10 6.2.4 第1课时 向量的数量积（一） 课后达标 检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）
2026-02-06
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教辅
资源信息
| 学段 | 高中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 高中数学人教A版必修第二册 |
| 年级 | 高一 |
| 章节 | 6.2.4 向量的数量积 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2025-2026 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 1.29 MB |
| 发布时间 | 2026-02-06 |
| 更新时间 | 2026-03-20 |
| 作者 | 高智传媒科技中心 |
| 品牌系列 | 学霸笔记·高中同步精讲 |
| 审核时间 | 2026-02-06 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/56374963.html |
| 价格 | 2.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该高中数学课件聚焦向量的数量积、投影向量及夹角计算，通过正六边形、直角三角形等几何图形导入，衔接向量基本概念，搭建从具体图形到抽象运算的学习支架，帮助学生逐步掌握向量运算的核心方法。
其亮点在于分层设计题目（基础达标、能力提升、素养拓展），结合几何直观培养数学眼光（如正六边形中向量夹角分析），通过推理计算发展数学思维（如投影向量公式推导），用规范数学语言表达（如数量积公式应用）。实例丰富，如第4题投影向量推导、第10题直角三角形数量积计算，助力学生巩固知识，教师可实现分层教学提升效率。
内容正文：
6.2.4
第1课时
课后达标 检测
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1.在正六边形中，向量与 的夹角为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 选B.
如图，设与交于点 ，由正六边形的性质可知
为等边三角形，所以，则向量与
的夹角为 .
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2.在等腰直角三角形中，若 ，，则 的值等于
( )
B
A. B.2 C. D.
【解析】 选B.由题意知，，， ，
.
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3.（2024·贵州安顺月考）在直角三角形中， ， ，
，则 ( )
A
A. B.4 C. D.8
【解析】 选A.因为为直角三角形，且 ， ，所以
，且， ，所以
.
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4.已知，在上的投影向量为，则 的值为( )
B
A.3 B. C.2 D.
【解析】 选B.设与的夹角为 ，因为 ，所以
，所以，所以 .
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5.已知平面向量满足，其中是单位向量，则 的取值范围为
( )
C
A. B. C. D.
【解析】 选C.因为,，所以,
，所以，故的取值范围为 .故选C.
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6.（多选）在 中，下列说法正确的是( )
AC
A.与共线的单位向量为
B.
C.若，则 为钝角三角形
D.若是等边三角形，则，的夹角为
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【解析】 选.对于A，与共线的单位向量为 ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C，，所以 ，所以A为钝角，
则 为钝角三角形，故C正确；
对于D，若是等边三角形，则，的夹角为 ，故D错误.故
选 .
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7.在边长为3的等边三角形中，为上一点且 ，则
____.
解析：由题得， ，所以
.
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8.已知,,则向量在向量 上的投影向量为_____.
解析：与方向相同的单位向量为,所以向量在向量 上的投影向
量为 .
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9.在正方形中，，则正方形 的边长为___.
5
解析：在正方形中，， .设 ，则
，，解得 .
所以正方形 的边长为5.
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10.已知在中，，，，求， ，
的值.
解：
因为，，，所以 ，所以
.如图所示.
所以 ，
，
.
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11.（2024·广东广州期中）如图，在太极图中，， 分别
为太极图中的最低点和最高点， 经过大圆和两个小圆的
圆心，且两个小圆的圆心是线段 的两个四等分点
（异于的中点），过点作圆的切线，切点为 ，则向
量在向量 上的投影向量为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 选B.由题意得，连接（图略），由与圆 相
切，得，故在上的投影向量为，所以向量 在向量
上的投影向量为 .
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12.（多选）设向量在向量上的投影向量为 ，则下列等式一定成立的
是( )
BC
A. B. C. D.
【解析】 选.记向量，的夹角为 ，则向量在向量 上的投影向量
，A错误，B正确；所以
，故C正确，D错误.故选 .
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13.已知向量,满足，则, 的夹角为___.
解析：由题意得,不共线，设, ,
以，为邻边作平行四边形，则 .
由可知,为等边三角形， 也为等边三角形，
故, .
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14.已知 是一个正六边形，将下列向量的数量积按从小到大
的顺序排列：，，， .
解：设正六边形的边长为1，如图，则 ，
，， ，
，， ，
所以 ,
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,
,
,
所以 .
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15.定义：| ,其中 为向量与的夹角,若 ,
,，则 ( )
A
A.8 B. C.8或 D.6
【解析】 选，因为,所以 .所
以 .故选A.
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16.如图,扇形中的中点为,动点,分别在线段, 上,且
,, .
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（1）若点是线段上靠近点的四等分点,用,表示向量 ;
解：连接， （图略）.
由已知可得，四边形 是菱形，
则 ,
所以
.
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（2）求 的取值范围.
解：易知 ，且 ，
那么只需求 的最大值与最小值即可.
当时，最小，此时 ，
则 .
当与或重合时，最大，此时 ，
则 .
所以的取值范围为 .
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