17 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量数乘运算的坐标表示及共线条件，通过“思考1”“思考2”衔接上节课向量加减坐标运算，引导学生从已知探究数乘坐标法则，搭建新旧知识学习支架。 其亮点在于以例题（如例4求分点坐标）和跟踪训练为载体，结合解题技法总结，培养学生数学思维与逻辑推理能力，课堂巩固自测助力知识内化。学生能提升运算与应用能力，教师可高效开展分层教学。

第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 1 1 2 新知学习 探究 课堂巩固 自测 2 学习目标 1.掌握向量数乘的坐标运算法则. 2.理解用坐标表示两向量共线的条件，能 根据平面向量的坐标，判断向量是否共线. 3 PART 01 第一部分 新知学习 探究 4 我们上一节课学习了平面向量的加、减运算的坐标表示，若已知 , . 思考1 怎样求向量的坐标？你能得到向量 的坐标吗？ 提示：， . 思考2 若 ,则它们的坐标之间有什么关系？ 提示： . 新知学习 探究 返回目录 5 一 向量数乘运算的坐标表示 符号表示 若，则 ①_________ 文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 ②__________ 相应坐标 新知学习 探究 返回目录 6 例1（1）已知,,,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为,, , 所以, ,所以 . 新知学习 探究 返回目录 7 （2）已知点，，若点满足，则点 的坐标 为( ) A A., B., C., D., 【解析】 设D点坐标为，由 可得 ， 所以解得所以点D的坐标为， . 新知学习 探究 返回目录 8 平面向量坐标运算的技巧 （1）进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的 关系； （2）在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示 出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算； （3）在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用. 新知学习 探究 返回目录 9 ［跟踪训练1］ （1）已知向量, ,若 ,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 选A.因为,,且 ,所以 . （2）已知向量，，，则 的坐 标是__________. 解析：因为，， ，所以 . 新知学习 探究 返回目录 10 二 平面向量共线的坐标表示 条件 ，,其中 结论 向量， 共线的充要条件是_________________ 新知学习 探究 返回目录 11 例2 已知，，三点的坐标分别为，， ，且 ，，求证： . 【证明】 设, . 由题意知， ， ，所以， ， ， ， 新知学习 探究 返回目录 12 所以, , , , 所以, , , , 所以, . 因为,所以 . 新知学习 探究 返回目录 13 （1）向量共线的判定方法 （2）三点共线的实质是有公共点的两个向量共线问题. 新知学习 探究 返回目录 14 ［跟踪训练2］ （1）下列各组向量共线的是( ) C A., B., C., D., 【解析】 选C.对于A，因为, ,则 ,即与不共线；对于B，因为 , ,则,即与 不共线；对于C,因为 ,,则,即与 共线；对于D，因 为,,则，即与 不 共线.故选C. 新知学习 探究 返回目录 15 （2）已知点，，，则，， 三点________. （填“共线”或“不共线”） 不共线 解析：因为， ， 又，所以与不共线，所以,, 三点不共线. 新知学习 探究 返回目录 16 三 平面向量共线的应用 角度1 利用向量共线求参数 例3（1）已知，，若，则实数 的值为( ) B A. B.4 C. D.1 【解析】 由题意得 .故选B. 新知学习 探究 返回目录 17 （2）在平面直角坐标系中，，，，若，， 三 点共线，则正数 ____. 11 解析：由题意可得，，因为，， 三 点共线，所以 ，即 或 ，因为 ，所以 . 新知学习 探究 返回目录 18 利用向量共线求参数 （1）利用向量平行的坐标等价形式列出方程（组），通过解方程（组） 可以求出参数的值； （2）若两个向量满足关系<m></m>,再根据<m></m> 的正负判断两个向量的 方向关系. 新知学习 探究 返回目录 19 ［跟踪训练3］ 已知点，,,若，， 三点 共线，则 的坐标为( ) D A. B. C. D. 【解析】 选D.由已知得, , 易知与共线，所以,即 ,解得 ,所以 . 新知学习 探究 返回目录 20 角度2 求点的坐标 例4 （对接教材例9）已知点与点，点在直线 上，且 ，求点 的坐标. 【解】 设点的坐标为 ， 因为 ， 所以当在线段上时， ， 所以 ， 所以解得 新知学习 探究 返回目录 21 所以点的坐标为 ； 当在线段的延长线上时， ， 所以 ， 所以 解得 所以点的坐标为，综上所述，点的坐标为或 . 新知学习 探究 返回目录 22 【变式探究】 1.（条件变式）若将本例条件“”改为“ ”，其他条件 不变，求点 的坐标. 解：设点的坐标为 . 因为 ， 所以 , 所以解得 所以点的坐标为 . 新知学习 探究 返回目录 23 2.（综合变式）若将本例条件改为“经过点的直线分别交轴、 轴 于点，，且”，求点, 的坐标. 解：由题设知，，， 三点共线， 且.设， . 若点在，之间，则有 ， 所以 ， 所以 新知学习 探究 返回目录 24 解得 点,的坐标分别为， ； 若点不在，之间，则有 ， 易得点,的坐标分别为， . 综上，点，的坐标分别为，或， . 新知学习 探究 返回目录 25 利用向量共线求点的方法 （1）求点的坐标：把向量模的比例关系转化为向量数乘关系，再代入坐 标运算； （2）设<m></m>,<m></m>.若点<m></m>是线段<m></m>的中点，则点<m></m>的坐标为 <m></m>. 新知学习 探究 返回目录 26 ［跟踪训练4］ 在中，，，点在中线 上， 且，则点 的坐标是( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.设点C的坐标为，则点D的坐标为 . 由可得, , 即 解得 故点C的坐标为 . 新知学习 探究 返回目录 27 PART 02 第二部分 课堂巩固 自测 28 1.（教材PT改编）已知向量,,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 选 . 2.设，，则线段 的中点坐标为( ) A A. B. C. D. 【解析】 选A.因为，，所以线段的中点坐标为 , .故选A. 课堂巩固 自测 返回目录 29 3.（多选）已知向量,，若 ，则以下结论正确 的是( ) AD A.时，与同向 B.时，与 同向 C.时，与反向 D.时，与 反向 【解析】 选.因为，则，解得或 ，故 排除.当时，,,,与 的方向相同，故A正 确；当时，,,,与 的方向相反， 故D正确.故选 . 课堂巩固 自测 返回目录 30 4.（教材PT改编）在平面直角坐标系中，已知点， ， 点满足，则点 的坐标为______. 解析：设点的坐标为 ， 因为点， ， 所以 ， ， 因为 ， 所以 解得所以点的坐标为 . 课堂巩固 自测 返回目录 31 5.已知向量，，，若，， 三 点共线，则 ____. 解析： ， 因为，， 三点共线， 所以与 共线， 所以 , 解得 . 课堂巩固 自测 返回目录 32 1.已学习：平面向量数乘运算的坐标表示、两个向量共线的坐标表示. 2.须贯通：利用向量共线的坐标表示可以解决参数问题及三点共线问题； 向量数乘运算的坐标表示及应用体现了转化与化归的思想方法. 3.应注意：只有当时， . 课堂巩固 自测 返回目录 33 $