专题7.4 二项分布与超几何分布（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第三册

本讲义聚焦高中数学中二项分布与超几何分布核心知识点，先梳理n重伯努利试验特征及二项分布概念、均值方差计算，再讲解超几何分布的不放回抽样场景及均值，通过对比辨析两者独立重复与相依试验、是否依赖总体容量的本质差异，构建知识支架。 资料通过“即学即练”“题型分类”设计，结合摸球、射击等实例，引导学生用数学眼光抽象概率模型，用数学思维辨析分布差异，课中助力教师系统授课，课后学生可借变式练习巩固，有效查漏补缺。

专题7.4 二项分布与超几何分布 教学目标 1.理解n重伯努利试验的定义及特征（相同条件重复、结果独立、仅两种可能、概率恒定），掌握二项分布的概念，能准确表述随机变量服从二项分布的符号及概率计算公式。 2.理解超几何分布的概念，明确其适用场景的核心要素（总体分两类、已知各类数量、不放回抽取），掌握概率计算公式 ，能辨识公式中参数 N（总体容量）、M（某类个体数）、n（抽取容量）的含义。 3. 掌握二项分布的数字特征，熟记若X～B(n,p)，则均值 E(X)=np、方差 D(X)=np(1-p)，理解超几何分布的均值计算方法，能熟练进行两类分布的概率、均值与方差的基本运算。 教学重难点 1.重点 两类分布的应用基础：能准确构建二项分布与超几何分布的分布列，熟练进行概率与数字特征的计算，为实际问题解决奠定基础。 2.难点 两类分布的本质差异辨析：对“二项分布无需知道总体容量，超几何分布依赖总体容量”“二项分布是独立重复试验，超几何分布是相依试验”的核心区别理解不深刻，导致应用中混淆公式。 知识点01 二项分布 1、n重伯努利试验的概念：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2、n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝ ，D(X)＝ ． 【即学即练】 1．一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． (1)若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： (2)若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 2．已知随机变量，随机变量，则 . 3．抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件A，抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为，则 ， ． 知识点02 超几何分布 1、超几何分布 超几何分布模型是一种不放回抽样 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2、超几何分布的期望 E(X)＝ ＝ (p为N件产品的次品率)． 【即学即练】 1．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量X服从两点分布（或0-1分布），且，则 B．若随机变量X满足，，1，2，则 C．若随机变量，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为Z，若，则此人最有可能7次击中目标 2．一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 3．某学校组织“最强大脑”解密比赛，每个参赛队伍人数限制为2人.某班有6名学生想要组队参加比赛，其中2人有比赛经验（参加过该项比赛即视为有比赛经验），4人没有比赛经验.现先从这6名学生中随机抽选2名参加比赛，此次比赛结束后，再从这6名学生中随机抽选2名参加下一期解密比赛. (1)记第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为，求的分布列和数学期望； (2)求“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率. 题型01 n重伯努利试验的判断 【典例1】（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（    ）． A．依次投掷四枚质地不同的硬币 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D．小明做道难度不同的数学单选题 n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行． (2)每次试验的结果相互独立，互不影响． 【变式1】重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【变式2】判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 【变式3】(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（    ） A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 题型02 n重伯努利试验概率的求法 【典例1】在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是（　　） A． B． C． D． n重伯努利试验概率求解的关注点 (1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． (2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率． 【变式1】如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，记次独立重复试验中出现“成功”的次数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可看做三次伯努利试验，若甲至少取胜一次的概率为，则甲恰好取胜一次的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式3】在重伯努利试验中，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，用随机变量表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布，记为.已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型03 二项分布的均值与方差 【典例1】已知随机变量，，则将个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有 种． 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【变式1】甲、乙两人在投篮比赛中每轮各投一次，若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮甲、乙投中的概率分别为和，且每轮甲、乙投中与否互不影响，各轮之间也互不影响，则下列说法正确的是（   ） A．一轮比赛中乙获胜的概率为 B．若在8轮比赛中甲获胜的次数的数学期望为2，则的最小值为 C．若且，则一轮比赛中平局的概率大于 D．若，且在4轮比赛中，甲获胜2次的概率为，则或 【变式2】某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 题型04 利用超几何分布的公式求概率 【典例1】某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为 ． 超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分. 【变式1】袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【变式2】一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个，黑球3个.现从中随机摸出3个球. (1)求至少摸到一个红球的概率； (2)求摸到黑球的个数的分布列、均值. 【变式3】某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 题型05 超几何分布的分布列 【典例1】某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列． 【变式1】2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 【变式2】一般地，设有件产品，其中有件次品.从中任取件产品，用表示取出的件产品中次品的件数，那么 ，其中 公式中的可以取的最小值为 ，而不一定是 0. 若一个随机变量的分布列由上式确定，则称随机变量服从参数为的 . 【变式3】某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 题型06 超几何分布的综合应用 【典例1】袋中有10个大小相同的小球，其中6个白球和4个黑球，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．现在从袋中摸出2个球，表示摸到白球的个数，设事件：第一次摸到白球，事件：第二次摸到白球，则（   ） A． B． C． D． 超几何分布均值的计算公式 若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X)＝. 【变式1】某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部（其中男生5名、女生3名）中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列和数学期望. 【变式2】长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表.已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6. 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 女生 20 总计 (1)能否有的把握认为喜欢跑步与性别有关？ (2)从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望. 【变式3】有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 1．已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（    ） A． B． C． D． 2．高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 3．某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（    ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．恰有2个先进班级 4．已知随机变量，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则有最大值 5．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 6．为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 7．已知甲盒中有a个黑球和b个白球，乙盒中有1个球且为黑球.从甲盒中随机抽取n个球放入乙盒中（）.记此时乙盒中含有的黑球个数为，从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，则（   ） A．数列和都严格增 B．数列严格增，数列严格减 C．数列严格减，数列严格增 D．数列和都严格减 8．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 9．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 10．某自来水厂消毒系统原有4台消毒装置，为确保饮用水微生物安全性，该自来水厂进行了设备升级，又引进了2台新型消毒装置.据已有数据记录，原消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为99.2%，新消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为99.8%，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升. (1)若从该厂6台消毒装置中随机选择3台进行检测，记为这3台装置中新型装置的台数，求的分布列； (2)经原消毒系统处理后，设一升水中大肠杆菌的个数为X，求的概率（结果保留3位小数）及X的数学期望； (3)经新消毒系统处理后，试用泊松分布近似计算，一升水中大肠杆菌个数不超出2个的概率（结果保留3位小数）. 附：①泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见的离散型概率分布，是适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.若随机变量的分布列为，，1，2，…，（其中为自然对数），则称随机变量服从泊松分布. ②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布.即，其中. 参考数据：，，，. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.4 二项分布与超几何分布 教学目标 1.理解n重伯努利试验的定义及特征（相同条件重复、结果独立、仅两种可能、概率恒定），掌握二项分布的概念，能准确表述随机变量服从二项分布的符号及概率计算公式。 2.理解超几何分布的概念，明确其适用场景的核心要素（总体分两类、已知各类数量、不放回抽取），掌握概率计算公式 ，能辨识公式中参数 N（总体容量）、M（某类个体数）、n（抽取容量）的含义。 3. 掌握二项分布的数字特征，熟记若X～B(n,p)，则均值 E(X)=np、方差 D(X)=np(1-p)，理解超几何分布的均值计算方法，能熟练进行两类分布的概率、均值与方差的基本运算。 教学重难点 1.重点 两类分布的应用基础：能准确构建二项分布与超几何分布的分布列，熟练进行概率与数字特征的计算，为实际问题解决奠定基础。 2.难点 两类分布的本质差异辨析：对“二项分布无需知道总体容量，超几何分布依赖总体容量”“二项分布是独立重复试验，超几何分布是相依试验”的核心区别理解不深刻，导致应用中混淆公式。 知识点01 二项分布 1、n重伯努利试验的概念：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2、n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【即学即练】 1．一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． (1)若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： (2)若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为1； (2). 【分析】（1）求出的可能取值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）利用独立重复试验的概率公式列式求解. 【详解】（1）随机变量的可能取值为，则，， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （2）有3次摸到红球则停止摸球，恰好摸5次停止的事件是前4次摸到红球2次，第5次摸到红球， 所以恰好摸5次停止的概率为. 2．已知随机变量，随机变量，则 . 【答案】 【分析】利用二项分布的方差公式求出，再由方差的性质计算. 【详解】因为，所以， 故. 故答案为：. 3．抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件A，抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为，则 ， ． 【答案】 / 【分析】根据次独立重复实验事件发生的概率为，根据二项分布求，构造二项式应用赋值法分别计算即可. 【详解】抛掷1次后事件A发生奇数次，只能发生1次，； 抛掷n次后事件A发生次，次，次，， 抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为， 当为偶数时，， 构造二项式， 当为偶数时， 令，， 令，， 两式作差得， 可得， 因为，所以. 故答案为：；. 知识点02 超几何分布 1、超几何分布 超几何分布模型是一种不放回抽样 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2、超几何分布的期望 E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)． 【即学即练】 1．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量X服从两点分布（或0-1分布），且，则 B．若随机变量X满足，，1，2，则 C．若随机变量，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为Z，若，则此人最有可能7次击中目标 【答案】BCD 【分析】利用两点分布，结合期望及方差的意义求解判断A；利用超几何分布求出期望判断B；利用二项分布求出方差判断C；利用不等式法求解判断D. 【详解】对于A，由随机变量服从两点分布，，得试验成功的概率， 因此，A错误； 对于B，由随机变量满足，， 得服从超几何分布，因此，B正确； 对于C，由随机变量，得，C正确； 对于D，，由， 得，解得， 则，即最大，此人最有可能7次击中目标，D正确． 故选：BCD 2．一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设为取出的3个球中黑球的个数，分别求解的值，比较即可得结论. 【详解】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 3．某学校组织“最强大脑”解密比赛，每个参赛队伍人数限制为2人.某班有6名学生想要组队参加比赛，其中2人有比赛经验（参加过该项比赛即视为有比赛经验），4人没有比赛经验.现先从这6名学生中随机抽选2名参加比赛，此次比赛结束后，再从这6名学生中随机抽选2名参加下一期解密比赛. (1)记第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为，求的分布列和数学期望； (2)求“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由题意，的可能取值为，根据超几何分布的知识求得的分布列和数学期望； （2）利用全概率公式来求得答案. 【详解】（1）由题意知，的可能取值为， ， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 数学期望. （2）记“第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为”为事件，则两两互斥，， 记“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”为事件， 由（1）知，， 由全概率公式，， 故“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率为. 题型01 n重伯努利试验的判断 【典例1】（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（    ）． A．依次投掷四枚质地不同的硬币 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D．小明做道难度不同的数学单选题 【答案】ACD 【分析】根据重伯努利试验的概念及性质直接判断即可. 【详解】A．由于试验的条件不同（硬币质地不同），因此不是重伯努利试验． B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是重伯努利试验． C．每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此不是重伯努利试验． D．道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是重伯努利试验． 故选：ACD． n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行． (2)每次试验的结果相互独立，互不影响． 【变式1】重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由重伯努利试验试验的定义判断即可． 【详解】解：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验， 故重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的； 故选：C 【变式2】判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 【答案】(1)不是n重伯努利试验 (2)是n重伯努利试验 (3)不是n重伯努利试验 【分析】通过分析不同的试验的条件即可得出结论. 【详解】（1）由题意， ∵试验的条件不同(质地不同)， ∴不是n重伯努利试验 （2）由题意， ∵某人射击且击中的概率是稳定的， ∴是n重伯努利试验． （3）由题意， ∵每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等， ∴不是n重伯努利试验． 【变式3】(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（    ） A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 【答案】ABC 【分析】由独立重复试验的定义，依次判断即可 【详解】AC符合互斥事件的概念，是互斥事件，不是独立重复试验； B是相互独立事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环” 的概率不一定相同，因此不是独立重复试验； D中在相同的条件下，甲射击10次，是独立重复试验 故选：ABC 题型02 n重伯努利试验概率的求法 【典例1】在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件发生一次的概率为，根据独立重复试验概率公式求出随机事件恰好发生1次的概率，和恰好发生2次的概率，建立的不等式关系，求解即可. 【详解】设事件发生一次的概率为，则事件的概率可以构成二项分布， 根据独立重复试验的概率公式可得， 解得，又，故.故选：A. n重伯努利试验概率求解的关注点 (1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． (2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率． 【变式1】如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，记次独立重复试验中出现“成功”的次数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】伯努利试验中随机变量服从二项分布，根据方差的计算公式即可算出结果. 【详解】解：伯努利试验中随机变量服从二项分布，即， 因为出现“成功”的概率为，所以， 因为次独立重复试验，所以， 所以. 故选：. 【变式2】甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可看做三次伯努利试验，若甲至少取胜一次的概率为，则甲恰好取胜一次的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每次甲胜的概率为p，根据甲至少取胜一次的概率为，结合对立事件的概率计算求出p的值，继而利用二项分布的概率公式，即可求得答案. 【详解】假设甲取胜为事件A，设每次甲胜的概率为p， 由题意得，事件A发生的次数，则有， 得，则事件A恰好发生一次的概率为，故选：C. 【变式3】在重伯努利试验中，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，用随机变量表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布，记为.已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】帕斯卡分布概率公式列不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 解得，即的最大值为.故选：C 题型03 二项分布的均值与方差 【典例1】已知随机变量，，则将个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有 种． 【答案】150 【分析】根据二项分布的期望得到，然后采用先分组后排序的方法计算即可. 【详解】由，得，即， 故分配方案共有150种． 故答案为：150 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【变式1】甲、乙两人在投篮比赛中每轮各投一次，若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮甲、乙投中的概率分别为和，且每轮甲、乙投中与否互不影响，各轮之间也互不影响，则下列说法正确的是（   ） A．一轮比赛中乙获胜的概率为 B．若在8轮比赛中甲获胜的次数的数学期望为2，则的最小值为 C．若且，则一轮比赛中平局的概率大于 D．若，且在4轮比赛中，甲获胜2次的概率为，则或 【答案】ACD 【分析】对于A，由独立事件的乘法公式即可判断；对于B，先计算一轮中甲获胜的概率，再由即可得到；对于C，由题可得一轮中平局的概率即可判断；对于D，当时，一轮中甲获胜的概率，则4轮比赛中，甲获胜2次的概率为即可求解. 【详解】一轮比赛中乙获胜，即乙投中甲未投中，其概率为，故A正确； 一轮比赛中甲获胜的概率为，由，知，故， 所以（当且仅当时取等号）， 可得的最小值为0，故B错误； 一轮比赛中平局的概率为，故C正确； 若，一轮比赛中甲获胜的概率， 则4轮比赛中，甲获胜2次的概率为， 解得或，当时，解得或，当时，方程无解， 综上，或，故D正确.故选：ACD. 【变式2】某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的期望和方差性质计算可判断AB选项，再由期望值性质可判断C选项，由二项分布定义可求出对应概率可判断D选项. 【详解】对于A，因为服从二项分布，所以，即A正确； 对于B，由二项分布可得，因此B正确； 对于C，易知，即C正确； 对于D，显然，可知D错误.故选：D 【变式3】某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析； (2)点 (3)，. 【分析】（1），可能值为0，1，2，3，由二项分布概率公式求得各概率后可得分布列； （2）时，设的概率最大，通过与1的大小比较可得晨大值； （3）根据二项分布的期望公式和方差公式求解. 【详解】（1）由题意可知，每次向右移动的概率是，向上移动的概率是， 为3次移动中向右移动的次数，其可能值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）时，设的概率最大， 则，， ， 所以当时，，当时，， 所以， 即时概率最大，所以游戏结束时甲同学到达点的概率最大； （3）由题意， 因为，所以，， 所以，. 题型04 利用超几何分布的公式求概率 【典例1】某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为 ． 【答案】/ 【分析】可以运用“正难则反”的思想， 先求出抽到的3名同学中没有女生的概率，再运用对立事件的概率公式求得抽到的3名同学中至少有1名女生的概率. 【详解】抽到的3名同学中没有女生的概率为， 则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为.故答案为： 超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分. 【变式1】袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 【变式2】一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个，黑球3个.现从中随机摸出3个球. (1)求至少摸到一个红球的概率； (2)求摸到黑球的个数的分布列、均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据对立事件的概率公式求解; （2）根据超几何分布的分布列及其均值的求法求解. 【详解】（1）由题可知,没有摸到红球的概率是, 所以至少摸到1个红球的概率为. （2）由题意知，服从参数的超几何分布，的可能取值为， 则， ，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 所以    【变式3】某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）至少有一个是文创类项目，可以是一个或者两个文创项目，利用互斥事件加法公式和古典概型公式求解； （2）按照步骤结合超几何分布的性质计算. 【详解】（1）记“抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目”为事件， （2）由题意，的可能取值为. 所以的分布列为 0 1 2 题型05 超几何分布的分布列 【典例1】某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)答案见解析 (2)①0.108；②打折更划算 【分析】（1）根据超几何分布结合对应的奖金，列出相应的概率即可； （2）消费1000元可知抽奖3次，而抽到100元的可能恰好是抽到20元，30元，50元这种组合；对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）设某顾客参加一次抽奖获得返现金额，可能取值为20，30，50， 则，， 则的分布列如下表： 20 30 50 （2）①由题意刚好可以抽三次，分别为50元、30元、20元各一次，则概率为0.108. ②若打九折，需支付金额为：（元）. 由（1）知每次抽中的均值为元，则抽取三次总的均值为：（元）. 因为，故打折更划算. 解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列． 【变式1】2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 【答案】(1)的估计值为，的估计值为，的估计值为； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据古典概型求解，法一：利用条件概率公式求解；法二利用缩小样本空间法求解即可； （2）根据分层抽样求出看过和没看过《哪吒之魔童降世2》的人数，进而可知的所有可能取值，求出相应的概率即可得到分布列，进而可求数学期望（或者利用超几何分布结论求解）. 【详解】（1）A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组． 样本容量，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》的频率为， 因此的估计值为， 抽取到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为， 因此的估计值为. 法一：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； 法二：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； （2）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人， 则看过《哪吒之魔童降世2》的人数的取值范围为， 由题意，看过《哪吒之魔童降世2》的人数，则， 此时，，. 则的分布列为： X 1 2 3 所以，或． 【变式2】一般地，设有件产品，其中有件次品.从中任取件产品，用表示取出的件产品中次品的件数，那么 ，其中 公式中的可以取的最小值为 ，而不一定是 0. 若一个随机变量的分布列由上式确定，则称随机变量服从参数为的 . 【答案】 超几何分布 【变式3】某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设选到深度贫困村数为，根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求得的值． 【详解】设选到深度贫困村数为，则随机变量的可能取值有0、1、2、3， 则，，，， 所以． 故选：B 题型06 超几何分布的综合应用 【典例1】袋中有10个大小相同的小球，其中6个白球和4个黑球，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．现在从袋中摸出2个球，表示摸到白球的个数，设事件：第一次摸到白球，事件：第二次摸到白球，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由全概率公式计算即可判断A选项；由条件概率公式计算求解即可判断B选项；由超几何分布的定义可判断C选项；根据超几何分布的期望公式计算可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，已知第一次摸到白球，此时袋中还剩9个球，其中5个白球，所以，故B正确； 对于C，表示摸到白球的个数，从10个球中摸2个球，其中6个白球，4个黑球， 所以服从超几何分布，即，故C不正确； 对于D，，所以，故D正确； 故选：ABD 超几何分布均值的计算公式 若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X)＝. 【变式1】某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部（其中男生5名、女生3名）中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】分布列见解析， 【分析】先确定X的分布列类型为超几何分布，然后确定相应的参数取值，并求出每个取值对应事件的概率，列出分布列，最后利用期望公式进行求值. 【详解】因为8名学生会干部中有5名男生、3名女生，所以X的分布列服从参数为的超几何分布，因为， 所以， ， ， . X的分布列如下， X 0 1 2 3 P . 【变式2】长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表.已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6. 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 女生 20 总计 (1)能否有的把握认为喜欢跑步与性别有关？ (2)从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)不能 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立性检验进行判断； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，结合超几何分布计算概率写出分布列，最后计算数学期望； 【详解】（1）由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6， 故喜欢跑步的有（人），不喜欢跑步的有（人）． 补全列联表如下： 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 60 140 女生 40 20 60 总计 120 80 200 由列联表中的数据， 可得， 所以没有充分证据推断喜欢跑步与性别有关，即认为喜欢跑步与性别无关． （2）设抽取的8人中女生有名，男生有名，则，解得，， 所以从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名． 再从这8人中抽取3人（从8名学生（6名男生、2名女生）中抽取3名，典型的超几何分布模型）， 故的可能取值为0，1，2， 且，，， 故的分布列为 X 0 1 2 P 方法一：数学期望． 方法二：服从超几何分布，且，，，所以． 【变式3】有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii），，； (2)，理由见解析. 【分析】（1）（i）根据题设有Y可取0，1，2，3，4，应用超几何分布求对应概率并写出分布列，进而求期望；（ii）应用二项分布模型求新规则下随机变量的分布列，进而求期望，比较期望的大小； （2）由独立重复试验的概率求法及不等式法求概率最大时对应参数值即可. 【详解】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0，1，2，3，4，， ， Y服从超几何分布，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则， 故， 由（i）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 1．已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式求出的值，再确定有理项的个数，最后根据超几何分布的期望公式计算 【详解】在的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则， 可得的二项展开式的通项， 当为整数时，该项为有理项， 因为且，所以当时，分别为2，，，是整数， 即有理项有3项， 从11项中任取3项，其中有理项的个数服从参数为（总体个数），（有理项个数），（抽取个数）的超几何分布， 根据超几何分布的期望公式，可得. 故选：B. 2．高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法1；由事件与事件互为对立事件，求出，即可求出； 解法2：由题可得，直接利用概率公式求解即可. 【详解】解法1：因为事件与事件互为对立事件，而， 所以（直接法求解较复杂时，考虑用间接法）． 解法2：由题意可知的可能取值为0，1，2，3，，， ，则． 故选：B 3．某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（    ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．恰有2个先进班级 【答案】B 【分析】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布，则，分别求得概率，再验证各选项即可. 【详解】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布， 故， 所以， ，， 对于A，因为，故A不正确； 对于B，因为．故B正确； 对于C，因为.故C不正确； 对于D，因为，故D不正确. 故选：B． 4．已知随机变量，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则有最大值 【答案】BD 【分析】利用二项分布的期望和方差公式，结合随机变量线性关系的期望和方差公式即可求解. 【详解】因为随机变量，所以， 又因为，所以，故A错误； 因为，所以， 又因为，所以，故B正确； 由于，即，故C错误； 若，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，即有最大值，故D正确； 故选：BD. 5．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【答案】A 【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【详解】，，， 若是唯一的最大值，则 所以 解得． 因为，， ，，． ． 故选：A． 6．为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B 7．已知甲盒中有a个黑球和b个白球，乙盒中有1个球且为黑球.从甲盒中随机抽取n个球放入乙盒中（）.记此时乙盒中含有的黑球个数为，从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，则（   ） A．数列和都严格增 B．数列严格增，数列严格减 C．数列严格减，数列严格增 D．数列和都严格减 【答案】B 【分析】将乙盒中原有的1个黑球与从甲盒抽取的黑球数结合，利用超几何分布的期望公式计算可判断数列的单调性；结合乙盒总球数的变化，分析概率随抽取球数的变化趋势可判断的单调性. 【详解】从甲盒中随机抽取n个球，这n个球中黑球的个数设为， 服从超几何分布，且， 乙盒中有1个球且为黑球，放入n个球后，， 因为，所以， 因为，所以当从增加到时， 随的增大而增大，所以数列严格增； 从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，乙盒中此时有个球，黑球有个， 所以 ， 因为，所以当从增加到时， 单调递减，所以严格减. 故选：B. 8．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 【答案】B 【分析】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲礼盒里随机取一粽子，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即. 故A，C错误. 其中，其中，且，. 故从甲礼盒取粽子，相当于从含有个肉粽的个粽子中取1粽子，取到肉粽个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以， 随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故B正确，D错误. 故选：B. 9．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】(1)分布列见解析，， (2)（i）；（ii）若，增加2个元件后利润提高； 若时，增加2个元件后利润没有提高. 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； （ii）分以下三种情况讨论：①原系统中至少有4个元件正常工作；②原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；③原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，再对三种情况进行求和，得到，计算，与作比较，再根据判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率变大； 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大. 又因为， 所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 10．某自来水厂消毒系统原有4台消毒装置，为确保饮用水微生物安全性，该自来水厂进行了设备升级，又引进了2台新型消毒装置.据已有数据记录，原消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为99.2%，新消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为99.8%，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升. (1)若从该厂6台消毒装置中随机选择3台进行检测，记为这3台装置中新型装置的台数，求的分布列； (2)经原消毒系统处理后，设一升水中大肠杆菌的个数为X，求的概率（结果保留3位小数）及X的数学期望； (3)经新消毒系统处理后，试用泊松分布近似计算，一升水中大肠杆菌个数不超出2个的概率（结果保留3位小数）. 附：①泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见的离散型概率分布，是适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.若随机变量的分布列为，，1，2，…，（其中为自然对数），则称随机变量服从泊松分布. ②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布.即，其中. 参考数据：，，，. 【答案】(1)分布列见解析 (2)；4 (3) 【分析】（1）确定的取值，求得对应概率即可求解； （2）求得每个大肠杆菌的存活率为，则，即可求解； （3）设经新消毒系统处理后，一升水中大肠杆菌个数为，由，即可求解. 【详解】（1）由题意的取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 （2）由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为， 设一升水中大肠杆菌个数为，则， ， （3）经新消毒系统处理后，一升水中大肠杆菌个数为， 由题意，，其中且， 所以，其中. 所以 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $