精品解析：福建宁德市2025-2026学年第一学期期末高二质量检测数学试题

宁德市2025-2026学年度第一学期期末高二质量检测 数 学 试 题 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是等比数列，各项都是实数，，则（ ） A. B. 4 C. D. 3. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 宁德市举办大黄鱼产业推介会，某展台需要展示“清蒸大黄鱼“黄鱼鲞”“黄鱼饺”3道菜品和“大黄鱼鱼丸”“大黄鱼鱼松”2种加工制品，若要求2种加工制品在展台上不相邻摆放则不同的摆放方案有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 72种 D. 120种 5. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是 （ ） A. 与对立 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 6. 已知为数列的前项和，且，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为中不同数字的个数，如，则事件发生的概率为 （ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点. 若，则双曲线的离心率为 （ ） A. B. 2 C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知圆，直线过定点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 当的斜率为时，则圆关于对称 C. 以为圆心且与圆有公共点的最大圆的方程为： D. 直线被圆所截的弦的中点的轨迹为圆在圆内部的弧 11. 如图，“鱼线”由抛物线和曲线（与关于直线对称）组成，“鱼身”为其围成的阴影区域，下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 直线与“鱼线”有3个交点，则的取值范围为 C. 点在“鱼线”上，，则 D. “鱼身”的面积大于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正八边形的对角线条数为____________.（用数字作答） 13. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则______. 14. 已知数列满足，且，其中表示不超过的最大整数，如，若，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，其中． （1）若，求的值； （2）若，且依次成等差数列，求的值． 16. 已知直线与圆相交于两点. （1）若，求的值； （2）为坐标原点，求. 17. 甲、乙两人组成“闪电队”参加双人投篮接力赛，规定每轮比赛甲、乙在指定位置各投篮一次，已知甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，在每轮比赛中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求“闪电队”在一轮比赛中至少投中1次的概率； （2）若“闪电队”在两轮比赛中投中次数不少于3次，可获得决赛资格，求“闪电队”获得决赛资格的概率. 18. 已知数列满足，记. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和； （3）不等式对都成立，求实数的最小值. 19. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）在平面直角坐标系中，为坐标原点，按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，过椭圆的左顶点作直线与定直线相交于点，线段的中点为. ①直线的斜率记为，证明：为定值； ②求的外接圆圆心的横坐标的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁德市2025-2026学年度第一学期期末高二质量检测 数 学 试 题 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线的标准方程可得出其准线方程. 【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用抛物线的标准方程求准线方程，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知是等比数列，各项都是实数，，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列性质求解. 【详解】因为，所以，解得， 又，所以，所以， 故选：B. 3. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 4. 宁德市举办大黄鱼产业推介会，某展台需要展示“清蒸大黄鱼“黄鱼鲞”“黄鱼饺”3道菜品和“大黄鱼鱼丸”“大黄鱼鱼松”2种加工制品，若要求2种加工制品在展台上不相邻摆放则不同的摆放方案有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 72种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】先用全排列排好道菜品，再用插空法将种加工制品插入菜品形成的空隙中，最后将两步结果相乘得到总方案数. 【详解】道菜的全排列数为种； 排列好后，它们之间会形成个空隙(包括两端)； 从个空隙中选2个来放加工制品，排列数为：种； 总方案数为：种. 故选：C 5. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是 （ ） A. 与对立 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】对A，由对立事件的概率关系判断；对B，由互斥事件的概念判断；对C、D，由相互独立事件的概念判断. 【详解】， 对于A：因为，所以不对立，A错误； 对于B：因为当向上的点数为时，事件同时发生，所以不互斥，B错误； 对于C：因为事件“向上的点数是2”，，， ，所以与不相互独立； 对于D：因为事件“向上的点数为”，，又， 所以，所以与相互独立. 故选：D. 6. 已知为数列的前项和，且，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求得，则，正负相消求和. 【详解】当时，， 当时，， 又，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， 故选：A. 7. 已知为中不同数字的个数，如，则事件发生的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出总事件数为：，表示三个数中恰好有两个不同的数字，结合排列组合的应用计算即可求解. 【详解】总事件数为：， 表示三个数中恰好有两个不同的数字，其中一个数字出现 2 次，另一个出现 1 次 从 4 个数字中选 2 个不同的数字：，再从这 2 个数字中选 1 个作为重复出现的数字，从 3 个位置中选 2 个位置放置重复的数字： 所以事件 A 的情况数为： 所以. 故选：C. 8. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点. 若，则双曲线的离心率为 （ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出的坐标，代入曲线方程，齐次化后求解即可. 【详解】如图：由题意知，，则，， 将代入得， 化简整理得，，解得. 故选：B ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由数列的函数特征，是否为关于的一次函数，从而判断是否等差数列；对B，由等比数列的定义判断是否为常数，从而判断是否为等比数列；对C，由结合等差数列前项和公式和等差数列性质可得，由判断；对D，由等差数列前项和公式的性质可得. 【详解】对于A：等差数列的前项和公式为， 因为，这是一个关于的一次函数，所以是等差数列，A正确； 对于B：设等差数列的公差为，则， 这是一个与无关的常数，所以数列是等比数列，B正确； 对于C：因为，， 所以，所以公差，C错误； 对于D：因为，所以，D正确. 10. 已知圆，直线过定点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 当的斜率为时，则圆关于对称 C. 以为圆心且与圆有公共点的最大圆的方程为： D. 直线被圆所截的弦的中点的轨迹为圆在圆内部的弧 【答案】ACD 【解析】 【分析】把圆 C 的方程化为标准形式可以验证A正确；求出直线方程为，因为圆心不在直线上，所以圆C不关于l对称，验证B错误；因为，两圆内切，以为圆心且与圆有公共点的圆最大，验证C正确；设弦的中点为，根据，得到 ，验证 D正确. 【详解】把圆 C 的方程化为标准形式得到， 所以圆心为，半径，故A正确， 当的斜率为时，直线方程为，即. 因为，所以圆心不在直线上，即圆C不关于l对称，故B错误 因为，所以以 M 为圆心且与圆 C 有公共点的最大圆，其半径，方程为，故C正确， 设弦的中点为，根据垂径定理，即. 因为， 所以，即. 又因为中点 P 在圆 C 内部，所以轨迹是该圆在圆 C 内部的弧，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，“鱼线”由抛物线和曲线（与关于直线对称）组成，“鱼身”为其围成的阴影区域，下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 直线与“鱼线”有3个交点，则的取值范围为 C. 点在“鱼线”上，，则 D. “鱼身”的面积大于4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：由与关于直线对称计算即可得；对B：联立直线与、，结合根的判别式计算即可得；对C：借助两点间距离公式，举出反例即可得；D：借助割补法计算即可得. 【详解】对A：由与关于直线对称，则有， 故曲线的方程为，故A正确； 对B：，消去可得，， ，消去可得，， 若，由、关于对称，此时直线与、共2个交点， 令，解得，此时直线与有两个交点， 又，，故直线与有一个交点， 即直线与“鱼线”有3个交点； 令，解得，此时直线与有两个交点， 又，，故直线与有一个交点， 即直线与“鱼线”有3个交点； 故当直线与“鱼线”有3个交点时，的取值范围为，故B正确； 对C：若点在上，则， 若点在上，则， 取，则，故，故C错误； 对D：取点在曲线上，联立，解得或， 则、有公共点、，则线段的方程为， 线段的方程为， 当时，有， 当时，有， 故“鱼身”的面积，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正八边形的对角线条数为____________.（用数字作答） 【答案】20 【解析】 【分析】根据两点确定一条直线，从8个顶点中任取两个的取法，再去掉边的条数即可. 【详解】正八边形8个顶点中的任意两个的连线的条数，排除边数即为对角线条数， 故正八边形的对角线的条数是条. 故答案为：20 13. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线方程得到渐近线方程，比较已知直线方程求出. 【详解】因为双曲线方程为，所以，得， 所以渐近线方程为， 又直线是双曲线的一条渐近线， 所以， 故答案为：. 14. 已知数列满足，且，其中表示不超过的最大整数，如，若，则___________. 【答案】11 【解析】 【分析】先由，得到，利用累加法得，进而列方程即可求解. 【详解】当 n 为偶数时，设， 则； ， 当 n 为奇数时，设， 则 ， 所以无论 n 是奇数还是偶数，都有 ， 所以，即， 累加得到， 所以， 因为，所以，解得或（舍去） 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，其中． （1）若，求的值； （2）若，且依次成等差数列，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求二项式系数和； （2）利用二项式系数写出对应的表达式，再利用等差数列的性质列方程求解． 【小问1详解】 当时，， 令，则， 令，则， ． 【小问2详解】 的展开式的通项为，系数， 由依次成等差数列，得，即， 代入组合数公式化简，得， 整理得，解得或 又， ， ． 16. 已知直线与圆相交于两点. （1）若，求的值； （2）为坐标原点，求. 【答案】（1）或； （2）2 【解析】 【分析】（1）将直线与圆的方程联立， 化简得：，由并利用韦达定理和弦长公式求解即可. （2）由（1）知，利用韦达定理接求解即可. 【小问1详解】 解法一： （1）将将与圆的方程联立， 化简得： 由解得或 设直线与圆两交点分别为， 由韦达定理，， ， 解得或； 解法二： （1）圆的标准方程为， 则圆心为，半径且 直线即， 则圆心到直线的距离 根据垂径定理可得：， 即 所以或； 【小问2详解】 解法一： 由（1）知， 其中， 即， 代入韦达定理结果：， 所以的值为2； 解法二： 设点为的中点，由向量的坐标运算可得 ， 所以. 17. 甲、乙两人组成“闪电队”参加双人投篮接力赛，规定每轮比赛甲、乙在指定位置各投篮一次，已知甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，在每轮比赛中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求“闪电队”在一轮比赛中至少投中1次的概率； （2）若“闪电队”在两轮比赛中投中次数不少于3次，可获得决赛资格，求“闪电队”获得决赛资格的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式，即对立事件发生的概率公式即可求解； （2）先将事件分解，再利用相互独立事件同时发生的概率公式即可求解 【小问1详解】 设一轮比赛中，“甲投中”，“乙投中”，“闪电队”投中篮球至少有1次， 由于两人投篮的结果互不影响，所以相互独立，由已知可得，， “至少投中1次”的对立事件是“甲、乙都没投中”， . 因此，“闪电队”在一轮比赛中至少投中1次的概率是. 【小问2详解】 设分别表示甲两轮投篮投中1次，2次的事件，分别表示乙两轮投篮投中1次，2次的事件， 根据事件独立性，得 ， ， 设表示：“闪电队”在两轮比赛中投中篮球的总数不少于3次， 且两两互斥，与，与，与分别相互独立， ， 因此，“闪电队”获得决赛资格的概率是. 18. 已知数列满足，记. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和； （3）不等式对都成立，求实数的最小值. 【答案】（1） 由， 得，即， 又， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用等差数列的定义得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. （3）分离参数，构造，探讨数列单调性求出最小值即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，且， 所以， 则①， ， ①-②得， 所以； 【小问3详解】 要证， 即 对任意正整数都成立， 令，则， 则， 因为单调递减， 当时，，所以， 当时，， 当时，单调递减，所以， 即所以实数的最小值为. 19. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）在平面直角坐标系中，为坐标原点，按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，过椭圆的左顶点作直线与定直线相交于点，线段的中点为. ①直线的斜率记为，证明：为定值； ②求的外接圆圆心的横坐标的取值范围. 【答案】（1） （2）①如图直线过点且斜率， 则直线的方程为， 设， 联立， 整理得， 所以， 直线的方程为， 令，解得， 即， 同理，， 线段的中点的坐标为， 在直线上， 所以， 所以， 则 所以 ②； 【解析】 【分析】（1）根据题意列关于方程求解即可， （2）①设直线的方程为，，联立椭圆方程利用韦达定理求解出，，则的坐标为，化简得到，则 从而证明得到；②联立中垂线方程求解出外接圆圆心的横坐标，再利用函数单调性求解范围即可. 【小问1详解】 由离心率得，即①， 椭圆经过点，所以②， 联立①②解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①略 ②线段的中点坐标为，又， 线段的中垂线方程为， 线段的中垂线方程为， 联立 解得， 在上单调递增， 又， 当时，， 所以的取值范围是； 解法二（1）同解法一 （2）①设， 由三点共线，，即，同理可得， 所以， 设直线， 将点代入方程可得，由的斜率为可得，即， 则直线 椭圆方程：，化简得， 则， 即， 则，则， 所以， 则， 下同解法一. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $