福建漳州市2025-2026学年上学期期末高中教学质量检测高三数学试题

2025一2026学年（上)期末高中教学质量检测 高三数学参考答案及评分细则 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 察内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继 部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。)》 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 答案 B A B C C A C D 二、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 题号 9 10 11 答案 ACD AC ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.1 13.5 n号 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.(13分) 【解析】（1)依题意，得 当n=1时，4=S1=24-1,所以4=1.… ………1分 当n≥2时，an=Sn-Sn1=(2a.-n)-2a-1-(-1)=2a-2a-1-1, 所以an=2a1+1, ·4分 所以4。+1=2(4-1+1）.… …5分 因此数列{4+}是以4+1=2为首项，以2为公比的等比数列.…6分 (2)由（1)可知，a+1=2×2”-1=2”,所以4=2”-1.…7分 所以Sn=2a-n=21-(n+2）,… …9分 高三数学参考答案第1页 所以T=S+S,+S+…+S。=(22-3)+(2-4)+(2-5H+[2-+2] =(22+2+2+…+21)-[3+4+5+…+(+2)门 10分 4×1-2）n3+n+2=2:-4-心+5=2？-+n+8 2 …13分 1-2 2 16.(15分) 【解析】(1)设C=“参与者参加A项目抽奖”，C=“参与者参加B项目抽奖”， D=“参与者中奖”，… …1分 则P(C)=3,P⊙)=号，P(D1c)=},P(D1C)=& …3分 所以P(D)=P(CD)+PCD)=P(C)P(D1C+P(C)(DIc)含手子x最号 所以每位参与者中奖的概率为号… …7分 (2)依题意得，X的所有可能取值为300,400,500,600. 8分 P(x=30)-cx()×()=品，P(x=40o)=c×(×(= P(X=50)=c×(×(层=，P(x=60)=cx(×(=8, ……12分 所以X的分布列为 X 300 400 500 600 品 酷 語 8 125 …13分 所以X的期望g(X)=30×头+40×赞+50×识+60×品s420.…15分 17.(15分) 【解析】解法一： (1)依题意，得c=1,a+c=3(a-c), 。。。。。。。。。。。。。。。。。 ……2分 所以a=2,所以b2=a2-c2=3,… …4分 所以辅圆的方程为号+上=1. 4+3 …5分 （2)因为直线1的斜率不为0，故可设直线l的方程为x=四-1，…6分 由号+号1件Em1p产6)0， …8分 x=y-1, 高三数学参考答案第2页 △=362+363m2+4)>0. 设A,，B,2，则+为+形一9 6 …10分 32+4 因为C(-2,0),D(2,0), 所以e和2普， =（m-34)-3my2+3y2）_-2m4y2-36y+y2） …13分 (%+1)(y2-3) (y1+1)y2-3) -21×(-9)-3×6m =0. (%1+1)(y2-3)3m2+4） 即kAC=3k3D·… …15分 解法二： (1)同解法一. (（2)因为直线1的斜率不为0，故可设直线1的方程为x=y-1,…6分 x2 y2 由年+3=l得(3m2+4)2-6m-9=0, …8分 x=y-1, △=36m2+363m2+4)>0. 黄).小，则男+g 9 ’h2=- …10分 32+4 所以品品，两以m6+小， 因为C(-2,0),D(2,0),…11分 所以=+2-4压，-2）4(-1-2)四y2-3业 .…13分 kaDy2y2(x1+2)y2(my1-1+2)my2+y2 x2-2 -3以+为3别--9y-3y2=3,即k-3k0·15分 -04+)+3y 解法三： (1)同解法一. (2)因为直线1的斜率不为0，故可设直线1的方程为x=y-1,…6分 x2+y2 由年+3=h得3m2+4）y2-6w-9=0,…8分 x=y-1, 高三数学参考答案第3页 △=36m2+36(3m2+4)>0. 设A(),B(,小，则y+为=3n+4=3 6 9 …10分 32+4 因为C(-2,0),，D(2,0), 所以e_+2_(伍-2》0-1-2）m-3.…13分 k8D_y2y2(化1+2）y2(%-1+2）yy2+y2 x2-2 9L,-3、6 -y2 =3m2+4(3m2+4 -9m-18m+36m2+4l29咖+(6m+4到】3. 9一+y2 -9m+(3m2+4)y2 -9+3m2+4y2 372+4 即k4c=3kD· 15分 解法四： （1)同解法一. (2)由(1)可知，C(-2,0),D(2,0). 当直线的斜率不存在时，直线1的方程为x=-1,不妨设点A在第二象限， 此时，直线1交椭图于A-L引，B-山-引，ko=号，k0号此时ke=3 …6分 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=k(x+1), [y=kx+1), 联立 +得+状r+8x+4-2-0,8分 因为1过焦点，所以1与椭圆必有两个交点 3+4k2,,=4-12 设A(5),B(3),则x+,=-,8 …10分 3+4k2 因为级42如是 2-2 染产 k[(化+1)(x2-2)-3(62+1)(化+2] …13分 (x1+2)(x2-2) 又因为(x+1)(x2-2)-3(x2+1)x+2)=-2xx2-5(6+x2)-8 2W12）5x88=0 3+4k2 所以kAc-3kBD=0,即k4c=3kBD· 高三数学参考答案第4页 综上所述，k4C=3kD· 15分 18.(17分) 【解析】解法一： （1)在图1中分别作AF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足为F和G, 由三角函数的性质可知：AF=CG,BF=BG,所以AB=BC, …1分 在图2中，c0s∠ABC=},∠ABCe(0,m), 所以sin∠ABC=-cos2∠ABC=2V6 …2分 所以SAARC=csin∠ABC=5ABP-6, …4分 解得AB=√5，从而AC=√AB2+BC2-2AB.BCcos.∠ABC=2√5· …5分 (2)在图2中，平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AFC平面ABD, AF⊥BD,所以AF⊥平面BCD,又CFC平面BCD,所以AF⊥CF.…7分 设函数f(x)=sin(ar+p)最小正周期为T, 在R△ABF中，AB=AP+BF=求+（图=5， 在△Ac中，Ac=AP+2-+8+侣2x+写=12 联立两式可得：T=4,1=2, …10分 所以==… …11分 将E0,2)代入f(x)得V2=2sinp, 又网<受，所以p=平，所以f)=2(号+》 …12分 (3)由f(9=2s血（受+}知，AP=CG=2,0P=0D=号，BF=BG=1. 以O为原，点，以GC,OG,OE方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系， 高三数学参考答案第5页 则Da-0,4o52,020,c230 …13分 所以DA=(0,1,2),AC=(2,2,-2),BC=(2,1,0). 14分 设平面DAC法向量为元1=(31,4,21)，平面BAC法向量元2=(2，y2,22), 由D元=0得4+2z=0, AC.i=0,2x1+2y-2z1=0, 令y1=-2,则x1=3,21=1,故元1=(3，-2,1) …15分 8C元=0得2+=0， 由 AC.i2=0,2x2+2y2-2z2=0, 令y2=-2,则x2=1,22=-1,故元2=(1-2，-1).…16分 周此o何：元》-月+4-区 |元14x√6 7 所以平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为21 …17分 解法二 (1)（2)同解法一： (3)以D为原点，以GC，OG,O严方向为，y,z轴正方向建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(0,1,2）,B(0,2,0),C(2,3,0),…13分 所以DA=(0,1,2),AC=(2,2,-2),BC=(2,1,0). 14分 设平面DAC法向量为元1=(1,1,1)，平面BAC法向量2=(2，y2,22), 由D元=0得%+2=0， AC.元=0,2x1+24-231=0, 令y1=-2,则x1=3,31=1,故元1=(3，-2,1). …15分 Bc元=0得2，+h=0, 由 AC.元2=0,2x2+2y2-222=0, 令y2=-2,则x2=1,22=-1,故i2=(1,-2,-1).…16分 高三数学参考答案第6页 因此lcos(,元》= 3+4-1-21 元，14×√6 所以平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为V2] …17分 7 19.(17分) 【解析】解法一： (1)依题意，得f"x)=,-21 4j}2tay……… 因为f(冈是增函数，所以∫()≥0，即≥，2e1。在R上恒成立， …3分 (e-1+1) 因为2e-1 2e-1 （当且仅当x=1时等号成立)，…4分 (e1+1)(2e1x1） 所以a2 2ef-j (e-1+1 经检验，当a≥号时，fx)是增函数. …5分 (2)设F(y)=f+1)-(a+1),则有F(x)=2tak+1)-(a+1)=2+m-1, e*+1 e+1 所以1-1 e+1m-1= 2(e+ex+2) -2=0， (e*+1)ex+1 又因为F(x)的定义域为R关于原点对称，所以F(x)是奇函数，其图象关于原点中心对称。 将y=F(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移a+1个单位长度可得到y=f(x)的 图象，所以曲线y=∫(x)是关于点(1，a+1)成中心对称的图形.…9分 (3)不等式f(xsin.x+tcox)+f2-}4可化为(sin+icox)<4-f2-》, 由(2)知，f(x)+f(2-x)=2(a+1), 当a=1,x=受时，f()=4-f2-引，所以fsi血x+tcos)<f(份》， …10分 又f()是增函数，所以xinx+tcos<受 …11分 因此，对x(侵 ,xsinx+tcosx<亚恒成立. 令g(x)=xsinx+tcoSx,则g'(x)=(1-t)sinx+xcoS.x.…l2分 高三数学参考答案第7页 当xe(5列时： ①若l,则1-0，又因为x∈（侵，所以cosx<0,sinx>0, 所以(1-t)sinx≤0，xCOSx<0,所以g(x)<0, 所以g()在（受四单调递减，所以）<f 上)，所以1符合题意.…13分 ②若t<1,令h(x=g'(x)=(1-t)sinx+xCOSx,则H(x)=(2-t)cosx-xsinx, 因为当x∈臣刘时，1(<0，所以h()在区间（仔可上单调递减. 又-1-t>0,h(m)=-<0, 所以存在唯一，∈径列，使得（化）=g化)=0. 因此当x∈受，)时，g(y>0,8()在（受上单调递增， 所以8()>8)受，所以g()5牙对任意x臣不恒成立， 2 所以t<1不符合题意. …14分 由①②可知，当re(昏，时，若l,snx+1osr<号恒成立.…15分 当xe元3》时，若l,则xne+0<0<号恒成立.…l6分 综上所述，t的取值范围为[1，十0）.…17分 解法二： 1)依题意，得fx)=2 …2分 因为f(x)是增函数，所以f'(x)≥0，即≥，2e 在R上恒成立，…3分 (e-1+l】 因为_2e1 2e-1 2 2 (e+1 2(e1+2e1+1e-1+2+ 2 （当且仅当x=1时等号成立)，… …4分 所以 2ex-1 所以= (e-+1 高三数学参考答案第8页 经检验，当≥号时，f()是增函数.…5分 2》因为e-刘3+a2-= 1+e+2a-m, 所以国+0-)。是+a-m2+1) e-1+1 所以2(a+1)-f(x)=f(2-x): 因此，曲线y=f(x)上的点(x,f(x)关于(，a+1)的对称点(2-x,2(a+1)-f) 也在曲线y=f(x)上， 所以曲线y=f(x)是关于点（自，α+1）成中心对称的图形.… …9分 (3)不等式f(xsinx+-1co5x)+f2-罗4可化为f(sinx+tcosx))<4-f(2-)； 由(2)知，f(x)+f(2-x)=2(a+1), 当a=1,x=受时，f(假)=4-f2-引，所以(sinx+tcos)<f(贷)， …10分 又f(x)是增函数，所以xsinx+tcosx<匹 。。。。。。。。。。。。 …11分 因此，对x∈侵》，snx+1cosx<号恒成之. 因为侵 cosr<0,所以t>2 亚-xsin x 恒成立.…12分 COSX cose,r∈（经，，则p) sin.xcOS+sin.x-x cOSx 令g=-s血cox+8nx-xxe(，月），则(e)=(侵-2c0 os)co5.*.13分 国为x∈(5）时，所以-1<c0sr<0,所以()-（侣-2cs0sr<0, 所以q)在（仔）上单调递减.… ………14分 因此，gx)<)0,所以p'(x)<0,所以px)在（受，）上单调递减. 又因为lmp(x)=lim2 -xsin -lim- COSx （6inx+xcos型=1，所以p(x)<1.16分 -sinx 因此，t≥1，即t的取值范围为山，+o). …17分 高三数学参考答案第9页2025一2026学年（上)期末高中教学质量检测 高三数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟。 考生注意： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓 名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考 生本人准考证号、姓名是否一致。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非 选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上 无效。 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1.设全集U=R,若集合A={2,3,4},B= {x∈NIx(x-3)≤0}，则图中阴影部分表示的集 合为 A.{4} B.{0,1} C.{2,3} D.{0,1,2,3,4 2. 若复数z=a- (i为虚数单位，aeR)为纯虚数，则a= A.-1 B.0 C.1 D.±1 3.(x- 的展开式中的常数项是 A.-120 B.-20 C.20 D.120 4. 已知{an}是等差数列，a2+a3+a4=3,a5=5,则a1,a2,a3,…,a1的第 60百分位数是 A.7 B.8 C.9 D.10 $已知双曲线之众 =1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为2a,则双曲线 的离心率为 5 A.2 B.2 C.5 D.√10 高三数学试题第1页（共4页) 6.若函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=e+a,则 f)= A.-2 B.-1 C.1 D.2 7.已知ae(平，牙)，且csa-)=分，则cas2a B. 42 9 C.42 9 9 D.7 8.某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为2√3d (骨架支撑长度)，同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿 母线剪开后展开图为一个半圆，那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面 积是 A.4T dm2 B.1 3 dm? G.3 3"dm2 D.16πdm2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分。)】 9.在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组， 给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手的打分折线图，下列说法 正确的是 一专业组…观众组 72 68 66 62 62 55 55 .58 46 6. 473 47 45 42 36 A.专业组的打分极差是13 B.专业组的打分平均分高于观众组的打分平均分 C.观众组的打分方差高于专业组的打分方差 D.观众组的打分中去掉最高分和最低分后平均分变高 10.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D1中，E,F分别为棱BC,B,C1的中 点.过A,E,C,三点作平面α，则 A,平面A,BF平面 B.平面BB,D,D⊥平面a C点C到平面a的距离为6 D.该正方体被平面α截得的截面的面积为√6 高三数学试题第2页（共4页） 11.已知函数f(x)为非常数函数，对Vx,y∈R,f(x+y)=2f(x)f(y-1),则 A.f(1)- B.f(x)>0 C.f(x)是增函数 D.f(x-1)+f(-x-1)≥1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.直线y=2x+a是曲线y=e*+x的切线，则a= 在△ABC中角AB.C的对题分别为a,6,c若Ab-2咖4 sinB c D是BC的中点，则AD= 14已知a,b是非零向量，e是单位向量，且(a,e)-石，b-3e=1,则 a-b的最小值是 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。) 15.(13分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-n. (1)证明：数列{an+1}是等比数列； (2)求数列{Sn}的前n项和Tn 16.（15分) 某公司举办抽奖活动，活动分为A,B两个项目，规则为：每位参与者先 掷一枚质地均匀的骰子一次，若掷出点数为1或2，则参加A项目抽奖； 若掷出点数为3,4,5,6，则参加B项目抽奖.每位参与者仅抽奖一次， 已知4，B两个项目中奖的概率分别为}，0，中奖者可获得价值200元 33 的购物券，未中奖者可获得价值100元的购物券 (1)求每位参与者中奖的概率； (2)已知甲、乙、丙3人参加抽奖活动，记3人获得的购物券总价值为X 元，求X的分布列和期望 17.(15分) 狗F(C,0)是椭圆写+I(@>b>0)的左焦点，C,D分别是椭圆的 左、右顶点，IDF=3CF (1)求椭圆的方程； (2)过点F的直线I交椭圆于A,B两点（异于C,D),记直线AC,BD 的斜率分别为kc,kD:证明：kAc=3km 高三数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数f(x)=Asin(r+p)(A>0,w>0,|p<T)的部分图象如图1所 示，A,C分别为图象的最高点和最低点，B,D是图象与x轴的交点， E(0,√2)是图象与y轴的交点.现将绘有该图象的纸片沿着x轴翻折成 如图2所示的直二面角A-BD-C.翻折后，△ABC的面积为√6， Cos∠ABC=- 5 E 图1 图2 (1)求纸片翻折后，线段AC的长度； (2)求函数f(x)的解析式； (3)求纸片翻折后，平面ABC与平面ACD所成角的余弦值 19.(17分) 2 已知函数f(x)尸。+1 (1)若f(x)是增函数，求实数a的取值范围； (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形； (3)当a=1时，对：e(爱，)fx+io/2-号k4,求 实数t的取值范围。 高三数学试题第4页（共4页）