19 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量数量积的坐标表示，通过回顾向量加减与数乘的坐标运算，以“如何用坐标表示数量积”为问题驱动，搭建前后知识联系的学习支架，引导学生逐步掌握数量积、模、夹角及垂直关系的坐标运算。 其特色在于以问题探究激活数学眼光，通过例题（如求向量夹角、判断三角形形状）培养数学思维中的运算能力与推理意识，课堂小结提炼转化与化归思想，帮助学生用数学语言表达几何问题。学生能提升逻辑推理与运算能力，教师可直接利用系统例题与巩固题提升教学效率。

第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 1 1 2 新知学习 探究 课堂巩固 自测 2 学习目标 1.会用坐标表示平面向量的数量积. 2.能够用向量坐标求数量积、模及两个 向量的夹角. 3.能够利用坐标判断向量的垂直关系. 3 PART 01 第一部分 新知学习 探究 4 通过前面的学习，我们知道，已知， ，我们 可以求出，以及 的坐标. 思考 如何用，的坐标表示 ？ 提示： . 新知学习 探究 返回目录 5 一 平面向量数量积的坐标表示 条件 向量， 坐标表示 ①____________ 文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的②__________ 乘积的和 新知学习 探究 返回目录 6 例1 （对接教材例11） （1）已知，，则 ( ) B A.10 B. C.3 D. 【解析】 ， ，所以 . 新知学习 探究 返回目录 7 （2）已知，，，若 ，则 ( ) C A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】 由题意可得，，又， ， 所以，解得 . 新知学习 探究 返回目录 8 向量数量积运算的途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题 时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算. 新知学习 探究 返回目录 9 ［跟踪训练1］ （1）已知向量，， ，则 ( ) C A. B.0 C. D. 【解析】 选C.依题意可知， ，所以 . 新知学习 探究 返回目录 10 （2）在平面直角坐标系中，已知四边形 是平行四边形， ，，则 ( ) A A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】 选A.由 ，得 . 新知学习 探究 返回目录 11 二 平面向量的模 条件 结论 ①__________ 表示向量 的有向线段的起点和终点的坐 标分别为， ②________________________ 新知学习 探究 返回目录 12 例2（1）已知向量，，则 ( ) D A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】 由题知向量，，所以 ，所 以 ，故选D. 新知学习 探究 返回目录 13 （2）已知，均为单位向量，且，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 因为 ，所以 ， 因为向量， 均为单位向量， 所以 ， 所以 ， 所以 . 新知学习 探究 返回目录 14 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用<m></m>，将向量模的运算转化为向量与 向量的数量积的问题. （2）坐标表示下的运算：若<m></m>,则<m></m>,于是 有<m></m>. 新知学习 探究 返回目录 15 ［跟踪训练2］ （1）已知，， 是坐标平面上的三点，其坐标分别为 ，，，则 的形状为( ) C A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.以上均不正确 【解析】 选C.依题意， ， .又 ，所以 ，且 ，因此 为等腰直角三角形. 新知学习 探究 返回目录 16 （2）已知向量，，且，则 ___. 5 解析：因为，则，且 .所以 ，则，故 . 新知学习 探究 返回目录 17 三 平面向量的夹角与垂直 例3（1） 已知向量,,且与的夹角为，则实数 ________. 或3 解析：由题意可知 ， 即 ， 整理得 ， 解得或 . 新知学习 探究 返回目录 18 （2）已知在中，，，，为 边上的 高，则点的坐标为______， ____. 解析：设点的坐标为,则, ， . 因为点在直线上，即与共线，所以存在实数 ,使 ， 即,所以所以 ,即 .① 新知学习 探究 返回目录 19 又因为，所以，即 ,所以 ,即 .② 由①②可得 即点的坐标为， ， 所以 . 综上，， . 新知学习 探究 返回目录 20 【变式探究】 （综合变式）将本例（1）的“夹角为”改为“夹角为锐角”，求实数 的取 值范围. 解：当与正向共线时，，解得，此时， 方向相同， 夹角为 ,所以要使与的夹角为锐角，则有且， 不同向.由 得，由，不同向得，所以实数 的取值范 围是，， . 新知学习 探究 返回目录 21 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 （1）利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积. （2）利用<m></m>计算出这两个向量的模. （3）设两个向量的夹角为<m></m> ，由公式<m></m>直接求出<m></m> 的值. （4）在<m></m>内，由<m></m> 的值求角<m></m> . 新知学习 探究 返回目录 22 ［跟踪训练3］ （1）（2024·全国甲卷）设向量, ， 则( ) C A.是的必要条件 B.是 的必要条件 C.是的充分条件 D.是 的充分条件 【解析】 选或，所以 是的充分条件，是 的充分条件，故A错误，C正确 ，故B，D错误． 新知学习 探究 返回目录 23 （2）已知向量，,若，则与 夹角的余 弦值为_ ___. 解析：由题意得，因为 ， 所以，解得 ，则 . 设与的夹角为 ，所以 . 新知学习 探究 返回目录 24 PART 02 第二部分 课堂巩固 自测 25 1.（教材P练习T改编）已知，，则 ( ) B A. B.0 C.1 D.2 【解析】 选 . 课堂巩固 自测 返回目录 26 2.已知，，则 ( ) D A.23 B.57 C.63 D.83 【解析】 选D. .故选D. 课堂巩固 自测 返回目录 27 3.（教材P练习T改编）已知向量，，则与 的 夹角为( ) C A. B. C. D. 【解析】 选，，因为， ， 所以, ，故选C. 课堂巩固 自测 返回目录 28 4.已知，，则， 两点间的距离是______. 解析：方法一：由两点间距离公式可得 . 方法二： ， . 课堂巩固 自测 返回目录 29 5.已知向量，,若，则 ___. 7 解析：已知向量， , 所以 . 由，得 ， 所以 . 课堂巩固 自测 返回目录 30 1.已学习：平面向量数量积的坐标表示、平面向量的模与夹角（垂直）问题. 2.须贯通：应用平面向量数量积的坐标形式可以解决向量间的垂直、平行、 夹角及长度等几何问题，体现了转化与化归、数形结合的思想方法. 3.应注意：（1）易混淆平面向量平行与垂直的坐标表示； （2）在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况. 课堂巩固 自测 返回目录 31 $