10 强化课 古典概型的综合应用 课后达标 检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦概率核心知识，涵盖古典概型、互斥事件、概率加法公式等内容。通过抛硬币、产品抽样等实例导入，衔接随机事件与样本空间的基础，以列举样本点、分步分析事件为支架，帮助学生构建概率计算的知识脉络。 其亮点在于融入刘徽幻方、函数奇偶性等跨知识情境，结合频率分布直方图等统计工具，培养学生用数学眼光观察现实问题的能力。通过分类讨论事件关系、逻辑推理概率计算，发展数学思维，同时以符号化语言表述事件与公式，提升数学表达能力。学生能在实例中深化理解，教师可借助多样化例题实现分层教学。

第十章 强化课 课后达标 检测 1 一、选择题 1.抛掷一枚质地均匀的硬币4次，恰好两次正面朝上的概率是( ) A A. B. C. D. 【解析】 选A.若用A表示正面朝上，用B表示反面朝上，则抛掷一枚质地 均匀的硬币4次的样本点有，，，， ， ，，，，，，， ， ，， ，共16个， 其中恰好两次正面朝上的有6个， 所以所求概率为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 2.（2024·山东青岛月考）任取一个三位正整数，则 是一个正整数 的概率为( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.易知三位正整数有900个，而使得为正整数的 应是2 的正整数幂，显然满足要求的有，， ，共3个， 所以概率为 .故选B. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3 3.甲、乙两人有三个不同的学习小组，， 可以参加，若每人必须参加 并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参 加同一个学习小组的概率为( ) A A. B. C. D. 【解析】 选A.甲、乙两人参加学习小组，若以 表示甲参加学习小组 A，乙参加学习小组B， 则样本空间，，，，， ， ， ，共9个样本点，且每个样本点出现的可能性相等， 其中两人参加同一个学习小组的样本点共有3个，则所求概率为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4 4.刘徽是魏晋时代著名数学家，他给出的 阶幻方被称为“神农幻 方”.所谓幻方，即把1，2， ，排成 的方阵，使其每行、每列和 对角线上的数字之和均相等.如图是3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三 个数，则含有4或6的概率是( ) 8 1 6 3 5 7 4 9 2 C A. B. C. D. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5 【解析】 选C.随机抽取和为15的三个数包含的样本点为 ， ，，，，，， ，共8 个， 其中含有4或6的样本点有，，，， ， 共5个， 则含有4或6的概率是 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6 5.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件,则发生的概率不 超过 的事件是( ) D A.恰有1件一等品 B.至少有1件一等品 C.至多有1件一等品 D.都不是一等品 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7 【解析】 选D.将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中 任取2件有10种取法：，，，，， ， ，，，．其中恰有1件一等品的取法有 ， ，，，， ，共6种，则恰有1件一等品的概率为 ，A不符合题意；恰有2件一等品的取法有， ， ，共3种，则恰有2件一等品的概率为 ，其对立事件是“至多有 1件一等品”，概率为 ，C不符合题意；都不 是一等品的取法只有，其概率为 ，D符合题意；至少有1 件一等品的概率为 ，B不符合题意.故选D. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 6.从这20个整数中随机选择一个数，选到的数能被2整除的概率为 ， 选到的数能被3整除的概率为 ，选到的数能被2整除也能被3整除的概率 为 ，则这个数能被2整除或能被3整除的概率是( ) C A. B. C. D. 【解析】 选C.设事件A为“选到的数能被2整除”，则 ，事件B为 “选到的数能被3整除”，则 ，而事件“选到的数能被2整除也能被 3整除”为，且 ，因为事件A，B不是互斥事件，所以 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 7.已知函数的定义域为,0,，值域为，则函数 是偶函数 的概率为( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.因为的定义域为,0, ，关于原点对称，值域为 ， 所以有或 或或 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10 或 或 共6个样本点， 而当和时，满足 是偶函 数，有2个样本点， 所以是偶函数的概率 .故选B. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11 8.（多选）先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分 别记为， ，则下列结论正确的是( ) CD A.时的概率为 B.时的概率为 C.时的概率为 D.是6的倍数的概率是 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12 【解析】 选 .先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36种不同的情形.满足 的情形有，，，，， ，故 ，故A错误；满足的情形有，，, ， ，，，，，故 ，故B错误；满足 的情形有，，，，故 ，故C正确； 满足是6的倍数的情形有，,，,, ,故 ,故D正确.故选 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13 9.（多选）某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这 种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占 ，需要维修2次的占 ，需要维修3次的占.设“一年内需要维修次”， ,1,2,3,则 下列事件的概率正确的是( ) ABC A.在一年内需要维修的概率为0.25 B.在一年内不需要维修的概率为0.75 C.在一年内维修不超过1次的概率为0.90 D.在一年内最多需要维修2次的概率为0.94 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14 【解析】 选.依题意得，， ， 因为，，， 彼此互斥，所以 .对于A，记事件A为“一年 内需要维修”，则 ,所以 ，A正确； 对于B,记事件B为“一年内不需要维修”，则 ，所以 ，B正确；对于C，记事件C为“在一年内维修不超过 1次”，则 ，所以 ，C正确；对于D，记事件 D为“一年内最多需要维修2次”，则 ，所以 ，D错误. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15 10.（多选）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿 者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组 ， 第2组，第3组，第4组，第5组 ，得到的频 率分布直方图如图所示.若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名 志愿者参与宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍 宣传经验，则下列结论正确的是( ) A.应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人 B.第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为 C.第5组志愿者被抽中的概率为 D.第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为 ABC 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16 【解析】 选.第3组抽取的人数有 ，第4组抽取的 人数有，第5组抽取的人数有 ， 故A正确；设第3组的人分别为,,，第4组的人分别为, ，第5组的人为 ，则6人中随机抽取2人有,,,,,, , ,，,,,,, ，共15个样本点，其中第 4组志愿者恰有一人被抽中有8个样本点，则其概率为 ，故B正确；第5组 志愿者被抽中有5个样本点，其概率为 ，故C正确；第3组志愿者至 少有一人被抽中有12个样本点，其概率为，故D错误.故选 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17 二、填空题 11.（2024·广东广州模拟）甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排， 则甲站在边上的概率为__. 解析：方法一:如图所示. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 由图可看出共有24个样本点. 设“甲站在边上”为事件，则 包含（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁， 丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙，丁，乙），（甲，丁，乙，丙）， （甲，丁，丙，乙），（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，丙，甲）， （丙，乙，丁，甲），（丙，丁，乙，甲），（丁，乙，丙，甲）， （丁，丙，乙，甲），共12个样本点.故 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 方法二：甲、乙、丙、丁四人站队，排头和排尾的站法有（甲，乙）， （乙，甲），（甲，丙），（丙，甲），（甲，丁），（丁，甲）， （乙，丙），（丙，乙），（乙，丁），（丁，乙），（丙，丁）， （丁，丙），共12个样本点，设“甲站在边上”为事件，则 包含 （甲，乙），（乙，甲），（甲，丙），（丙，甲），（甲，丁）， （丁，甲），共6个样本点. 故 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 12.据文献记载，《百家姓》成文于北宋初年，表1记录了《百家姓》开头 的24大姓氏： 表1 赵 钱 孙 李 周 吴 郑 王 冯 陈 褚 卫 蒋 沈 韩 杨 朱 秦 尤 许 何 吕 施 张 表2记录了某校学生人数最多的前12大姓氏： 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 21 表2 1：李 2：王 3：张 4：刘 5：陈 6：杨 7：赵 8：黄 9：周 10：吴 11：徐 12：孙 从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏，则这个姓氏是该校学 生人数最多的前12大姓氏的概率为__. 解析：该校学生人数最多的前12大姓氏也是《百家姓》的前24大姓氏的是 赵、李、周、吴、王、陈、杨、张、孙，共9个，故所求概率为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 22 13.连续抛掷一个质地均匀的骰子两次，得到的点数依次为, ，则使得关 于的方程 有2个互不相等的实数根的概率为___. 解析：若方程有2个互不相等的实数根，则 .连 续抛掷一个质地均匀的骰子两次，得到的点数依次为,,记为 ,所有 可能的结果共36种，其中满足题意的有，，， ， ，，，,，，，， ， ，，，，共17种.故使得关于 的方程 有2个互不相等的实数根的概率为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 23 14.小明从正方形的四个顶点中任选两个顶点连了一条经过这2个点的直线， 小红也从该正方形的四个顶点中任选两个顶点连了一条经过这2个点的直 线，则这两条直线互相垂直的概率为___. 解析：因为经过正方形两个顶点的直线有6条，则小明、小红分别从这6条 直线中任选1条，有 个样本点，它们等可能，而正方形经过2个 顶点的直线中，互相垂直的直线有5对，每一对这样的直线，小明选1条， 小红选另1条，有2个结果，因此小明、小红选取的两条直线互相垂直的样 本点有10个，所以这两条直线互相垂直的概率 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 24 三、解答题 15.已知二次函数，设集合, ,1,2,3, ,分别从集合和中随机取一个数，作为和，得到数对 . （1）列举出所有的数对，并求函数 有零点的概率； 解：数对的样本空间，，，， ， ，，，，，，，， ， ，共15个样本点. 若函数有零点，则，满足条件的有， ， ，，，，共6个样本点，所以函数 有零点的概率 为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 25 （2）求函数在区间 上单调递增的概率. 解：函数的图象的对称轴为直线且,又在区间 上单调递增，则,有，，，， ， ，，，，，，， ，共13个样 本点，所以函数在区间上单调递增的概率为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 26 16.科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为 ，， ，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位 素的含量比为占，占，占 ．现有3个 ，2个，个．若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是 的概率为 ． （1）求 ； 解：依题意，从这些氧元素中随机选取1个，这个氧元素是 的概率 ,则，解得 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 27 （2）若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率． 解：记3个分别为，，，2个分别为，，1个为 ，从中随 机选取2个，所有的情况为，，，，， ， ，，，，，，，， ， 共15个样本点，它们等可能发生， 其中这2个氧元素是同一种同位素的情况有，，， ， 共4个样本点，其概率 ，所以这2个氧元素是同一种同位素的概率 是 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 28 17.某企业为了解广大球迷对世界杯的了解程度，在球迷中开展了网上测试， 从大批参与者中随机抽取100名球迷，他们测试得分（满分100分）数据的 频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分布直方图，求 的值； 解：，解得 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 29 （2）若从得分在 内的球迷中用分层随机抽样的方法抽取6人作世 界杯知识分享，并在这6人中选取2人担任分享交流活动的主持人，求选取 的2人中至少有1名球迷得分在 内的概率. 解：由分层随机抽样可知，从得分在 内的球迷中抽取 （人），分别记为，，，从得分在 内 的球迷中抽取（人），分别记为， ，从得分在 内的球迷中抽取（人），记为 .所以从这6人 中选取2人的样本点有，，，， ， ，，，，，， ， 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 30 ，，，共15个，两人中至少有1名球迷得分在 内的样本点有，，，，， ， ，， ，共9个.所以选取的2人中至少有1名球迷得分在 内的概率为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $