第05讲 幂的运算（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版七年级数学下册同步讲义与测试

第05讲 幂的运算（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】同底数幂的乘法 1.   幂的运算性质 1(同底数幂的乘法法则)  同底数幂相乘，底数不变，指数相加 . 用字母表示： am· an=am+n( m， n 都是正整数) . 示例： (m， n 都是正整数) 2. 运算性质的拓展运用 (1)同底数幂的乘法运算性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即am·an·…·ap=am+n+…+p(m，n，…，p 都是正整数). (2)同底数幂的乘法运算性质既可正用也可逆用，即am+n=am·an(m、n 都是正整数). 【知识点02】幂的乘方 1.幂的运算性质 2(幂的乘方) 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 2. 运算性质的拓展运用 (1)幂的乘方运算性质的推广：［()］p=(m、n、p 都是正整数)； (2)幂的乘方运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时=()=()(m、n 都是正整数). 【知识点03】积的乘方 1.幂的运算性质 3(积的乘方) 积的乘方等于各因式乘方的积 . 用字母表示:(ab) n=anbn( n 为正整数) . 2.运算性质的拓展运用 (1)积的乘方运算性质的推广：(abc)n=anbncn(n 为正整数)； (2)积的乘方运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时anbn=(ab)n(n 为正整数). 【知识点04】同底数幂的除法 1.幂的运算性质 4(同底数幂的除法)同底数幂相除，底数不变，指数相减. 用字母表示：am÷an=am-n(a ≠ 0，m、n 是正整数，且m>n). 2. 运算性质的拓展运用 (1)运算性质的推广： 适用于三个及三个以上的同底数幂相除， 即am÷an÷ap=am-n-p(a ≠ 0，m、n、p 是正整数，且m>n+p)； (2)同底数幂的除法法则既可以正用，也可以逆用， 即am-n=am÷an(a ≠ 0，m、n 是正整数，且m>n). 【知识点05】零次幂 1.零次幂的推导：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如 am÷ am，那么根据除法的意义可知所得的商为 1. 另一方面，如果依照同底数幂的除法法则来计算，那么又有 am÷ am=am-m=a0，故 a0=1. 2. 零次幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1. 用字母表示： a0=1(a ≠ 0) . 【知识点06】负整数次幂 1. 负整数次幂一般地，我们约定：a-p= ( a ≠ 0， p 是正整数). 任何一个不等于零的数的 –p( p 是正整数)次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数 . 2. 整数指数幂的运算性质 (1) am· an=am+n(a ≠ 0， m， n 都是整数)； (2)(am) n=amn(a ≠ 0， m， n 都是整数)； (3)(ab) n=anbn(a ≠ 0， b ≠ 0， n 是整数)； (4) am÷ an=am-n( a ≠ 0， m， n 都是整数) . 【知识点07】用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 1. 科学记数法:绝对值小于 1 的数可记成±a×10-n 的形式，其中 1 ≤ a<10， n 是正整数，n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法 . 2. 用科学记数法表示小于 1 的正数的一般步骤 (1) 确定 a： a 是绝对值大于或等于 1 且小于 10 的数 . (2) 确定 n： 确定 n 的方法有两个，即 ① n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)； ②小数点向右移到第一个不等于零的数字后，小数点移动了几位， n 就等于几 . (3)将原数用科学记数法表示为 a×10-n(其中 1 ≤ a<10， n 是正整数) . 【题型一】同底数幂相乘 例1．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）若，，则为 ． 变式2．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）． 例如，若，则．． (1)若， ①填空：_______； ②当，求的值． (2)若，化简：． 【题型二】同底数幂乘法的逆用 例2．已知：，，则（    ） A．12 B． C．32 D． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）若，，则 ． 变式2．（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 【题型三】幂的乘方运算 例3．（2025·安徽·模拟预测）若，则m的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若 ，则（且，m，n是正整数）．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果那么 ； （2）如果，那么= ． 变式2．规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以 （1）根据上述规定，填空：= ；= ， ． （2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，．小明给了如下的证明：设，所以，所以,请根据以上规律：计算：． （3）证明下面这个等式：． 【题型四】幂的乘方的逆用 例4．（24-25七年级下·安徽池州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）若，则= ． 变式2．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）已知，，，求的值． 【题型五】积的乘方运算 例5．（2024·安徽·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）计算： ． 变式2．（2024七年级下·安徽·专题练习）若． (1)猜想与的大小关系； (2)证明你的猜想． 【题型六】积的乘方的逆用 例6．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽·期中） ． 变式2．（22-23七年级下·安徽宿州·月考）小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如下框： 小明的作业 计算：． 解： ． 请你参考小明的方法解答下列问题． 计算： (1)； (2)． 【题型七】零指数幂 例7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）若有意义，则的取值范围是 ． 变式2．若，求的整数值． 【题型八】负整数指数幂 例8．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）计算的结果是（   ） A．2025 B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若式子有意义，则的取值范围是 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽池州·期末）计算：： 【题型九】同底数幂的除法运算 例9．（24-25七年级·安徽芜湖·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．计算： ． 变式2．（2024七年级下·安徽·专题练习）已知， (1)求和的值； (2)求的值． 【题型十】同底数幂除法的逆用 例10．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）已知，，则的值是（    ） A． B．2 C． D．50 变式1．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）已知，，那么 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【题型十一】幂的混合运算 例11．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 变式1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【题型十二】用科学记数法表示绝对值小于1的数 例12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）中国人民自古以来具有自强不息的精神，经过科学家的不懈努力，中国光刻机取得了显著进展．上海微电子研制出能够生产的光刻机，已知，那么用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽六安·期末）据研究，某种疫苗在低温电镜下呈椭圆形颗粒，最小直径约为，已知，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一．将用科学记数法表示为，则 ． 一、单选题 1．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．如果，，那么，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则的值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 8．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．化简 ． 12． ． 13．计算： ． 14．若，，则的值为 ． 15．纳秒（ns）是非常小的时间单位，1ns＝10﹣9s，用科学记数法表示50ns是 ． 16．计算： ． 三、解答题 17．化简： 18．在细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂n次后，数量变为个．有一种分裂速度很快的细菌，它每分裂一次，如果现在有个这样的细菌，那么后有多少个细菌？后细菌的数量是时的多少倍？ 19．（1）已知，，m，n为正整数，求的值； （2）已知，求的值． 20．已知：， (1)求的值； (2)求 的值． 21．计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 22．我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如，对于任意自然数n，可以证明． 理由如下：设，则，∴，∴，∴，∴． (1)根据以上规定求出： _____； _____； (2)①说明等式成立的理由； ②并计算； (3)类比猜想：． 23．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，，，求的值； (3)若运算的结果为810，则t的值是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 幂的运算（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】同底数幂的乘法 1.   幂的运算性质 1(同底数幂的乘法法则)  同底数幂相乘，底数不变，指数相加 . 用字母表示： am· an=am+n( m， n 都是正整数) . 示例： (m， n 都是正整数) 2. 运算性质的拓展运用 (1)同底数幂的乘法运算性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即am·an·…·ap=am+n+…+p(m，n，…，p 都是正整数). (2)同底数幂的乘法运算性质既可正用也可逆用，即am+n=am·an(m、n 都是正整数). 【知识点02】幂的乘方 1.幂的运算性质 2(幂的乘方) 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 2. 运算性质的拓展运用 (1)幂的乘方运算性质的推广：［()］p=(m、n、p 都是正整数)； (2)幂的乘方运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时=()=()(m、n 都是正整数). 【知识点03】积的乘方 1.幂的运算性质 3(积的乘方) 积的乘方等于各因式乘方的积 . 用字母表示:(ab) n=anbn( n 为正整数) . 2.运算性质的拓展运用 (1)积的乘方运算性质的推广：(abc)n=anbncn(n 为正整数)； (2)积的乘方运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时anbn=(ab)n(n 为正整数). 【知识点04】同底数幂的除法 1.幂的运算性质 4(同底数幂的除法)同底数幂相除，底数不变，指数相减. 用字母表示：am÷an=am-n(a ≠ 0，m、n 是正整数，且m>n). 2. 运算性质的拓展运用 (1)运算性质的推广： 适用于三个及三个以上的同底数幂相除， 即am÷an÷ap=am-n-p(a ≠ 0，m、n、p 是正整数，且m>n+p)； (2)同底数幂的除法法则既可以正用，也可以逆用， 即am-n=am÷an(a ≠ 0，m、n 是正整数，且m>n). 【知识点05】零次幂 1.零次幂的推导：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如 am÷ am，那么根据除法的意义可知所得的商为 1. 另一方面，如果依照同底数幂的除法法则来计算，那么又有 am÷ am=am-m=a0，故 a0=1. 2. 零次幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1. 用字母表示： a0=1(a ≠ 0) . 【知识点06】负整数次幂 1. 负整数次幂一般地，我们约定：a-p= ( a ≠ 0， p 是正整数). 任何一个不等于零的数的 –p( p 是正整数)次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数 . 2. 整数指数幂的运算性质 (1) am· an=am+n(a ≠ 0， m， n 都是整数)； (2)(am) n=amn(a ≠ 0， m， n 都是整数)； (3)(ab) n=anbn(a ≠ 0， b ≠ 0， n 是整数)； (4) am÷ an=am-n( a ≠ 0， m， n 都是整数) . 【知识点07】用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 1. 科学记数法:绝对值小于 1 的数可记成±a×10-n 的形式，其中 1 ≤ a<10， n 是正整数，n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法 . 2. 用科学记数法表示小于 1 的正数的一般步骤 (1) 确定 a： a 是绝对值大于或等于 1 且小于 10 的数 . (2) 确定 n： 确定 n 的方法有两个，即 ① n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)； ②小数点向右移到第一个不等于零的数字后，小数点移动了几位， n 就等于几 . (3)将原数用科学记数法表示为 a×10-n(其中 1 ≤ a<10， n 是正整数) . 【题型一】同底数幂相乘 例1．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同底数幂的乘法法则进行作答，即可求解． 【详解】根据同底数幂相乘的法则，当底数相同时，指数相加，即：， 选项A为，对应幂的乘方法则（指数相乘），但题目中是乘法，故错误； 选项B为，错误地将底数相乘，不符合法则； 选项D为，底数被错误地相加，结果显然不成立； 选项C符合同底数幂相乘的法则，因此正确答案为C； 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）若，，则为 ． 【答案】20 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；掌握同底数幂的乘法法则是解本题的关键． 根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：20． 变式2．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）． 例如，若，则．． (1)若， ①填空：_______； ②当，求的值． (2)若，化简：． 【答案】(1)①125；② (2) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算． 【详解】（1）解：①， ∴ ； ②， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 【题型二】同底数幂乘法的逆用 例2．已知：，，则（    ） A．12 B． C．32 D． 【答案】C 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）若，，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法法则，根据同底数幂的乘法法则进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 变式2．（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法， （1）根据即可判断； （2）先逆用乘法分配律将变形为，进而可说明结论成立． 【详解】解：（1） 为整数 能被5整除 （2） 能被8整除，能被8整除 能被8整除 【题型三】幂的乘方运算 例3．（2025·安徽·模拟预测）若，则m的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，解题的关键在于正确掌握幂的乘方的运算法则。 根据幂的乘方的运算法则对式子进行变形，得到求解，即可解题． 【详解】解：∵， ， 即， ∴． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若 ，则（且，m，n是正整数）．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果那么 ； （2）如果，那么= ． 【答案】 / 1 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘． （1）把改写为，进而得出关于x的方程求解； （2）由得，左右分别相乘得，从而得出，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 变式2．规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以 （1）根据上述规定，填空：= ；= ， ． （2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，．小明给了如下的证明：设，所以，所以,请根据以上规律：计算：． （3）证明下面这个等式：． 【答案】（1）3，0，-2；（2）0；（3）见解析 【知识点】幂的乘方运算 【分析】（1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果； （2）可转化为，，可转化为，，从而可求解； （3）设，，则，，从而可得，得，即有，从而得证． 【详解】（1）解：， ； ， ； ， ． 故答案为：3，0，； （2）解：，， ，， ，， ； （3）证明：设，， 则，， ， ， ， ， ， 又，，， ，， 【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键． 【题型四】幂的乘方的逆用 例4．（24-25七年级下·安徽池州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方的逆用展开再比较即可． 【详解】解：，，， ， ，，， ， ，，， ， 故选A． 变式1．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）若，则= ． 【答案】2 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查同底数幂，解题关键是将等式左右两边底数化一致． 根据，将9改写为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：2． 变式2．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）已知，，，求的值． 【答案】1 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的运算，根据即可求解． 【详解】解：由幂的运算可知， ， ∴． 【题型五】积的乘方运算 例5．（2024·安徽·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 变式1．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】根据积的乘方运算和有理数的乘法运算进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方、有理数的乘法，正确的计算是解决本题的关键． 变式2．（2024七年级下·安徽·专题练习）若． (1)猜想与的大小关系； (2)证明你的猜想． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查的是积的乘方和幂的乘方，掌握积的乘方法则和幂的乘方法则是解题的关键． （1）根据题意猜想即可； （2）根据题意得到①，②，两式相乘即可得到答案． 【详解】（1）； （2）， ①， 又， ②， ①②得到， 即， 故． 【题型六】积的乘方的逆用 例6．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方的逆用是解题的关键；由题意易得，然后求解即可． 【详解】解：； 故选C． 变式1．（24-25七年级下·安徽·期中） ． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键． 根据积的乘方的逆运算法则计算即可． 【详解】解： ． 变式2．（22-23七年级下·安徽宿州·月考）小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如下框： 小明的作业 计算：． 解： ． 请你参考小明的方法解答下列问题． 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】（1）根据积的乘方的逆运用进行变形，再求出答案即可； （2）根据积的乘方的逆运用进行变形，再求出答案即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，能熟记是解此题的关键． 【题型七】零指数幂 例7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，要使表达式有意义，需保证底数不为0，因为任何非零实数的0次方均等于1，而0的0次方无意义，熟练掌握零指数幂的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂有意义的条件，零指数幂有意义的条件是底数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．若，求的整数值． 【答案】的整数值为或． 【知识点】零指数幂、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了零次幂，乘方运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论，即当时，则为整数；当，时；当，为偶数时，进行计算作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，则为整数， ∴， 故，符合题意； ∴当，时， ∴， 故，符合题意； ∴当，为偶数时， ∴， 故，不符合题意； 综上：的整数值为或． 【题型八】负整数指数幂 例8．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）计算的结果是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，解题的关键是掌握，根据，进行计算即可． 【详解】解：, 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的底数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽池州·期末）计算：： 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解； ． 【题型九】同底数幂的除法运算 例9．（24-25七年级·安徽芜湖·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查的是幂的运算，熟记运算法则是解本题的关键．逐项分析即可． 【详解】解：A、 ，原计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、 ，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 变式1．计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的除法法则，正确使用法则是解题的关键． 变式2．（2024七年级下·安徽·专题练习）已知， (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的乘方与同底数幂的除法的运算法则． （1）由已知等式利用幂的运算法则得出、，据此可得答案； （2）将、的值代入计算可得 【详解】（1）解：，， ，， 则，； （2）当，时， ． 【题型十】同底数幂除法的逆用 例10．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）已知，，则的值是（    ） A． B．2 C． D．50 【答案】A 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，根据，代入数值计算即可得出答案． 【详解】解：，， ， 故选：A． 变式1．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）已知，，那么 ． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，根据，代入计算即可，熟练掌握同底数幂的除法的逆用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握各运算法则是解题的关键． （1）根据，代入即可求得答案； （2）根据，代入即可求得答案． 【详解】（1）解：； 将，代入，原式． 的值为20． （2）解：， 将，代入，原式， 的值为． 【题型十一】幂的混合运算 例11．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【知识点】幂的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： 把代入， 得 变式1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 【题型十二】用科学记数法表示绝对值小于1的数 例12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）中国人民自古以来具有自强不息的精神，经过科学家的不懈努力，中国光刻机取得了显著进展．上海微电子研制出能够生产的光刻机，已知，那么用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解： ． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·安徽六安·期末）据研究，某种疫苗在低温电镜下呈椭圆形颗粒，最小直径约为，已知，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一．将用科学记数法表示为，则 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：B． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项的法则及积的乘方、同底数幂乘法法则，解题的关键是熟练掌握． 根据合并同类项的法则及积的乘方、同底数幂乘法法则逐个判断即可得到答案； 【详解】解：，故A选项错误，不符合题意， ，故B选项符合题意， 与不是同同，不能合并，故C选项错误，不符合题意， 与是同同，不能合并，故D选项错误，不符合题意， 故选：B； 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，合并同类项，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：A. ，但选项结果为，错误； B. ，但选项结果为，错误； C. ，符合积的乘方法则，正确； D. 与是不同项，无法通过加法合并为乘积形式，错误； 故选：C． 4．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的混合运算，掌握幂的混合运算法则是解题关键．根据幂的混合运算法则可推出，再整体代入求值即可． 【详解】解：． 故选C． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方，掌握其运算法则是解题的关键． 直接利用积的乘方、幂的乘方的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选D． 6．如果，，那么，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂运算法则分别计算即可． 【详解】， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握这些知识是解本题的关键． 7．已知，，则的值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【分析】根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ∴ ∴ 故选：B 【点睛】此题考查了幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握相关运算性质，正确求得． 8．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．将表示为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 9．下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：、与不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：． 10．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 二、填空题 11．化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法运算，根据同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12． ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为∶ ． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，有理数的乘方运算，掌握其运算法则是关键．先将转化为，再根据积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则求解． 【详解】解：． 故答案为：． 15．纳秒（ns）是非常小的时间单位，1ns＝10﹣9s，用科学记数法表示50ns是 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 16．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算法则，零指数幂的性质，负指数幂的性质，正确掌握运算法则是解答本题的关键． 利用积的乘方运算法则，零指数幂的性质，负指数幂的性质，分别计算出结果，然后整理得到最终答案． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 三、解答题 17．化简： 【答案】 【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘除法、幂的乘方，合并同类项法则，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】原式 18．在细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂n次后，数量变为个．有一种分裂速度很快的细菌，它每分裂一次，如果现在有个这样的细菌，那么后有多少个细菌？后细菌的数量是时的多少倍？ 【答案】后，有个细菌，后细菌的个数是后的倍 【分析】先求出，细菌分裂的次数，再根据一个细菌在分裂次后，数量变为个，用细菌的数量乘以，即可得到总数，同理求出2h后细菌的个数，两数相除即可得出结果． 【详解】解：次， ∴后，有细菌：（个）； （次）， ∴后，有个细菌； ， 答：后，有个细菌，后细菌的个数是后的倍． 【点睛】本题考查有理数的乘方，同底数幂的除法的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． 19．（1）已知，，m，n为正整数，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂乘法法则即可求得答案； （2）将原式利用幂的乘方法则及同底数幂乘法，除法法则变形后代入数值计算即可． 【详解】解：（1）， （2）， 20．已知：， (1)求的值； (2)求 的值． 【答案】(1)6 (2)108 【分析】（1）将代入计算可得； （2）将代入计算可得． 【详解】（1）当时， ； （2）当时， ． 【点睛】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘；积的乘方法则是把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解答此题的关键． 21．计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质； （1）把式子变形成进而可求解； （2）根据，再由，进而可解答； 【详解】（1）解： （2）解：， ， 22．我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如，对于任意自然数n，可以证明． 理由如下：设，则，∴，∴，∴，∴． (1)根据以上规定求出： _____； _____； (2)①说明等式成立的理由； ②并计算； (3)类比猜想：． 【答案】(1)3，0 (2)①见解析；②14 (3)6 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算法则，正确将原式变形分析是解题关键． （1）根据题意如果，那么，进而将原式变形求出答案； （2）①根据与的意义，得出，再表示出的值进而得出答案；②表示出与的值进而得出答案； （3）利用同底数幂的除法运算法则将原式变形求出答案． 【详解】（1）解：设，则， 故，即； 设，则， 故，即； 故答案为：3，0； （2）解：①设，，则， 故， 则， 即； ②设，，则， 故， 则， 即； 故答案为：14； （3）解：设，，则， 故， 则， 即． 故答案为：6． 23．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，，，求的值； (3)若运算的结果为810，则t的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据所给的新定义把代入中进行求解即可； （2）先根据积的乘方求出，再根据进行求解即可； （3）先求出，再根据，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴ ； （3）解： ， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，幂的乘方的逆运算等计算，正确理解所给的新定义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $