仅当b=C时等号成立，故C0sA的最小值为故选C 多选)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为bcs如8-2C=2b=V2页 sin C= 12 cosB=-贵 A 232☒ C.a-3 D.△ABC的面积为18或专 【答案】AD sin B=☒ b 122 【解析】选AD对于A,因为 c=2b=V2所以由m日 V2×=面C ,得 解 sinC= 12,故A正确； 0<B< 对于B,因为C>b,所以C>B,故 sin B cos B v1-sin B ,因为 12所以 故B错误； 对于C,由b2=2+c2-2acc0sB,得 =a2+4-4a×号a= 12 3或0=3经检验， a= 解得 与0=3都满足要求，故C错误； 对于D,当 5c=咖B-xx2×号-号当a=3时 232函 ca血B这3x2X受-零所以△ABC的面邦为西或t林DE确林接D 7.在△ABC中，bC=20,S△ABc=5,△ABC外接圆的半径为3，则a= 【答案】3 【解析】由S5△A8C=5,得2 besin A=×20×sinA=5sinA- ，解得 再由正孩定理，得2×3Q=×2X3=3 Q ，即 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为Q,b,C, A=号2+b2-2=bc=3则角 C=,a= 【答案】， 【解析】由Q2+b2-2=ab,得 0sC=2+2-e-1 2ab= 2,因为C∈(0，四，所以3，由正弦定理 sin A sin C a-sn4、3x sinc= =5 2 9.记△A8C的内角A,8,C的对边分别为a.bc,若0=2C=3B 3,则AC边上的高为 3w2 【答案】7 【解析】在△ABC中，Q=2,c=3, B由余孩定理得 b2=2+c2-2acc0sB=4+9-2×2×3×3=7 解得b=V7(负值已舍去)，设AC边 上的高为h,则 SAABC=acsin B=h:b,×2x3×sin5=h×V7h=3四 ,即 ，解得 7 10.在△ABC中，a,bc分别是角A,B,C的对边，且osC2a+e (1)求B的大小： (2)若b=V13a+c=4求的值 【答案】 cosB b (1) 解：因为osC 2a+c 毒 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 cosB sin B 所以由正弦定理，得osC 2simA+s血C 所以2 sin Acos B=-sin(B+C) 又sinA=sin(B+C≠0 0sB=-月 所以 B=2西 又0<B<π，所 3 (2) 将b=V3a+c=48= 代入b2=a2+c2-2 accos B得， 13=a2+(4-a)2-2a(4-a)c0s9 即a2-4+3=0解得a=1或a=3 B能力提升 11.[2024·黑龙江大庆期中]已知△ABC,则c0s2A+Cos2B-cos2C>1"是△ABC为钝 角三角形”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】选A因为cos2A+cos2B-cos2C>1,故1-sim2A+1-sin2B-1+sin2C>1 故sin2C>sim2A+sin2B,故c2>a2+b2,故 0sC=2+2-c<0 2ab ,而C为三角形内角，故C 为钝角，所以△ABC为钝角三角形，充分性成立；但若△ABC为钝角三角形，比如取 C=B=A- cos2 A+cos2 B-cos2 C=<1 ,此时 故c0s2A+cos2B-os2C>1不成 立，必要性不成立.所以C0s2A+C0s2B-C0s2C>1是△ABC为钝角三角形的充分不必 ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 要条件故选A 12.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若(b-c)sinB+csinC=asi血A, bcosC+ccosB=2,则△ABC面积的最大值为() A.1 B.v3 C.2 D.23 【答案】B 【解析】选B.因为(b-C)sinB+csinC=asinA 所以由正弦定理可得b2-bc+c2=a2 ,cosA=月 所以 A= 又Ae(0,D,所以 因为bcos C+ccosB=2 所以由余弦定理的推论可得 b.2+2e+c.2+=2 2ab 2ac 所以Q=2 由a2=b2+c2-2 bccosA 得4=b2+c2-bc≥bc 即bc≤4，当且仅当b=C=2时，取等号， SaAc=bcsin A-9bc≤V5 则 所以△ABC面积的最大值为V3 故选B 13.(多选)若向量AB=(1,m),AC=(-1,2),且AB与AC夹角的正弦值为5，则△ABC的 面积可能为() ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 w5 10 A.V5 B.2 C.11 D. 【答案】BD AC)= JAB-AC .-1+2m3 【解析】选BD由题意得lcos(A店 IABIIACT √V1+m2W5 3 m=品 解得m=2 故丽=VTP+2=5支A- +(-2- 11 S△ABc=ABIIACIsin(AB AC) 5c-x5x5×号23度-×警×6×品t选8D 或 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为A,b,C,bcos A=C (1)判断△ABC的形状，并加以证明； (2)如图，△ABC外存在一点D,使得 4BAD-iAD=2BD=5,且8C=25,求cD 【答案】 (1)解：△ABC为直角三角形证明如下： 在△ABC中，由正弦定理得 sin Bcos A =sin C yA+B+C=t, 所以sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+cosAsin B 化简得sin AcosB=0,因为A∈(O,),所以sinA>0,所以cosB=0 B=号 又因为B∈(0，四，所以 所以△ABC是直角三角形 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (2)在△ABD中，由正弦定理得 BD AD sinBAD sinABD 5 2 品=2ABD 由题设知， 所以i∠ABD= -号 5 cosCBD=cOs(号-∠ABD) 由(1)知， =sin-ABD=号 在 △BCD 分 由 余弦定理 得 CD2=BD2+Bc2-2BD:BCc0sCBD=52+(2V32-2×5×2V3×号=25 ，所以 CD=5 C素养拓展 15.在圆O的内接四边形ABCD中，AB=2,BC=6,CD=AD=4,则四边形ABCD的面积 S为() A.4V3 B.6V3 C.8v3 D.10W3 【答案】C 【解析】选C如图，连接BD,在△ABD中，由余弦定理得， BD2=4+16-2×2X4c0S∠BAD=20-16c0S∠BAD ,在 △CBD 中 BD2=16+36-2×4×6c0s∠BCD=52-48c0s∠BCD,因为∠BAD+∠BCD=180°，所以 20-16C0 SLBAD=52+48c0 stBAD,解得 cO3BAD=- ,所以∠BAD=120 ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 LBCD=60° S=S△A8D+S△c8D=×2×4×sin120°+号×4×6×sin60°=8V3 A 16.[2023·新课标1卷]已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB (1)求sinA (2)设4B=5,求4B边上的高. 【答案】 (1)解：在△ABC中，A+B=3C, = 又A+B+C=T,所以 又因为2sin(A-C)=sinB. 2sin(-B)=sin B 即 ，所以sinB=2cosB 又因为in2B+cos2B=1Be(04 sin B=2v5 所以 了os8-9 sin A-sin(B+C)-sin(B)-sin Bcos+cos Bsin- 所以 10 (2》在△ABc中，记内角A,B,C所对的边分别为0bc因为AB=C=5C-号 sin8=号 ·独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 sinA=3/10 10 所以由正弦定理可春0要受解有35b2而 设AB边上的高为，由三角形的面积公式可得 absinc-tc.h x35×2W而×9-5h 解得h=6,即AB边上的高为6. ·独家授权侵权必究