第二单元长方体（一）寒假综合训练（综合训练）-2025-2026学年数学五年级下册北师大版

第二单元 长方体（一）寒假综合训练 一、填空题 1．一个长方体的长是10cm，宽是2cm，高是2cm，这个长方体有( )个面是长方形，这个长方体的棱长之和是( )cm，表面积是( )cm2。 2．做一个“2”的对面是“( )”，“5”的对面是“( )”。 3．一大正方体由若干个棱长为1厘米的小正方体组成，在大正方体的表面涂色，其中只有一面涂色的小正方体有24个，大正方体的表面积是( )平方厘米。 4．奇奇用纸箱制作了一个无盖长方体收纳箱。收纳箱的长为9dm，宽为6dm，高为3dm，若要给收纳箱的侧面贴上壁纸，壁纸的面积至少是( )dm2。 5．如图所示：把一个长8cm，宽5cm，高4cm的长方体分割成3个小长方体，则表面积增加( )。 6．一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，求原来长方体的长( )厘米 7．如图是由棱长为2cm的小正方体在墙角堆成的，露在外面的面共有( )个，露在外面的面积是( )cm2。 8．用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体，大长方体的表面积可能是( )cm2，也可能是( )cm2。 9．下图是一个( )体，棱长是( )dm，每个面都是边长为( )dm的正方形，搭建它一共需要( )dm的小棒。 10．下图中的长方体纸盒的表面积是( )cm2。如果用包装纸将2个这样的长方体纸盒包装起来，至少需要( )cm2的包装纸。 11．如图，把一个正方体平均分成两个一样的长方体，其中一个长方体的表面积是48平方厘米，原来的正方体表面积是( )平方厘米。 二、选择题 12．下列展开图中，不能围成正方体的是（    ）。 A．B．C．D． 13．一个长方体的底面是边长为2m的正方形，它的侧面展开图也是一个正方形，这个长方体的侧面积是（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．64 14．一个长方体的底面积是30平方厘米，长是6厘米，如果这个长方体的高增加2厘米，则表面积增加了（    ）平方厘米。 A．24 B．60 C．50 D．44 15．如图有27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，要使剩下的图形表面积最大，应该（    ）。 A．取走①号 B．取走②号 C．取走③号 D．取走④号 16．如图，用棱长为1厘米的正方体像下图这样摆放下去。n（n为大于0的自然数）个这样的正方体摆成的长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．6n B．4（n＋2） C．5n＋1 D．4n＋2 三、判断题 17．把一个长20cm，宽10cm，高15cm的长方体木块锯成两个体积相等的小长方体，表面积最多增加300。( ) 18．正方体和长方体的棱长之和相等，则它们的表面积一定相等。( ) 19．做一个棱长为1m的无盖正方体铁箱，至少需要铁皮6。( ) 20．三个相同的正方体排成一列放在墙角，有7个面露在外面。( ) 21．下图是一个正方体纸盒的展开图，数字“6”和数字“2”相对。( ) 22．一个长方体的表面积是100cm2，把它锯成两个完全一样的正方体（如下图），每个正方体的表面积是60cm2。( ) 四、计算题 23．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 五、解答题 24．一间教室长8米，宽6米，高4米。要粉刷教室的顶部和四周墙壁，除去门窗面积25平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 25．一个长方体形状的游泳池，长50米，宽25米，深2米。如果要给游泳池的四周和底面贴上瓷砖，需要多少平方米的瓷砖？ 26．6个棱长都是20厘米的正方体纸箱堆放在墙角处（如下图），露出多少个面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 27．在下面的长方体展开图上，先把相对的面涂上相同的颜色，再标出每个面的长和宽。（单位：厘米） 说一说，如何得到这个长方体的表面积？ 28．淘气要把一个如下图所示的空包装箱的各面都贴上彩纸，至少需要多少平方厘米的彩纸？（单位：厘米） 29．笑笑是学校的“环保卫士”，她用长方形硬纸板制作了一个无盖的长方体收纳盒（如图），专门给妈妈放各种小装饰品。 （1）这个长方体收纳盒长（ ），宽（ ），高（ ）。 （2）笑笑在长方体收纳盒外面和里面每个面都粘贴上一层彩色的布进行装饰，至少需要多少平方厘米的布料？ 第4页，共5页 第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《第二单元 长方体（一）寒假综合训练》参考答案 1． 4 56 88 【分析】根据长方体的特征可知，这个长方体的上下面、前后面都是长为10cm、宽为2cm的长方形，共有4个这样的长方形；长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【详解】这个长方体有4个面是长方形； 长方体的棱长总和： （厘米） 长方体的表面积： （平方厘米） 综上所述，这个长方体有4个面是长方形，棱长总和是56厘米，表面积是88平方厘米。 2． 4 6 【分析】如果展开图中，两个数字在同一行或同一列，且中间隔一个的两个面就是相对面，以此判断。 【详解】与“2”相邻的是“1”和“3”，且“4”和“2”在同一行，中间相隔“3”，所以“2”的对面是“4”； 与“5”相邻的是“2”，且“5”和“6”在同一列，中间相隔“2”，所以“5”的对面是“6”。 因此，做一个“2”的对面是“4”，“5”的对面是“6”。 3．96 【分析】在大正方体的表面涂色，可知大正方体有6个面，因此每个面只有一面涂色的小正方体有24÷6＝4（个）；这4个单面小正方体是不包括棱上和顶角上的，所以不包括棱上和顶角上，每个面单面涂色的小正方体有2个，再加上2个，就是大正方体每条边上的小正方体个数4个，因为小正方体棱长为1，所以大正方体棱长为4厘米，根据大正方体表面积公式“6×棱长×棱长”，即可计算结果。 【详解】24÷6＝4（个），即单面涂色的小正方体有2个，2＋2＝4（个） 1×4×4×6＝96（平方厘米）。 则大正方体的表面积是96平方厘米。 4．90 【分析】根据题意，给无盖长方体收纳箱的侧面贴上壁纸，求壁纸的面积，就是求长方体侧面的面积，根据“长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 【详解】9×3×2＋6×3×2 ＝54＋36 ＝90（dm2） 壁纸的面积至少是90dm2。 5．80 【分析】由图可知，沿一个长方体的长将长方体分割成3个小长方体，表面积增加了4个相同的面，这个面是长为长方体的宽，宽为长方体的高，则根据长方形的面积＝长×宽，代入数据，即可求出这样的一个面的面积，再乘4即可解答。 【详解】5×4×4 ＝20×4 ＝80（cm2） 如图所示：把一个长8cm，宽5cm，高4cm的长方体分割成3个小长方体，则表面积增加80。 6．8 【分析】长方体截成两个完全相同的正方体时，会增加两个截面，每个截面都是正方形，每个正方形的面有4条棱，所以两个面共增加（4×2）条棱，因为两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，用增加的棱长和除以增加的棱长数量即可求出正方体的棱长，因为一个长方体被截成两个完全相同的正方体，所以长方体的长等于2个正方体的棱长，用正方体的棱长乘2即可求出原来长方体的长，据此解答。 【详解】4×2＝8（条） 32÷8＝4（厘米） 4×2＝8（厘米） 所以，一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，原来长方体的长8厘米。 【点睛】解答本题的关键是明确一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体时，会增加两个截面，每个截面都是正方形，共增加8条棱，且明白长方体的长等于2个正方体的棱长。 7． 13 52 【分析】从图观察知道，露在外面的面共有的个数＝前面露出面的个数＋右面露出面的个数＋上面露出面的个数，前面露出的面有3个，右面露出的面有5个，上面露出的面有5个，所以露在外面总的个数是3＋5＋5的和；露在外面的面积＝正方体每个面的面积×露在外面的面共有的个数，正方体每个面的面积是2×2＝4（cm2），乘总的个数即为露在外面的面积。 【详解】3＋5＋5＝13（个） 2×2×13 ＝4×13 ＝52（cm2）。 所以，如图是由棱长为2cm的小正方体在墙角堆成的，露在外面的面共有13个，露在外面的面积是52cm2。 8． 648 576 【分析】用4个棱长6cm的小正方体可以拼成一个长方体，长方体的长宽高可能是24cm、6cm、6cm，也可能是12cm、6cm、12cm，再根据长方体的表面积公式求解即可。 【详解】 （） （） 所以用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体，大长方体的表面积可能是648，也可能是576。 9． 正方 4 4 48 【分析】用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正方体，正方体是特殊的长方体， 正方体有8个顶点；正方体有6个面，每个面都为正方形且边长相等；正方体有12条棱，每条棱长度相等；棱长之和等于一条棱长的长度乘12，正方体相邻的两条棱互相垂直。据此进行分析。 【详解】（dm） 如图是一个正方体，棱长是4dm，每个面都是边长为4dm的正方形，搭建它一共需要48dm的小棒。 10． 392 592 【分析】单个长方体表面积：长方体表面积公式为2×（长×宽＋长×高＋宽×高），代入长12cm、宽8cm、高5cm计算。包装2个长方体的最少包装纸，要使包装纸最少，需将最大的面重叠，即长×宽的面，面积为（cm2），此时总表面积为2个长方体表面积之和减去2个重叠面的面积。 【详解】计算单个长方体表面积： （cm2） 包装2个长方体的最少包装纸： （cm2） 图中的长方体纸盒的表面积是392cm2。如果用包装纸将2个这样的长方体纸盒包装起来，至少需要592cm2的包装纸。 11．72 【分析】根据题意可得：其中一个长方体的表面积是正方体的4个面的面积，其中一个长方体的表面积÷4＝正方体一个面的面积，正方体一个面的面积×6＝正方体的表面积。 【详解】48÷4＝12（平方厘米） 12×6＝72（平方厘米） 原来的正方体表面积是72平方厘米。 12．B 【分析】正方体的展开图有如下类型：第一类，141型，中间一行4个正方形，两侧各1个正方形，共六种；第二类，132型，中间3个正方形，两侧一边有1个正方形、一边有2个正方形，共三种；第三类，222型，每行2个正方形，共3行，只有一种；第四类，33型，每行3个正方形，共2行；根据正方体展开图的特征，有 “田” 字格的展开图不能折成正方体；据此解答。 【详解】A．中间3个正方形，两侧一边有1个正方形、一边有2个正方形，是132型，能围成正方体； B．中间3个正方形，上面2个正方形，不相邻，折叠时会出现面重叠，无法围成正方体； C．每行2个正方形，共3行，是222型，能围成正方体； D．每行3个正方形，共2行，是33型，能围成正方体。 故答案为：B 13．D 【分析】因为侧面展开是正方形，所以长方体的高等于长方体的底面周长。用底面边长乘4求出底面周长，也就是高，用底面周长乘高求出侧面积即可。 【详解】2×4＝8（m） 8×8＝64（） 所以，这个长方体的侧面积是64。 故答案为：D 14．D 【分析】把长方体的高增加，表面积增加的是长方体前后左右4个面，增加的面积展开后是个大长方形，这个大长方形的长＝长方体底面周长，大长方形的宽＝增加的高，增加的表面积＝底面周长×增加的高，长方体的底面积÷长＝宽，底面周长＝（长＋宽）×2，据此列式计算。 【详解】30÷6＝5（厘米） （6＋5）×2×2 ＝11×2×2 ＝44（平方厘米） 表面积增加了44平方厘米。 故答案为：D 15．A 【分析】观察取出一块小正方体后增加小正方体面的个数，增加面的个数最多时，增加的表面积最大。由此判断。 【详解】A．取走①号后减少了小正方体1个面的面积，增加了上下左右后5个小正方体面的面积，相当于增加了4个小正方体面的面积。 B．取走②号后减少了小正方体3个面的面积，增加了上右后3个小正方体面的面积，相当于没变。 C．取走③号后减少了小正方体2个面的面积，增加了上左右后4个小正方体面的面积，相当于增加了2个小正方体面的面积。 D．取走④号后减少了小正方体3个面的面积，增加了上下左右后3个小正方体面的面积，相当于没变。 所以取走①号后剩下的表面积最大。 故答案为：A 16．D 【分析】确定长方体长、宽、高，代入长方体表面积公式，表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高）。 第一幅图：长1厘米，宽1厘米，高1厘米； 第二幅图：长2厘米，宽1厘米，高1厘米； 第三幅图：长3厘米，宽1厘米，高1厘米； 第四幅图：长4厘米，宽1厘米，高1厘米； …… 第n幅图：长n厘米，宽1厘米，高1厘米。 所以n（n为大于0的自然数）个这样的正方体摆成的长方体的表面积S＝2×（n×1＋n×1＋1×1）。 【详解】n（n为大于0的自然数）个这样的正方体摆成的长方体的长n厘米，宽1厘米，高1厘米。 S＝2×（n×1＋n×1＋1×1） ＝2×（n＋n＋1） ＝2×（2n＋1） ＝（4n＋2）平方厘米 故答案为：D 17．× 【分析】把一个长方体锯成两个体积相等的小长方体，会增加两个切面的面积，切面的形状与长方体的面一致，所以表面积增加的总量＝单个切面面积×2。长方体有三组不同的面，分别计算每组面的面积，对比选出最大面。以最大面为切面时，求出增加的面积，据此判断。 【详解】长×宽：20×10＝200（cm2） 长×高：20×15＝300（cm2） 宽×高：10×15＝150（cm2） 300＞200＞150 因此长×高的面是最大面。 面积为300×2＝600（cm2） 表面积最多增加600cm2，原说法错误。 故答案为：× 18．× 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，正方体的棱长总和＝棱长×12。当棱长总和相等时，长方体的长、宽、高的和固定，但长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，取决于长、宽、高的具体值，而不仅仅是它们的和；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，仅取决于棱长。因此，表面积不一定相等。 【详解】假设正方体的棱长为2厘米。 12×2＝24（厘米） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 假设长方体的长为4厘米、宽为1厘米、高为1厘米。 （4＋1＋1）×4 ＝（5＋1）×4 ＝6×4 ＝24（厘米） （4×1＋4×1＋1×1）×2 ＝（4＋4＋1）×2 ＝（8＋1）×2 ＝9×2 ＝18（平方厘米） 棱长总和相等（均为24厘米），但表面积不相等（24平方厘米≠18平方厘米）。因此，原题说法错误。 故答案为：× 19．× 【分析】无盖的正方体铁箱缺少一个面，因此只有5个面。每个面为边长1m的正方形，面积为1m²。总表面积为5个面的面积之和，即5×1m²＝5m²。题干中“至少需要铁皮6m²”与计算结果不符，故说法错误。 【详解】无盖正方体铁箱有5个面。 每个面的面积：1 × 1 ＝ 1（m2） 总需要铁皮面积：5 × 1 ＝ 5（m2） 则至少需要铁皮5m2，题干上是至少需要6m2，说法错误。 故答案为：× 20．√ 【分析】正方体在墙角且排成一列时的遮挡情况。墙角有两个垂直墙面和一个地面，第一个正方体有三个面与墙面或地面接触而被遮挡，其他正方体有较少的面与墙面或地面接触，但相邻正方体接触导致额外遮挡，由此即可判定。 【详解】三个相同的正方体排成一列放在墙角。 2＋2＋3＝7（个），一共有7个面露在外面。 故答案为：√ 21．√ 【分析】正方体的展开图，相对面要隔一列或一行，左右隔 1列，上下隔1行，据此规律即可解答。 【详解】“1”和“4”面相对，“2”和“6”面相对，“3”和“5”面相对。 故答案为：√ 22．√ 【分析】根据题意可知，这个长方体正好分割成两个完全一样的正方体，就是把这个正方体的表面积平均分成10个面，用100÷10＝10，求出正方体一个面的面积，再根据正方体的表面积S＝一个面的面积×6，求出正方体的表面积。 【详解】100÷10＝10（cm2） 10×6＝60（cm2） 每个正方体的表面积是60cm2，原题说法正确。 故答案为：√ 23．376平方厘米 【分析】看图可知，在长方体的顶点挖去一个长方体，看上去表面积少了3个面，里面又出现了同样的3个面，因此这个立体图形的表面积就是完整的长方体表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【详解】 （平方厘米） 它的表面积是376平方厘米。 24．135平方米 【分析】这间教室是长方体，求粉刷面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为地面和门窗不用粉刷，所以需要减去底面积和门窗面积，据此解答。 【详解】（8×6＋8×4＋6×4）×2－8×6－25 ＝（48＋32＋24）×2－8×6－25 ＝104×2－8×6－25 ＝208－48－25 ＝160－25 ＝135（平方米） 答：粉刷的面积是135平方米。 25．1550平方米 【分析】求需要瓷砖的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为上面不需要贴瓷砖，所以需要减去一个底面积，据此解答。 【详解】（50×25＋50×2＋25×2）×2－50×25 ＝（1250＋100＋50）×2－50×25 ＝1400×2－50×25 ＝2800－1250 ＝1550（平方米） 答：需要1550平方米的瓷砖。 26．13个；5200平方厘米 【分析】观察图形可知，从正面看露在外面的正方形有4个，从右面看露在外面的正方形有4个，从上面看露在外面的正方形有5个，所以露在外面的正方形共有4＋4＋5＝13个。根据正方形的面积＝边长×边长，据此求出正方形的面积；最后用一个正方形的面积乘正方形的个数即可。 【详解】4＋4＋5＝13（个） 20×20×13 ＝400×13 ＝5200（平方厘米） 答：露出13个面，露在外面的面积是5200平方厘米。 27．522平方厘米 【分析】根据长方体的特征，相对的面中间隔一个面，据此可以判断出相对的面，再把相对的面上涂上相同的颜色即可。观察可知，长方体相对的面面积相等，计算6个面的面积即可得长方体的表面积，再根据，代入数据计算即可。 【详解】三种颜色代表三种相对的面： （平方厘米） 答：计算长方体的6个面的面积可得到长方体的表面积是522平方厘米。 28．7200平方厘米 【分析】已知长方体的长是40厘米，宽是25厘米，高是40厘米。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出需要彩纸的面积。 【详解】（40×25＋40×40＋40×25）×2 ＝（1000＋1600＋1000）×2 ＝3600×2 ＝7200（平方厘米） 答：至少需要7200平方厘米的彩纸。 29．（1）28厘米；20厘米；6厘米 （2）2272平方厘米 【分析】（1）看图可知，长方体的长＝长方形硬纸板的长－裁去的正方形边长×2、宽＝长方形硬纸板的宽－裁去的正方形边长×2，高＝裁去的正方形边长，据此分析。 （2）用长方形硬纸板的面积减去4个边长是6厘米的正方形的面积，再乘2，就是需要布料的面积。长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长。 【详解】（1）40－6×2 ＝40－12 ＝28（厘米） 32－2×2 ＝32－12 ＝20（厘米） 这个长方体收纳盒长28厘米，宽20厘米，高6厘米。 （2）（40×32－6×6×4）×2 ＝（1280－144）×2 ＝1136×2 ＝2272（平方厘米） 答：至少需要2272平方厘米的布料。 答案第2页，共12页 答案第3页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $