07 6.2.3 向量的数乘运算（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量的数乘运算，涵盖概念、运算律、线性运算及共线定理。通过蚂蚁运动情境导入，从位移实例抽象出数乘概念，衔接向量加减运算，为共线定理学习搭建支架。 其亮点在于以情境化问题培养数学眼光，通过即时练、教材例题及期中真题训练数学思维，共线定理应用环节强化数学语言表达。学生能深化概念理解与推理能力，教师可借助系统例题和巩固题提升教学效率。

第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算 1 1 2 新知学习 探究 课堂巩固 自测 2 学习目标 1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘 的运算律，会进行向量的数乘运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质和判 断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题. 3 PART 01 第一部分 新知学习 探究 4 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂 蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为 . 思考1 蚂蚁向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？ 提示： ． 思考2 蚂蚁向西运动5秒钟的位移对应的向量怎样表示？ 提示： ． 新知学习 探究 返回目录 5 一 向量的数乘运算 文字表述 规定实数 与向量 的积是一个①______，这种运算叫做向量 的数乘，记作②____ 规定 长度 ③______ 方向 当时，的方向与 的方向④______ 当时，的方向与 的方向⑤______ 当时， ⑥___ 向量 相同 相反 新知学习 探究 返回目录 6 【即时练】 1.（多选）已知， 为两个非零向量，下列说法中正确的是( ) ABC A.与的方向相同，且的模是 的模的2倍 B.与的方向相反，且的模是的模的 C.与 是一对相反向量 D.与 是一对相反向量 新知学习 探究 返回目录 7 【解析】 选.因为,所以与的方向相同，且 ,所以A 正确；因为,所以与的方向相同，且,又 ,所以 与的方向相反，且,所以与的方向相反，且 的模是的模的 ，所以B正确；按照相反向量的定义可以判断，C正确； 因为与是一对相反向量，与 是一对相反向量，所 以与 为相等向量，所以D不正确. 新知学习 探究 返回目录 8 2.（2024·广东佛山期中）若点在线段上，且 ，则( ) D A. B. C. D. 【解析】 选D.因为点C在线段上，所以，同向，， 反向， 故B，C错误；又，所以A错误；又， 反向且 ，所以 ，故D正确.故选D. 3.若,,则___, __. 6 解析：因为, , 所以, . 新知学习 探究 返回目录 9 向量的数乘运算的两个注意点 （1）数乘向量仍是向量. （2）判断两向量的关系时，应注意方向和大小. 新知学习 探究 返回目录 10 二 向量的线性运算 1.向量数乘的运算律 设 , 为实数,那么： （1） ①_______； （2） ②_________； （3） ③_________. 特别地，, . 新知学习 探究 返回目录 11 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 对于任意向量,，以及任意实数 ，,，恒有 ④_____________. 新知学习 探究 返回目录 12 角度1 计算与化简 例1（1） （对接教材例5）化简： ________. 解析：原式 . （2）若,为已知向量，且,则 _________ ___.（用， 表示） 解析：因为 , 所以 , 所以化简得 , 所以 . 新知学习 探究 返回目录 13 向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如,实数运算 中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样 适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. （2）方程法：向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解 方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当地使用运算律,可以 简化运算. 新知学习 探究 返回目录 14 ［跟踪训练1］ （1）化简 的结果是( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.原式 . （2）已知向量,,,满足关系式,,则向量 _________,_________.（用, 表示） 解析：由， ,② ,得,代入①得 ,即 . 新知学习 探究 返回目录 15 角度2 用已知向量表示未知向量 例2 （对接教材例6） 如图，在中， , ,是的中点，是的中点，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 因为,,是的中点，是 的中点，所以 . 新知学习 探究 返回目录 16 用已知向量表示未知向量的一般步骤 ［注意］ 用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系. 新知学习 探究 返回目录 17 ［跟踪训练2］ 如图，在中，是 的中点，若 ，，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 选D.因为是 的中点， 所以 ， 所以 . 新知学习 探究 返回目录 18 三 向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使_____ ___. 提醒：定理中不能漏掉.若,则实数 可以是任意实数;若 ,,则不存在实数 ,使得 . 新知学习 探究 返回目录 19 角度1 证明向量共线、点共线 例3 （对接教材例7） （1）已知,是两个不共线的向量，， . 求证：与 是共线向量； 【证明】由题意，， ，则 ，由向量共线定理知与 是共线向量. 新知学习 探究 返回目录 20 （2）设，是两个不共线的非零向量，已知 ， ，，求证：，， 三点共线. 【证明】 因为 ，且 ， 故，所以与 共线， 因为与有公共点，所以，， 三点共线. 新知学习 探究 返回目录 21 判断向量共线或三点共线的方法 （1）判断向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一实数<m></m> ,使得 <m></m>. （2）一般来说，要判断<m></m>，<m></m>，<m></m>三点共线，只需看是否存在实数<m></m> ，使 得<m></m>（或<m></m>等）即可. 新知学习 探究 返回目录 22 ［跟踪训练3］ （2024·北京市东城区期中）已知向量与向量 不共线， ,, ，则一定共线的三点是 ( ) A A.，， B.，， C.，， D.，， 新知学习 探究 返回目录 23 【解析】 选A.对于A，因为 , ,所以,所以,, 三点共线，故A正确；对于B， 不存在实数 ，使得，故,, 三点不共线，故B错误；对于C， 不存在实数 ，使得，故,, 三点不共线，故C错误；对于 D，，不存在实数 ，使得 ，故 ,, 三点不共线，故D错误. 新知学习 探究 返回目录 24 角度2 利用向量共线求参数 例4（1）若非零向量，且设，则实数 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为 ， 所以，所以，所以 ， 因为，所以 . 新知学习 探究 返回目录 25 （2）已知,是两个不共线的向量，向量, 共线，则实数 _ ____. 解析：因为与 共线， 所以存在实数 ，使得 , 即 . 因为与不共线，所以 解得 . 新知学习 探究 返回目录 26 利用向量共线求参数的基本步骤 （1）根据向量共线的充要条件是建立共线向量之间的等量关系 （通常要引入一个参数）. （2）依据下述结论列方程组求参数. ①若<m></m>与<m></m>不共线，则<m></m>的充要条件是<m></m> ②若<m></m>与<m></m>不共线，<m></m>,<m></m>,则 <m></m>. 新知学习 探究 返回目录 27 ［跟踪训练4］ 设， 是平面内两个不共线的向量，已知 ,,,且，， 三点共线， 求实数 的值. 解：依题意， , 故 . 新知学习 探究 返回目录 28 已知，，三点共线，可设 ,则 , 即 , 因为，不共线，所以 解得所以实数 的值为1. 新知学习 探究 返回目录 29 PART 02 第二部分 课堂巩固 自测 30 1.（教材PT改编）在中，，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 选D.在中， ， 则 .故选D. 课堂巩固 自测 返回目录 31 2.（多选）（2024·河北廊坊期中）已知实数，和向量， ，则下列 说法中正确的是( ) AB A. B. C.若,则 D.若，则 【解析】 选 .根据向量数乘运算的运算律可知A,B正确;对于C，当 时，，但向量, 不一定相等，故C错误;对于D，因为 ，所以．当时也成立，故D错误.故选 . 课堂巩固 自测 返回目录 32 3.如图在正方形中，点是的中点，点是上靠近 的三等分点，则____________.（用向量， 表示） 解析：因为, ,所以 . 课堂巩固 自测 返回目录 33 4.设,是两个不共线向量，若向量与 方向相反，则 实数 ____. 解析：由题意知，与共线，所以存在实数 ，使 . 因为，不共线，所以 解得或因为与方向相反，所以 ， 故, . 课堂巩固 自测 返回目录 34 1.已学习：向量的数乘及运算律、向量共线定理. 2.须贯通：用已知向量表示未知向量，通过向量的线性运算，借助向量共 线定理，解决三点共线及求参数问题，体现了数形结合思想. 3.应注意：利用向量共线定理易忽略零向量这一特殊情况. 课堂巩固 自测 返回目录 35 $