专题7.5 正态分布（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题7.5 正态分布 教学目标 1.掌握正态曲线的六大特征（单峰、对称、钟形、过定点、总面积为1、参数影响形态），能结合特征描述正态曲线的形状与位置变化。 2.理解3σ原则的内涵，熟记正态总体在(μ-σ,μ+σ)、(μ-2σ,μ+2σ)、(μ-3σ,μ+3σ)内的取值概率，能运用3σ原则解决简单的概率计算问题。 3.能结合实际情境判断随机变量是否服从正态分布，会用正态分布的性质解决与概率、取值范围相关的实际问题，初步掌握正态分布的简单应用。 教学重难点 1.重点 正态分布的概念与正态曲线的核心特征，能结合特征分析参数μ、σ对曲线形状和位置的影响。 2.难点 正态分布与实际问题的建模转化，对于未明确说明“服从正态分布”的实际情境（如考试成绩、产品尺寸），难以判断是否可近似用正态分布模型分析，缺乏建模的直观性与准确性。 知识点01 正态曲线 1、正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变 的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线 函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数． 显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为 ．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为 ，特别地，当μ＝ ，σ＝ 时，称随机变量X服从标准正态分布． 2、由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是 的，它关于直线 对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值 ； (3)当无限增大时，曲线无限接近x轴． 【即学即练】 1．下列说法正确的有（   ） A．若随机变量，则 B．已知随机变量，若，则 C．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4 D．已知按从小到大顺序排列的两组数据（甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52）的第30百分位数相等，第50百分位数也相等，则 2．已知随机变量，且，则的值为（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 3．设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 知识点02 3σ原则 1、正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ ，D(X)＝ ． 2、正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取 中的值，这在统计学中称为3σ原则. 【即学即练】 1．某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为 .（参考数据：若，则） 2．统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 3．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 题型01 正态曲线的图象的应用 【典例1】设随机变量，，则（   ） A．0.25 B．0.35 C．0.3 D．0.7 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式． 【变式1】已知随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.72 B．0.28 C．0.74 D．0.36 【变式3】设随机变量，，，，则（   ） A． B． C． D． 题型02 利用正态分布的对称性求概率 【典例1】已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 【变式1】已知随机变量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．16 【变式2】下列说法正确的有（   ） A．若随机变量，且，则 B．某物理量的测量结果，越大，该物理量在一次测量中的结果在的概率越大 C．已知随机变量，若，则 D．已知随机变量，若，则 【变式3】已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（    ） A． B． C．8 D．24 题型03 正态分布的实际应用 【典例1】某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为 人.（参考数据：，结果保留整数） 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 【变式1】从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【变式2】在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（   ） A．1600 B．1800 C．2100 D．2700 【变式3】小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（   ） ， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 1．某校高二年级共有男生300人，女生350人，现对该年级期中考数学成绩进行分析，记男生成绩为X，女生成绩为Y，且，则下列结论正确的是（   ）（参考数据：） A． B．女生成绩的标准差为8 C．男生成绩在区间的约有205人（计算结果四舍五入取整） D．当成绩达到90分为及格，则男生和女生及格人数一样多 2．（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 3．已知袋装食盐标准质量为.设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量，且，，则（   ） A． B． C． D． 4．设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 5．设随机变量，，则（   ） A． B． C． D． 6．体育锻炼对青少年具有促进生长发育、提升心肺功能、增强免疫力、改善心理状态等重要作用．立德中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 7．某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 8．某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第 个项目中的成绩排名最靠后，在第 个项目中的成绩排名最靠前．（填序号） 序号 一 二 三 四 项目 新闻六十秒 挑战会客厅 趣味绕口令 创意百分百 71 75 81 85 4.9 2.1 3.6 4.3 9．近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 10．下列说法正确的有（    ） A．3名女生和5名男生排成一排，女生不相邻的排法有种 B．若随机变量，则 C．6名学生平均分成3组，不同的分法有种 D．展开式中的各项系数之和为32 11．某省为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省各市本次模拟考试数学成绩都近似服从正态分布．在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量为本次考试数学成绩在之外的人数，则约为 ．若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生的数学成绩为114分，则估计学生的数学成绩在甲市的大致名次为第 名． 参考数据：，．若，有，，． 12．若随机变量，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 13．正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为设，证明： (3)若元件均为（2）中所述的高稳定性元件，其寿命相互独立. 已知在第n天初，元件B和C均正常工作，而元件A发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.5 正态分布 教学目标 1.掌握正态曲线的六大特征（单峰、对称、钟形、过定点、总面积为1、参数影响形态），能结合特征描述正态曲线的形状与位置变化。 2.理解3σ原则的内涵，熟记正态总体在(μ-σ,μ+σ)、(μ-2σ,μ+2σ)、(μ-3σ,μ+3σ)内的取值概率，能运用3σ原则解决简单的概率计算问题。 3.能结合实际情境判断随机变量是否服从正态分布，会用正态分布的性质解决与概率、取值范围相关的实际问题，初步掌握正态分布的简单应用。 教学重难点 1.重点 正态分布的概念与正态曲线的核心特征，能结合特征分析参数μ、σ对曲线形状和位置的影响。 2.难点 正态分布与实际问题的建模转化，对于未明确说明“服从正态分布”的实际情境（如考试成绩、产品尺寸），难以判断是否可近似用正态分布模型分析，缺乏建模的直观性与准确性。 知识点01 正态曲线 1、正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线 函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数． 显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2、由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值； (3)当无限增大时，曲线无限接近x轴． 【即学即练】 1．下列说法正确的有（   ） A．若随机变量，则 B．已知随机变量，若，则 C．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4 D．已知按从小到大顺序排列的两组数据（甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52）的第30百分位数相等，第50百分位数也相等，则 【答案】BC 【分析】根据二项分布的方差公式、正态分布的性质、平均数和方差公式以及百分位数的公式逐项计算判断即可. 【详解】对于A：因为随机变量，所以， 所以，A错误； 对于B：因为随机变量，， 所以，所以， 所以，B正确； 对于C：因为某4个数据的平均数为，方差为3， 那么这四个数据的总和为，且. 所以加入一个数据5后，五个数据之和为，此时平均数为， 方差为，C正确； 对于D：. 对于甲组数据，第30百分位数为第二项30，第50百分位数为第三项和第四项的平均数，即. 对于乙组数据，第30百分位数为第二项，第50百分位数为第三项和第四项的平均数，即. 那么根据题意可得，，解得，所以，D错误. 故选：BC. 2．已知随机变量，且，则的值为（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 【答案】B 【分析】利用正态分布曲线的对称性，即可求值. 【详解】因为随机变量，则正态分布曲线的对称轴为， 所以，即， 故选：B 3．设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 知识点02 3σ原则 1、正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 2、正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 【即学即练】 1．某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为 .（参考数据：若，则） 【答案】1 【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，，然后列不等式组可解． 【详解】依题意可知，，又， 所以，要使合格率达到99.74%，则， 所以，解得：，故至多为1． 故答案为：1． 2．统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的概念可判断A；根据正太分布的对称性可判断BC；根据题设原则计算概率进行比较可判断D． 【详解】A选项：由题可得均值，方差，故A正确； B选项：与关于对称，，故B正确； C选项： ∵，∴， ∵，∴， ∴，故C错误； D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于， 现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于， 故应该对生产线进行检修，故D正确． 故选：ABD． 3．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 【答案】C 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于的人数约为. 故选：C. 题型01 正态曲线的图象的应用 【典例1】设随机变量，，则（   ） A．0.25 B．0.35 C．0.3 D．0.7 【答案】B 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可计算. 【详解】因为随机变量，且， 所以， 故选：B. 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式． 【变式1】已知随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】应用正态分布的对称性及数学期望计算分别判断各个选项. 【详解】由正态分布的定义知，A正确； 由，得，B正确； ，C错误； ，D错误. 故选：AB. 【变式2】已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.72 B．0.28 C．0.74 D．0.36 【答案】A 【分析】利用正态分布的曲线及性质求解. 由服从正态分布得到为正态曲线的对称轴且，由的值求出的值，利用对称性得到，从而得到. 【详解】服从正态分布，为正态曲线的对称轴，， ，， 为正态曲线的对称轴， ，. 故选：A. 【变式3】设随机变量，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正态分布的性质得，由作差法、对数的性质比较大小，即可得. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 所以，， 所以. 故选：A 题型02 利用正态分布的对称性求概率 【典例1】已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 【变式1】已知随机变量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．16 【答案】B 【分析】先根据正态分布的性质确定的值，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，且， 因为，所以. 所以， 因为，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B． 【变式2】下列说法正确的有（   ） A．若随机变量，且，则 B．某物理量的测量结果，越大，该物理量在一次测量中的结果在的概率越大 C．已知随机变量，若，则 D．已知随机变量，若，则 【答案】AC 【分析】利用正态分布的对称性求解判断AC；利用正态分布的性质判断B；利用方差的性质求解判断D. 【详解】对于A，随机变量，， 则，A正确； 对于B，，越大，结果越分散，在的数据越少，概率越小，B错误； 对于C，，由，得，解得，C正确； 对于D，，则，而，则，D错误. 故选：AC 【变式3】已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（    ） A． B． C．8 D．24 【答案】A 【分析】利用正态分布性质可求得的值，再利用二项式定理的通项即可求出结果. 【详解】易知随机变量，其对称轴为， 又，所以，解得； 因此， 显然含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故选：A 题型03 正态分布的实际应用 【典例1】某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为 人.（参考数据：，结果保留整数） 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性，结合概率公式，可得答案. 【详解】由身高近似服从正态分布，则， 所以， 可得全校高三学生中“高个子”的学生人数约为（人）. 故答案为：. 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 【变式1】从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数计算公式计算即可； （2）（ⅰ）由题意，由可求得，进而可得这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）根据正态分布的性质及原则分析即可． 【详解】（1）由题意可知，． （2）（ⅰ）由题意，， 则， 则，即． 则这批产品质量指标值在的数量约为． （ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有， 一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理． 【变式2】在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（   ） A．1600 B．1800 C．2100 D．2700 【答案】D 【分析】应用正态分布性质及对应概率计算求解. 【详解】由题设，若X表示数学考试成绩，则，而， 所以，故参加本次联考的总人数约为． 故选:D． 【变式3】小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（   ） ， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 【答案】B 【分析】根据正态分布中的原则分别计算不同方式下不迟到的概率，即求计算不同方式下的大小，然后分析即可. 【详解】①当小张步行方式上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ②当小张骑自行车上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ③当小张乘坐公汽上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ④当小张自己开车上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， 由， 所以小张骑自行车上班时不迟到的概率最大， 故选：B. 1．某校高二年级共有男生300人，女生350人，现对该年级期中考数学成绩进行分析，记男生成绩为X，女生成绩为Y，且，则下列结论正确的是（   ）（参考数据：） A． B．女生成绩的标准差为8 C．男生成绩在区间的约有205人（计算结果四舍五入取整） D．当成绩达到90分为及格，则男生和女生及格人数一样多 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质逐项分析计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，则， ，C正确； 对于D，， 但男生和女生总数不一样，因此及格人数也不一样，D错误. 故选：BC 2．（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的性质结合给定区间上的概率值可判断A；根据随机变量x的概率分布密度函数可判断B，C；根据正态分布的“”原则可判断D. 【详解】对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，则， 其中，则，A正确； 对于B，随机变量x的概率分布密度函数，有，，因此生产线乙的食盐质量，B错误； 对于C，因为，当且仅当时取等号， 因此当时，，C正确； 对于D，， 说明生产线甲上抽到质量大于食盐的可能性很低， 则随机抽取两包其质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确. 故选:ACD. 3．已知袋装食盐标准质量为.设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由正态曲线的性质，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A：作出随机变量的正态分布密度曲线草图，根据对称性，所以，故A正确； 对于B：由，故B错误； 对于C：由，故C正确； 对于D：对于正态分布，给定，是一个只与有关的定值，所以，故D正确. 故选：ACD. 4．设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用正态分布参数的意义可判断AB，利用正态分布曲线计算概率值的大小，可判断CD. 【详解】由随机变量可知： 所以成立，故A正确； 不成立，故B错误； 再由随机变量可知： ，故成立，故C正确； 由于，， 它们的临界值都是，所以，故D错误； 故选：AC. 5．设随机变量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性即可判断AB，取即可判断CD. 【详解】对于A：由，所以，所以，故A错误； 对于B：由，所以，所以， 即，故B正确； 对于C：取时，，故C错误； 对于D：取时，，故D错误. 故选：B. 6．体育锻炼对青少年具有促进生长发育、提升心肺功能、增强免疫力、改善心理状态等重要作用．立德中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态曲线的特点判断AB，根据正态曲线的对称性判断CD. 【详解】由可知，故A正确； 因为，所以的分布比的分布更分散，故B不正确； 由可知，， 故C不正确， 由可知， 所以，故D正确． 故选：BC 7．某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【分析】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 8．某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第 个项目中的成绩排名最靠后，在第 个项目中的成绩排名最靠前．（填序号） 序号 一 二 三 四 项目 新闻六十秒 挑战会客厅 趣味绕口令 创意百分百 71 75 81 85 4.9 2.1 3.6 4.3 【答案】 四 二 【分析】根据已知用各组表示出，然后根据正态分布的性质，即可得出答案. 【详解】项目一：由已知可得，，，则； 项目二：由已知可得，，，则； 项目三：由已知可得，，，则； 项目四：由已知可得，，，则. 根据正态分布的性质可得，， 所以，小星同学在第四个项目中的成绩排名最靠后，在第二个项目中的成绩排名最靠前． 故答案为：四；二. 9．近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)（ⅰ）；（ⅱ）方案2该平台赠送的学习视频总时长更多，答案见解析 【分析】（1）利用分层抽样求解前3组各组抽取的人数，然后确定的所有可能取值，求出对应的概率，进而求解分布列和数学期望，求解期望时也可用超几何分布的期望公式； （2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可； （ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为，求出的所有可能取值及其概率，再求出，与方案1比较即可得出答案. 【详解】（1）因为抽样比为， 所以从中抽取（人），从中抽取（人）， 从中抽取（人）． 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 故的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 方法一：． 方法二 ：服从参数的超几何分布，故． （2）（ⅰ），， 所以，，，． 所以． （ⅱ）对于方案2：设每位学生所获赠学习视频小时数为，则可取． ， ， ． ， 因为，所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 10．下列说法正确的有（    ） A．3名女生和5名男生排成一排，女生不相邻的排法有种 B．若随机变量，则 C．6名学生平均分成3组，不同的分法有种 D．展开式中的各项系数之和为32 【答案】AB 【分析】利用插空法和乘法计数原理即可判断A；先根据得到，进而结合正态密度曲线的对称性即可判断B；结合均匀分组问题的处理方法即可判断C；利用赋值法求展开式中的各项系数之和，判断D. 【详解】对于A，利用插空法，将名男生排成一列，其排列方式有种， 将名女生插入男生排列的两端或男生与男生之间的位置，则有种排列方式， 则由乘法计数原理可知一共有种排法，故A正确； 对于B，由得， 则，又， 所以，故B正确； 对于C，6名学生平均分成3组，不同的分法有，故C错误； 对于D，将中的取，取可得其展开式中的各项系数之和， 所以展开式中的各项系数之和，故D错误. 故选：AB. 11．某省为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省各市本次模拟考试数学成绩都近似服从正态分布．在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量为本次考试数学成绩在之外的人数，则约为 ．若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生的数学成绩为114分，则估计学生的数学成绩在甲市的大致名次为第 名． 参考数据：，．若，有，，． 【答案】 0.4782 1587 【分析】设事件：在样本中抽取的1名学生在本次考试中数学成绩在之外，利用正态分布的概率计算公式求出，从而得到，由二项分布的概率公式即可求出，根据题意可得，解得 ，利用正态分布的概率公式计算即可求解. 【详解】设事件：在样本中抽取的1名学生在本次考试中数学成绩在之外． 成绩在之内的概率为0.9974， ， 随机变量服从二项分布，即， ． 若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，则可得， ， ，即，解得． 甲市学生在该次考试中数学成绩为114分，且， 又，即，， 即学生本次考试的数学成绩在甲市的大致名次为第1587名． 故答案为：0.4782，1587 12．若随机变量，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由正态分布的对称性有，再应用“1”的代换和基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，即的最小值为2. 故选：D 13．正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为设，证明： (3)若元件均为（2）中所述的高稳定性元件，其寿命相互独立. 已知在第n天初，元件B和C均正常工作，而元件A发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，. 【答案】(1)0.8186 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正态分布性质得到； （2）由条件概率得到，证明出结论； （3）由（2）得，利用对立事件求概率即可. 【详解】（1），其中，故， ， 由题设，得， （2）由题设，得 ， . 所以. （3）由（2）得， 所以第天系统仍正常工作，元件，必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $