13 6.3.1 平面向量基本定理（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量基本定理，通过向量共线定理的推广引导学生思考共面向量表示，以“思考”环节连接旧知与新知，构建从特殊到一般的学习支架，帮助学生理解基底含义及定理内涵。 其亮点在于结合即时练与跟踪训练，以梯形、平行四边形等实例培养几何直观与推理能力，通过解题技法总结化归思想，课堂小结强调基底唯一性。助力学生提升向量表示与应用能力，为教师提供系统教学资源，落实数学思维与语言素养。

第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 1 1 2 新知学习 探究 课堂巩固 自测 2 学习目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 2.掌握平面向量 基本定理，会用基底表示平面向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关 平面向量的综合问题. 3 PART 01 第一部分 新知学习 探究 4 向量共线定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量， 则其他向量都可以用这个向量表示出来. 思考 向量共线定理是否可以推广到所有共面的向量呢？ 提示：可以.所有共面的向量中，只要指定两个不共线向量，则其他向量都 可以用这两个向量表示出来. 新知学习 探究 返回目录 5 一 平面向量基本定理 条件 , 是同一平面内的两个①________向量 结论 对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数, ,使②______ ___________ 基底 若, 不共线,把③________叫做表示这一平面内所有向量的一个 基底 不共线 {, 新知学习 探究 返回目录 6 【即时练】 1.（多选）设, 是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中， 能作为基底的是( ) ACD A.和 B.和 C.和 D.和 【解析】 选.选项B中，，所以 与 共线，所以不能作为基底，选项A,C,D中两向量均不共线，可 以作为基底. 新知学习 探究 返回目录 7 2.（多选）设是平行四边形的两条对角线， 的交点，其中可 表示这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是( ) AC A.， B.， C.，} D.， 【解析】 选 .平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对 于A，与不共线，可以作为基底；对于B，与 为共线向量，不 可以作为基底；对于C，与不共线，可以作为基底；对于D， 与 是共线向量，不可以作为基底. 新知学习 探究 返回目录 8 3.已知,不共线，,,要使{, }能作为平面内 的一个基底，则实数 的取值范围为_________________. 解析：若{,}能作为平面内的一个基底，则与 不共线，则 ，因为,,所以.所以实数 的取值范围为 . 新知学习 探究 返回目录 9 对基底的理解 （1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线， 则不能作基底，反之，则可作基底； （2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个 基底唯一线性表示出来.设向量<m></m>与<m></m>是平面内两个不共线的向量，若 <m></m>,则<m></m>且<m></m>. 新知学习 探究 返回目录 10 二 用基底表示向量 例1 （对接教材例1）如图，已知在梯形 中， ，，，分别是， 的中点，设 ，，试用{,}为基底表示， . 【解】 因为，，，分别是， 的中点，所以 . . 新知学习 探究 返回目录 11 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一是运用 向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示；二是通 过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解. 新知学习 探究 返回目录 12 ［跟踪训练1］ （1）已知是的中线， ， ，以{,}为基底表示，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B. .故选B. 新知学习 探究 返回目录 13 （2）（2024·新疆乌鲁木齐模拟）如图，由4个全等的直角三角形与一个 小正方形拼成一个大正方形，设 ，则下列关系正确的是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.由题图知，因为 ，所以 ， 即，则 .故选B. 新知学习 探究 返回目录 14 三 平面向量基本定理的应用 角度1 三点共线的向量表示 例2（1） 如图，已知，，为线段 上距 较近的一个三等分点，为线段上距 较近的一个三等 分点，用，表示,则 ( ) A A. B. C. D. 新知学习 探究 返回目录 15 【解析】 ， . 而，所以 ，所以 ． 新知学习 探究 返回目录 （2）在中，，，分别是，， 的中点，若 ，则 ( ) D A. B. C.1 D.2 【解析】 因为是 的中点，所以 ，所以 ,所以 .故选D. 新知学习 探究 返回目录 17 （1）已知为非零向量，则，， 三点共线. （2）已知，，为非零向量，若，则，， 三点共线 . ［跟踪训练2］ 在平行四边形中，为 的重心， ，则 ( ) C A. B.2 C. D.1 新知学习 探究 返回目录 18 【解析】 选C. 通解：如图，设与相交于点，又为 的重心， 可得为，的中点，点在上，且 ，则 .又，则,,所以 . 秒解：由题意知 ，所以 ， 所以, ,所以 . 新知学习 探究 返回目录 19 角度2 求解平面几何问题 例3 （对接教材例2）如图，在中，为边上靠近点 的四等分 点，，分别为，边上靠近，两点的三等分点，设 ， . 新知学习 探究 返回目录 20 （1）试用,表示，， ； 【解】由题意得 ， ， . （2）证明：，， 三点共线. 证明：因为 ， ，所以，故与共线.又与有公共点，所以，， 三点共线. 新知学习 探究 返回目录 21 平面向量基本定理在解决几何问题中的作用 （1）平面向量基本定理提供了一种向量的表示方法. （2）由平面向量基本定理可知，任一向量都可以用同一个基底线性表示， 而且这种表示是唯一的.因此，恰当选择基底是解决问题的关键. 新知学习 探究 返回目录 22 ［跟踪训练3］ （2024·河南洛阳月考）如图，在 中，是的中点，在边上，，与 交 于点.若，则 的值是____. 新知学习 探究 返回目录 23 解析：方法一（利用基底求解）：过点作，交于点 （图略），由，为中点，知，则 ， 因为 ， 所以，即，故 . 新知学习 探究 返回目录 24 方法二（利用平面向量基本定理求解）：由，， 三点共线，可设 ，则，由，，三点共线可设 ， 则 ，则 ，由平面向量基本定理可得 解得 则 ， 新知学习 探究 返回目录 25 ， 则，化简得，则，即 . 新知学习 探究 返回目录 26 PART 02 第二部分 课堂巩固 自测 27 1.设, 是同一平面内的两个向量，则( ) D A.， 一定平行 B.同一平面内的任一向量,都有 C.， 的模相等 D.若，不共线，则同一平面内的任一向量 ，都有 【解析】 选D.由平面向量基本定理，得选项D正确. 课堂巩固 自测 返回目录 28 2.（教材P习题6.3T改编）如图，在中，，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 选A. .故选A. 课堂巩固 自测 返回目录 29 3.（多选）已知非零向量，,,满足, ,则以 下结论正确的是( ) AD A.若与不共线，与共线，则 B.若与共线，与相等，则 C.存在实数，使得与相等，与 不共线 D.不存在实数,使得与不共线，与 共线 课堂巩固 自测 返回目录 30 【解析】 选.若与不共线，与共线，设,即 , ,则,故A正确；若与共线，可设 ,则 ,,可得与 共线， 故D正确；若,则,即,所以 ， B错误；若,与不共线，则 ，所以 ,显然不成立，C错误. 课堂巩固 自测 返回目录 31 4.（教材PT改编）如图，在正方形中，设 ， ，，则以{,}为基底时， 可表示为______， 以{,}为基底时， 可表示为_______. 解析：以{,}为基底时，；以{, }为基底时，将 平移，使与 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得 . 课堂巩固 自测 返回目录 32 5.设，分别是的边，上的点，， ，若 ,为实数，则 __. 解析：如图，，又因为与 不共线， 所以由平面向量基本定理得 , , 所以 . 课堂巩固 自测 返回目录 33 1.已学习：平面向量基本定理及其应用. 2.须贯通：平面内的向量借助几何直观（或性质）均可用基底唯一表示， 实质是利用三角形法则、平行四边形法则进行线性运算，同时也体现了化 归与转化、数形结合的思想. 3.应注意：基底中的向量必须是不共线的两个向量. 课堂巩固 自测 返回目录 34 $