27 8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直的判定 课后达标 检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间点线面垂直关系及线面角计算，通过回顾线面垂直判定定理导入，以三角形、正四棱锥等几何体为载体，搭建从定理到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以具体几何体实例（如正方体、圆柱）为依托，通过严密推理（如线面垂直判定）和规范证明（如AN⊥平面PBM），培养学生数学眼光（空间形式观察）和数学思维（逻辑推理）。分层练习设计帮助学生提升空间观念与应用能力，教师可借此高效落实教学目标。

8.6.2 第1课时 课后达标 检测 1 1.已知空间中直线和三角形的两边， 同时垂直，则这条直线和三角 形的第三边 的位置关系是( ) B A.平行 B.垂直 C.相交 D.平行或相交 【解析】 选B.由于直线和三角形的两边， 同时垂直，而这两边相 交于点C，所以直线和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边 在这个平面内，所以 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2.已知和是两条不同的直线, 和 是两个不重合的平面，那么下面给 出的条件中，一定能推出 的是( ) B A. ，且 B.，且 C.，且 D.，且 【解析】 选中，由 ，且 ，知 ，不符合题意；B中， 由 ，知垂直于平面 内的任意直线，再由，知也垂直于 内的任意直线，所以 ，B符合题意；C,D中， 或 或 与 相交，不符合题意.故选B. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 3.若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所 成的角为( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.设正四棱锥的底面边长为1，连接底面对角线 （图略），则，因为侧棱的长度均为1，所以 为等腰直角三 角形.设的中点为，由正四棱锥知 底面，即 为所求 角，所以 .故选B. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 4.如图，在圆柱中，是母线，是底面圆的直径， 是底面圆上一 点，则( ) A A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 【解析】 选A.依题意得 平面， 平面 ，所以 ，又是底面圆的直径，所以，又 ， ， 平面，所以 平面，故A正确；显然与 不 垂直，所以不可能垂直于平面，故B错误；显然与 不垂直， 所以不可能垂直于平面，故C错误；显然与不垂直，所以 不可能垂直于平面 ，故D错误. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 5.（2024·湖北黄冈期末）已知在长方体 中， ，，则与平面 所成的角的余弦值为( ) C A. B. C. D. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 【解析】 选C.连接 ，如图所示.在长方体 中， 平面，则 与平 面所成的角为.因为 平面 ， 平面，所以 .因为 ， ， 所以，即与平面 所成的 角的余弦值为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.（多选）如图，在以下正方体中，直线与平面 垂直的是( ) BD A. B. C. D. 【解析】 选.对于A，由异面直线与所成的角为 ，知与 不垂直，故直线与平面 不垂直，故A错误；对于B，由题图知， ，，又，， 平面，所以 平面，故B正确；对于C，由异面直线与所成的角为 ，知 与不垂直，故直线与平面 不垂直，故C错误； 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 对于D，连接（图略），因为，， ， ， 平面，所以 平面，又 平面 ，所以 .连接（图略），因为，， ， ， 平面，所以 平面，又 平面 ，所以 .又，， 平面，所以 平面 ， 故D正确. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，，点， ，点 ，且 ， ，那么直线与直线 的位置关系是 ______. 垂直 解析：因为 ， ，所以 ， 又 ， ，所以 ， 又，且， 平面 ， 所以直线 平面 ， 又 平面，故 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 8.过平面外一点的斜线段是过这点的垂线段的倍，则斜线与平面 所 成的角是__. 解析：如图，连接，由 ，知是线段 与平面 所成的角，在中，因为 ， 所以，因为, ，所以 ，即线段与平面 所成的角为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 9.在长方体中，正方形的面积为16， 与平面 所成的角为 ，则该长方体的体积为______. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 解析：因为 ， 所以 ， 因为 平面，故为与平面 所成的角，即 . 从而 ， . 故该长方体的体积 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 10.如图，在中， ，， ， 平 面，，是上的一个动点，求 的最小值. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 解：如图，过点作于点，连接 . 因为 平面， 平面，所以 . 又因为，， 平面，所以 平面 . 又因为 平面 ， 所以,此时 最短. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 因为 ， ， ，所以 , 所以 . 因为 平面， 平面 ， 所以 . 因为在中,， ， 所以 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.（2024· 新课标Ⅱ卷）已知正三棱台的体积为 ， ，，则与平面 所成角的正切值为( ) B A. B.1 C.2 D.3 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 【解析】 选B.设正三棱台的高为 ，三条 侧棱延长后交于一点，作 平面于点， 交 平面于点，连接， ，如图所示.由 ，可得， ，又 ， ，所以正三棱台 的体积 ，解得 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 ，故 .由正三棱台的性质可知，为 的中心，则 ，因为 平面，所以是 与平 面所成的角，在中， .故选B. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选）如图，四棱锥的底面为正方形， 底面 ， 则下列结论中正确的是( ) ABC A. B.平面 C.与平面所成的角等于与平面 所成的角 D.与所成的角等于与 所成的角 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 【解析】 选.对于A，由题意得，， ， ， 平面，所以 平面， 平面 ，故 ，故A正确；对于B，因为， 平面， 平 面，所以平面，故B正确；对于C，由对称性知 与平面 所成的角与与平面 所成的角相等，故C正确；对于D，由题意 得，与所成的角为，与所成的角为 ，显然， ，故D不正确. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 13.如图，在正方体中，点 在侧面 及其边界上运动，并且总是保持 ，则动点 的轨迹是_________. 线段 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 解析：如图，连接，，， ，因为正方体 中，， ， ，， 平面，所以 平面 ，因为 平面，所以,同理可证 ,又 ，, 平面，所以 平面，又知点 在侧面及其边界上运动，平面 平面 ，所以 为上任何一点时，均有 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 14.如图，为的直径，垂直于所在的平面， 为圆周上任意 一点，， 为垂足. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 （1）求证： 平面 ； 证明：因为为 的直径， 所以 . 又 平面， 平面 ， 所以 ， 又因为，， 平面，所以 平面 ， 又 平面，所以 ， 又，且，， 平面，所以 平 面 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 （2）若，垂足为，求证： . 证明： 由（1）知 平面 ， 平面，所以 . 又因为，，， 平面 ， 所以 平面 . 又 平面，所以 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 15.如图，在直三棱柱中， ，当底 面 满足条件___________________________时，有 .（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考 虑所有可能的情况） （答案不唯一） 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 解析：如图所示，连接，由，可得 .因此，要证 ，则只要证明 平面，即只要证 . 由直三棱柱可知，只要证 . 因为， ， 故只要证.（或者能推出 的条件，如 等） 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 16.在棱长为1的正方体中，，分别为， 的中 点，在上是否存在一点，使得 平面，若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由. 解： 存在，.取的中点，取的中点，连接 交 于点，连接，，,,则 . 因为，分别为，的中点，所以 ，因为 ，所以 ， 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 因为 平面， 平面，所以 ， 因为，, 平面，所以 平面 . 又因为 平面，所以 . 因为，，， ， 故，，故 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 又 ， 所以 ， 故，故 ， 所以 . 因为，, 平面 ， 所以 平面 . 故存在点，使得 平面，此时 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 $