12 6.2.4 第2课时 向量的数量积（二） 课后达标 检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）
2026-02-06
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教辅
资源信息
| 学段 | 高中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 高中数学人教A版必修第二册 |
| 年级 | 高一 |
| 章节 | 6.2.4 向量的数量积 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2025-2026 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 1.43 MB |
| 发布时间 | 2026-02-06 |
| 更新时间 | 2026-03-20 |
| 作者 | 高智传媒科技中心 |
| 品牌系列 | 学霸笔记·高中同步精讲 |
| 审核时间 | 2026-02-06 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/56374965.html |
| 价格 | 2.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该高中数学课件聚焦平面向量数量积及其应用，从已学向量线性运算过渡，通过基础达标（如单位向量数量积计算）、能力提升（如模长与夹角综合问题）、素养拓展（如几何图形中的向量表示）构建学习支架，衔接前后知识脉络。
其亮点在于融合高考真题与分层练习，以数学思维（如向量夹角推理、模长平方运算）和数学语言（如正六边形中向量模长计算、正方形中向量坐标表达）培养抽象能力与几何直观。实例包括2024新课标Ⅱ卷真题解析、平行四边形向量点积运算，助力学生提升解题能力与核心素养，教师可借分层设计优化教学效率。
内容正文：
6.2.4
第2课时
课后达标 检测
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1.已知单位向量,,则 ( )
C
A. B. C.3 D.5
【解析】 选C.由题意得 .
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2.（2024· 新课标Ⅱ卷）已知向量,满足, ，且
，则 ( )
B
A. B. C. D.1
【解析】 选B.由，得 ．所以
.将的两边同时平方，得 ，即
，解得，所以 .故选B.
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3.设非零向量,,满足,,则与的夹角 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 选B.由且,得 ，两边平方得
,所以,则 ,
所以.又 ,所以 .
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4.已知，，，则
( )
B
A. B. C.9 D.
【解析】 选B.由题意，可得,所以 .
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5.已知向量,的夹角为 ，且，，则向量在
上的投影向量的模等于( )
B
A. B. C. D.1
【解析】 选B.由题设， ,而
,所以，可得
或（舍去），则向量在上的投影向量的模为 .故
选B.
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6.（多选）设向量，满足 ，则( )
BCD
A.与的夹角为 B.
C. D.
【解析】 选.对于，因为，故 ，
即，故，故与 的夹角为
， 故A错误，D正确；
对于B，因为，故，又因为 ，故
，故B正确；
对于C， ，故
C正确.故选 .
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7.已知,方向相同，且,,则 ____.
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解析：因为 ，
所以 .
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8.已知平面向量,满足，，，则与 的夹角
为___.
解析：因为，，，所以 ，
所以，设,的夹角为 ，则 ，因为
，所以 .
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9.（2024·河北石家庄期中）如图，在平行四边形
中， ，， ，
，，设， ，则
________（用,表示）， ___.
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解析：因为 ，所以
.因为 ，所
以 ，因此
.因为 ，
，，所以,,, ，所以
.
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10.已知平面向量，，若，，且 .
（1）求与的夹角 ；
解：由，得 ,
所以，所以 .
又，所以 .
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（2）若，且，求的值及 .
解：因为，所以 ，
所以，所以 ，
所以，所以 ，
.
所以 .
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11.已知,为非零向量，若,则向量与 的夹
角为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 选D.由可得，由 ，可得
，所以，设向量与的夹角为 ,则
，又,所以 .故
选D.
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12.（2024·广东广州期中）已知是 所在平面上一点，满足
，则 的形状一定是( )
B
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
【解析】 选B.由 ，可得
，即 ，即
.将等式 两边平方，化简得
，所以，因此， 一定是直角三角形.故选B.
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13.已知,是夹角为 的两个单位向量.若, ,
其中，若,的夹角为锐角，则 的取值范围是_________________.
,
解析：因为, 的夹角为锐角，
所以,且， 不共线，
当 时，
,
得 ,
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当,共线时，存在唯一的实数 ,使 ,
即 ,
化简得 ，
所以解得
所以当时，, 不共线，
综上，的取值范围是且，即, .
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14.已知平面上三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角为 .
（1）求证： ;
证明：因为 ,
且,,两两之间夹角均为 ，
所以
,
所以 .
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（2）若，求 的取值范围.
解：因为 ,
所以 ,
即 .
因为 ，
,
所以,解得或 ,
即的取值范围是 .
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15.如图，已知正六边形的边长为1，点满足 ，
则__；若点是其内部一点（包含边界），则 的最大值是__.
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解析：由题可知 ，
， ，所以
,
所以 .
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设向量，的夹角为 ,在直线上的射影为，要使 最大，
则,因为,由图可知当在
处时， 最大，
此时， ,
.
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16.如图，在正方形中，是的中点，点在 边上运动
（含， 点）.
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（1）若点是上靠近点的三等分点，设,求 的
值；
解：因为是的中点，点是上靠近点 的三等分点，
所以， ，
所以 ，
又 ，
所以, ,
故 .
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（2）若，当时，求 的值.
解：设 ,
则 ，
又， ，
所以 ,
故 .
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则 ，所以
，
易得， ，
所以 .
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