精品解析：福建莆田第二十五中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

莆田第二十五中学2025-2026学年高二上学期期末考试 数学 2026.02 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 班级：________ 姓名：________ 准考证号：________________ 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的位置填写自己的准考证号、班级、姓名. 2．客观题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.填空题部分采用电脑智能阅卷，考生须用0.5毫米黑色字迹签字笔在填空题指定题号区域规范书写.解答题部分须在答题卡指定区域做答，在试题卷上作答，答案无效. 3．考试结束后，考生必须将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出该抛物线的焦点坐标，即可得出该抛物线的标准方程. 【详解】因为抛物线的准线方程是，则该抛物线的焦点坐标为， 可设该抛物线的标准方程为，则，解得， 故该抛物线的标准方程为. 故选：B. 2. 已知圆：，直线：，则“”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出直线与圆相交时半径的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可； 【详解】解：圆：，圆心为，半径为，若直线：与圆相交，则圆心到直线的距离，解得，因为，所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件； 故选：A 3. 某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示)若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件做出截面图，根据二面角的平面角的定义及锐角三角函数，结合椭圆的离心率公式及三角函数的特殊值对应的特殊角的即可求解. 【详解】设椭圆与圆柱的轴截面如图所示， ，则为“切面”与所在平面与底面所成的角，设. 设圆柱的直径为,则为椭圆的长轴，短轴为，则 椭圆的长轴长为，短轴为， 所以椭圆的离心率为， 所以 故选：D. 4. 已知椭圆，倾斜角为的直线l与椭圆分别相交于A.B两点，点P为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设，由于A、B两点在椭圆上，则，运用点差法分析可得，结合题意可求得，即可得答案. 【详解】设， 则， 整理得， 又因为，则， 所以， 又因为点P为线段AB的中点， 则， 所以，即， 所以， 即直线OP的斜率为， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关椭圆中点弦相关的问题，涉及到的知识点有应用点差法解决直线斜率问题，在解题的过程中，鉴于小题小做的思想，可以直接应用结论（焦点在轴上的椭圆）求解，属于中档题目. 5. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，成等比数列，则数列的公差为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式结合和等差中项性质，求得，由成等比数列，结合等比中项性质和等差数列性质求得和公差的关系，再联立方程求解公差. 【详解】设等差数列的公差为，，解得. 因为成等比数列，所以，即， 代入，可得， 即，解得或，因为公差不为0，所以， 故选：A. 6. 已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为， 则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值， 即的最小值是. 故选：B. 7. 若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则 A. 4 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：依题意有为等比数列，故为公比为的等比数列，所以是公比为的等比数列，由此. 考点：递推数列求值. 8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 【答案】C 【解析】 【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断. 【详解】对于A，，而，故，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确． 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对得部分分，全部选对得6分） 9. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知题意，探索递推规律，由规律得通项，由此判断选项. 【详解】由题意得，第层有个球，. 即，，，， 因为，所以，A正确； 由，当时，，故B错误，C正确； 由，D正确； 故选：ACD. 10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先求出点坐标，求出和的坐标，即可计算；对于B，将点坐标代入双曲线的方程，建立与的齐次方程即可求出离心率；对于C，代斜率的坐标计算公式化简可求，对于D，分别化简，，，结合与的数量关系即可判断 【详解】 因为为正三角形，所以 所以， 所以 故A正确 将点坐标代入双曲线方程可得 即 即 即 即 设（），则 解之得：或（舍） 所以，所以 故B正确 故C错误 设的内切圆半径为，则，， 所以，即，故D正确 故选：ABD 11. 空间直角坐标系中，平面和方程之间具有如下关系：（1）平面上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在平面上，则称平面为方程的平面，方程为平面的方程，并且称为平面的一个法向量.已知平面方程分别为和，平面和的交线为，则（ ） A. 若点在直线上，则 B. 平面和所成角的余弦值等于 C. 点到平面的距离为 D. 若平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值等于 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，代入方程和可得；选项B，由题意分别得到平面和的法向量和，进而可得；选项C，先在平面找到一点，利用点到平面距离的向量求法可得；选项D，先取直线上一点，进而可得的一个方向向量，结合平面的一个法向量为，进而可得. 【详解】选项A：因，故且， 得，解得，故A正确； 选项B：由题意平面的法向量为， 平面的法向量为， 设平面和所成角为， 故，故B错误； 选项C：平面上一个点为，则, 则到平面的距离为，故C正确； 选项D：由令得， 故，故的一个方向向量， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则，故D正确， 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，若直线与直线之间的距离为，则的值为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 13. 已知数列的前项和为，满足，则 _______． 【答案】364 【解析】 【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解. 【详解】令，得，得， 由， 当时，，两式相减得， ，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故答案为：364. 14. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为9.若上第一象限内的点满足的面积为，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】确定点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 【详解】已知原点在上，则， 设为上任意一点， 则有，整理得． 因为，又， 所以，可得， 所以点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 联立方程，解得，，即， 所以， 故答案为：6 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知圆经过，，三点． （1）求圆的方程； （2）若经过点的直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）假设圆的一般方程，代入三点坐标即可构造方程组求得圆的方程； （2）由圆的方程可得圆心和半径，易知直线斜率存在，由圆心到直线距离可构造方程求得直线斜率，进而可得直线的方程. 【小问1详解】 设圆的方程为：， 由题意知：，解得：， 圆方程为：，即. 【小问2详解】 由（1）知：圆心，半径； 当直线斜率不存在，即时，与圆不相切，不合题意； 当直线斜率存在时，设，即， 圆心到直线的距离，解得：， ，即或； 综上所述：直线的方程为或. 16. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，证明：. 【答案】（1） （2） 证明：由题意知， 故 ， 由于，则，故， 即. 【解析】 【分析】（1）根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得答案； （2）由（1）的结果可得的表达式，利用分组求和法，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意可知，当时，； 当时，由得，， 两式作差可得，， 也适合该式，故； 【小问2详解】 略. 17. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2． (1)求证：A1C⊥平面BCDE； (2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； (3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． 【答案】（1）略 （2） (3)见解析 【考点定位】此题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答． 第三问的创新式问法，难度非常大 【解析】 【详解】试题分析：（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD； （2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小； （3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为 假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论． （1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D， ∴DE⊥平面A1CD， 又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE 又A1C⊥CD，CD∩DE=D ∴A1C⊥平面BCDE （2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0） ∴， 设平面A1BE法向量为 则∴∴ ∴ 又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，） ∴ ∴CM与平面A1BE所成角的大小45° （3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3] ∴， 设平面A1DP法向量为 则∴ ∴ 假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则， ∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2 ∵0≤a≤3 ∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直 考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角． 18. 设椭圆：的右焦点恰好是抛物线的焦点，椭圆的离心率和双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆E的标准方程； （2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合）.证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求出抛物线焦点坐标得到值，再结合双曲线离心率即可求出椭圆的离心率，则可求出椭圆方程； （2）设过点的直线为，，联立椭圆方程得到韦达定理式，写出直线,的方程，联立直线方程解出交点横坐标，将以及韦达定理式代入化简计算为定值. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点为,所以椭圆的半焦距. 又因为双曲线的离心率是,所以椭圆的离心率， 从而, 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可得. 若过点的直线方程为时，此时与椭圆交点为点，不合题意， 故可设过点的直线为,设， 联立，整理得. 则，，， 则直线AC的斜率，直线BD的斜率 则直线的方程为，直线的方程为, 联立两条直线方程,解得， 将代入上式，得， 将代入,得， 所以直线,的交点的横坐标为定值. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于采取设线法，设过点的直线方程，注意为了简便计算和避免分类讨论，我们引入参数，然后联立椭圆方程得到韦达定理式，再分别写出直线,的方程，联立解出其横坐标，这一步计算量较大，再根据点在这个直线上，进行换元化简，最后再代入韦达定理式化简即可. 19. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线､关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. （1）已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程； （2）射线的方程，如果椭圆：经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆､分别交于两点､，且，求椭圆的方程； （3）对抛物线：，作变换，得抛物线：；对作变换，得抛物线：；如此进行下去，对抛物线：作变换，得抛物线：，…若，，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）由伸缩变换的定义计算即可； （2）先由伸缩变换求得方程，分别与射线联立方程求､坐标，根据两点距离公式解方程即可； （3）由伸缩变换的定义计算，结合条件及累乘法，等差数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 由条件得，整理得， 所以的方程为. 【小问2详解】 因为，关于原点“伸缩变换”， 对作变换，得：. 联立，解得点的坐标为. 联立，解得点的坐标为. 所以，所以或. 所以或； 因此椭圆的方程为或； 【小问3详解】 对：作变换， 得抛物线：，即. 又因为，所以，即. 当时，，得， 适用上式. 所以数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第二十五中学2025-2026学年高二上学期期末考试 数学 2026.02 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 班级：________ 姓名：________ 准考证号：________________ 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的位置填写自己的准考证号、班级、姓名. 2．客观题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.填空题部分采用电脑智能阅卷，考生须用0.5毫米黑色字迹签字笔在填空题指定题号区域规范书写.解答题部分须在答题卡指定区域做答，在试题卷上作答，答案无效. 3．考试结束后，考生必须将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆：，直线：，则“”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示)若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆，倾斜角为的直线l与椭圆分别相交于A.B两点，点P为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，成等比数列，则数列的公差为（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 7. 若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则 A. 4 B. 16 C. 32 D. 64 8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对得部分分，全部选对得6分） 9. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. D. 11. 空间直角坐标系中，平面和方程之间具有如下关系：（1）平面上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在平面上，则称平面为方程的平面，方程为平面的方程，并且称为平面的一个法向量.已知平面方程分别为和，平面和的交线为，则（ ） A. 若点在直线上，则 B. 平面和所成角的余弦值等于 C. 点到平面的距离为 D. 若平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值等于 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，若直线与直线之间的距离为，则的值为________． 13. 已知数列的前项和为，满足，则 _______． 14. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为9.若上第一象限内的点满足的面积为，则__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知圆经过，，三点． （1）求圆的方程； （2）若经过点的直线与圆相切，求直线的方程． 16. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，证明：. 17. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2． (1)求证：A1C⊥平面BCDE； (2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； (3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． 18. 设椭圆：的右焦点恰好是抛物线的焦点，椭圆的离心率和双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆E的标准方程； （2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合）.证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值. 19. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线､关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. （1）已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程； （2）射线的方程，如果椭圆：经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆､分别交于两点､，且，求椭圆的方程； （3）对抛物线：，作变换，得抛物线：；对作变换，得抛物线：；如此进行下去，对抛物线：作变换，得抛物线：，…若，，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $