强化课 平面向量数量积的应用 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

课后达标 检测 一、选择题 1．[2024·浙江杭州期中]已知向量，，且与的夹角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.根据题意，向量， 则， 则有， 所以. 2．[2023·全国甲卷]已知向量，，则,（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为，，所以，，,，所以，.故选B. 3．已知向量，，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为，，所以 在 上的投影向量为，所以.因为，所以. 4．在直角梯形中，，，，，是的中点，则（ ） A. 32 B. 48 C. 80 D. 64 【答案】C 【解析】选C.因为，过点C作 于点（图略），所以，. 同理可得， 所以. 5．[2024·山东淄博期中]《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典.如图所示的是由《易经》中记载的八卦图抽象出的几何图形.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】选B.如图，过点 作直线 的垂线，垂足为，,，. 当点 在线段 上时，，取得最小值，不妨取点 在点 上，此时，，则，则，，故 的最小值为.故选B. 6．在直角梯形中，，，且，.若线段上存在唯一的点满足，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.如图所示，以A为坐标原点，和 的方向分别为 轴和 轴的正方向建立平面直角坐标系. 则，，设 的长为，则， 则，， 所以， 解得 或，由题意知点 存在于线段 上且唯一，可知线段 长度的取值范围是，故选B. 7．已知向量与的夹角为 ，，，，，在时取得最小值.当时，夹角 的取值范围为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】选C.由题意可得 ，，所以，由二次函数知，当上式取最小值时，，由题意可得，求得，又,所以.故选C. 8．（多选）如图，正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的是（ ） A. 点在线段上时，为定值 B. 点在线段上时，为定值 C. 的最大值为2 D. 使的点轨迹的长度为 【答案】AC 【解析】选. 以点A为坐标原点，，所在直线分别为 轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点，则，，，，当点 在线段 上时，，，故A正确；当点 在线段 上时，不是定值，不为定值，故B错误；由 得，，则，，所以，故当 时，即当点 与点C重合时， 取得最大值2，故C正确；由 得，，直线 交 轴于点，交 轴于点，，所以使 的 点轨迹为线段，且，故D错误. 9．[2024·福建福州月考]（多选）已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ） A. 与共线 B. 单位向量， C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】选.对于A，因为，所以不存在实数 ，使得，则 与 不共线，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，在 上的投影向量为 ,，C错误； 对于D，因为，所以，D正确.故选. 10．（多选）设，均为单位向量，对任意的实数有恒成立，则（ ） A. 与的夹角为 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】选.对于A，设，的夹角为 ，，两边平方可得，即 对任意 恒成立，故可得，即，则，即，又，故，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，当且仅当 时取等号，故C错误；对于D，，令，当且仅当 时，取得最小值，故 的最小值为，故D正确.故选. 二、填空题 11．已知向量,满足，,令，的夹角为 ，则__________. 【答案】 【解析】因为， ， 所以，， 所以，，， 所以. 12．在中，，，若为中点，则________. 【答案】 【解析】由题意得， 所以， 故， 又， 两式相减得， 所以，所以. 13．如图是某自行车的平面结构示意图，圆（前轮）、圆（后轮）的半径均为，，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设为后轮上的一点，则在骑行的过程中，当取得最小值时，点到地面的距离为______. 【答案】 【解析】由题图中坐标系可得，，，，所以，，所以，当，即 时，取得最小值为，此时点 的坐标为，故此时点 到地面的距离为圆 的半径，为. 14．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，则实数________，向量的取值范围是____________________. 【答案】； 【解析】设 与 的夹角为 ，则，，当 时，上式有最小值为，因为 的最小值为，所以 的最小值为3，所以，解得.又，所以，，此时.因为 与 的夹角为 ，且，，，所以不妨设，，，，所以 ，所以向量 的取值范围是. 三、解答题 15．已知点，，. （1） 若最小，求实数的值； （2） 若与夹角的余弦值为，求实数的值. 【答案】 （1） 解：由已知得， ， 所以， 所以， 所以当 时，取最小值. 所以实数 的值为3. （2） ，， 化简得， 解得 或. 经检验，和 均满足，所以实数 的值为4或. 16．在平面直角坐标系中，已知点，，. （1） 求的值； （2） 若点是直线上的动点，求的最小值. 【答案】 （1） 解：由题意可知，， 所以， 所以. （2） 如图所示，易知直线 的方程为，不妨设，则，当且仅当 时取等号，即 时，取得最小值. 17．如图，圆是边长为4的正方形的内切圆，为圆周上一点，过作，的垂线，垂足分别为，.设，. （1） 求的取值范围； （2） 求的最小值. 【答案】 （1） 解：如图，以 为原点，平行于 的直线为 轴，平行于 的直线为 轴建立平面直角坐标系. 设点，由题可知，， ，，， 则，， ，， 则， ， 所以 . 令，， 则，， 所以当 时，有最小值为，当 时，有最大值0， 所以 的取值范围是. （2） ， 令， 原式 ， 当且仅当，即 时等号成立. 所以 的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $