精品解析：江西省上饶市广信区2025-2026学年第一学期期末绿色评价八年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末绿色评价 八年级·数学试题卷 考试时长：120 分钟 满分：120 分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形具有稳定性的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算，正确的结果等于（ ） A. a B. C. D. 4. 在，，，，中，分式的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 在直角中，其中一个锐角等于，另一个锐角等于_____． 8. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 9. 分解因式：______． 10. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是______． 11. 若多项式是一个完全平方式，则的值为_____． 12. 如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是__________________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 14. 如图，在中，． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 15. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）AB//DE． 16. 下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：方程两边同乘 ， 得第一步 去括号，得第二步 移项、合并同类项，得第三步 解得，第四步 则原分式方程的解为第五步 （1）第一步中横线处应填 ，这一步的目的是 ，依据是 ． （2）小明在反思上述解答过程时，发现缺少了一步，请将其补充完整． 17. 如图，在中，，点D是边的中点，交于点E，请仅用无刻度直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，过点C作边上的高线； （2）在图②中，过点E作的平行线． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： （1）； （2）； （3）． 19. 先化简：，然后在1，2，3中选一个你认为合适的数代入求值． 20. 如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）当t为何值时，为等边三角形？ （2）当t为何值时，为直角三角形？ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品．请你根据下面的信息（如图），回答下列问题． （1）求每个灯笼和每副春联的进价． （2）若超市准备用不超过2450元的资金再购进这两种春联和灯笼共100个（副），最多能购进灯笼多少个？ 22. 很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，都是死记硬背计算公式、为了让学生们能更直观地理解公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为a、宽为b的小长方形（如图1），拼成了一个边长为的正方形（如图2）、观察图形，解答下列问题： （1）图2中，阴影部分的面积可表示为：方法一：________，方法二：_______； （2）观察图1、图2，请你写出三个代数式：，，之间的关系； （3）应用：已知，，求值： ①； ②． 六、（本大题共一题，共12分） 23. 【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：与的数量关系为 ， ． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （2）如图2，在四边形中，平分，，，，求的长． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （3）如图3，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末绿色评价 八年级·数学试题卷 考试时长：120 分钟 满分：120 分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形具有稳定性的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可得． 【详解】A.具有稳定性，符合题意； B.不具有稳定性，故不符合题意； C.不具有稳定性，故不符合题意； D.不具有稳定性，故不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 计算，正确的结果等于（ ） A. a B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘的基本法则．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：C 4. 在，，，，中，分式的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子），判断每个表达式是否为分式即可． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴分母含字母，是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母含字母和，是分式． ∴分式有个． 故选B． 5. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出两个图形阴影部分的面积，进而根据两个图形阴影部分面积相等即可得出等式，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，第一个图形阴影部分的面积为，第二个图形阴影部分的面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴等式为， 故选：D． 6. 如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．由“”可证，可得，可证就是的平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 在直角中，其中一个锐角等于，另一个锐角等于_____． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中两个锐角互余． 直角三角形中两个锐角互余，即它们的和等于． 【详解】解：在直角中，其中一个锐角等于，另一个锐角等于． 故答案为：． 8. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分母不等于0，即可求出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0． 9. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是a，c边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴的度数是． 故答案为：． 11. 若多项式是一个完全平方式，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得答案． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式，且， ∴， ∴． 故答案为： 12. 如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是__________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论． 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得的度数，再分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论继续运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ①当，即D点在处时， 此时 ； ②当时，即D点在处时， 此时， ③当时，即D点在处时， 此时， 综上所述的度数是或或． 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行有理数的计算，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，在中，． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和外角的性质． （1）根据三角形的内角和等于可得，由此即可求出的度数； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，由此即可求出的度数． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴． 【小问2详解】 ∵在中，， ∴． 15. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）AB//DE． 【答案】 解：（1）∵BE=CF， ∴BE+EC=EC+CF， 即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． （2）∵△ABC≌△DEF， ∴∠B=∠DEF， ∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）． 【解析】 【详解】（1）用边边边证明两个三角形全等即可； （2）利用全等三角形的性质及平行线的判定即可证明. 略 16. 下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：方程两边同乘 ， 得第一步 去括号，得第二步 移项、合并同类项，得第三步 解得，第四步 则原分式方程的解为第五步 （1）第一步中横线处应填 ，这一步的目的是 ，依据是 ． （2）小明在反思上述解答过程时，发现缺少了一步，请将其补充完整． 【答案】（1），去分母，等式的基本性质 （2） 解：方程两边同乘， 得： 去括号，得： 移项、合并同类项，得： 解得： 经检验：是增根， 所以原分式方程无解． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤． （1）观察已知条件所给的解方程的步骤，根据去分母，等式的基本性质进行解答即可； （2）按照解分式方程的一般步骤解方程，求出方程的解即可，注意要检验是否有增根． 【小问1详解】 解：第一步横线处应填，这一步的目的是去分母，依据是等式的性质； 【小问2详解】 略 17. 如图，在中，，点D是边的中点，交于点E，请仅用无刻度直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，过点C作边上的高线； （2）在图②中，过点E作的平行线． 【答案】（1）如图所示，线段即为所求； （2）如图所示，直线即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）连接，交于，再连接，并延长交于F，利用垂心的性质从而可得答案； （2）如图所示，在（1）的基础上，连接，则即为所求． 【小问1详解】 解：连接，交于，再连接，并延长交于F， ∵，点D是边的中点， ∴， 又∵， ∴点为三角形三条高的交点， ∴， 【小问2详解】 解： ∵，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵分别是的高， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可； 理解阅读材料，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵常数项，一次项系数， ∴； 【小问2详解】 ∵常数项，一次项系数， ∴； 【小问3详解】 ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 19. 先化简：，然后在1，2，3中选一个你认为合适的数代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的加减运算及乘除运算法则进行化简，再由分式有意义的条件求得x的取值范围，再选合适的值代入计算即可． 【详解】解：， ， ∵，， ∴，且， 当时，． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算及乘除运算法则是解题的关键． 20. 如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）当t为何值时，为等边三角形？ （2）当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形的判定，本题的关键是用含的代数式表示出、，熟练掌握等边三角形的判定，当不确定哪个是直角时注意分类讨论的思想方法． （1）用含的代数式表示出、，由于，当时，为等边三角形，列式求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，时，利用直角三角形中，含角的边的关系，列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中， ，， ∴， ∵，点的运动速度为， ∴， ∵点的运动时间为， ∴，， ∴， 当时，为等边三角形， 即， 解得：； ∴当时，为等边三角形； 【小问2详解】 解：若为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，当或时，为直角三角形． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品．请你根据下面的信息（如图），回答下列问题． （1）求每个灯笼和每副春联的进价． （2）若超市准备用不超过2450元的资金再购进这两种春联和灯笼共100个（副），最多能购进灯笼多少个？ 【答案】（1）每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元 （2）最多能购进灯笼30个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用： （1）设每副春联的进价是x元，则每个灯笼的进价是元，根据等量关系列分式方程，解方程即可； （2）设购进灯笼m个，则购进春联副，根据题意列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设每副春联的进价是x元，则每个灯笼的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元． 【小问2详解】 解：设购进灯笼m个，则购进春联副， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为30． 答：最多能购进灯笼30个． 22. 很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，都是死记硬背计算公式、为了让学生们能更直观地理解公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为a、宽为b的小长方形（如图1），拼成了一个边长为的正方形（如图2）、观察图形，解答下列问题： （1）图2中，阴影部分的面积可表示为：方法一：________，方法二：_______； （2）观察图1、图2，请你写出三个代数式：，，之间的关系； （3）应用：已知，，求值： ①； ②． 【答案】（1）； （2） （3）①9；②29 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的应用是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积为边长为的小正方形，或者阴影部分的面积为边长为的大正方形减去四个长为、宽为的小长方形，即可求解； （2）根据（1）中两种不同表示阴影部分的面积可得，即可求解； （3）①利用（2）所得关系式计算即可求解；②根据完全平方公式变形即可求解； 【小问1详解】 解：阴影部分的面积可表示为： 方法一：由图可知，阴影部分的面积为边长为的小正方形， ∴阴影部分的面积为； 方法二：由图可知，阴影部分的面积为边长为的大正方形减去四个长为、宽为的小长方形， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：；． 【小问2详解】 由（1）可知，， 即：； 【小问3详解】 ①∵，， ∴； ②∵，， ∴． 六、（本大题共一题，共12分） 23. 【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：与的数量关系为 ， ． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （2）如图2，在四边形中，平分，，，，求的长． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （3）如图3，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】（1），9； （2）； （3），证明如下： 如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由折叠的性质得，，则，进而得到，则有，再利用线段的和差即可求出的长； （2）在上截取，连接，通过证明，得到，，进而得到，则，再利用线段的和差即可求出的长； （3）在上截取，连接，通过证明，得到，，进而得到，则，再利用线段的和差以及线段间的等量代换即可得出结论． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，， ， ， ， 又， ， ； 故答案为：，9； （2）如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $