第三章图形的平移与旋转 专题复习2025- 2026学年北师大版八年级数学下册

2026年北师大版八下数学《图形的平移与旋转》专题复习 第一大类：图形的平移 1. 如图，将沿方向平移得到．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 2. 某小区准备开发一块长为32m，宽为21m的长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这条小路的面积为（ ）m2 A. 20 B. 21 C. 22 D. 32 3. 如图，浮山公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（ ）． A. 24 B. 48 C. 56 D. 72 4. 如图，在长为37米，宽为26米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草，则种植花草的面积 _____平方米． 5. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着射线方向平移到的位置，，，，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把直角梯形沿AD方向平移得到梯，，，，则阴影部分的面积为（ ）平方厘米 A. 148 B. 168 C. 120 D. 144 9. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为(　　) A. 5 B. 8 C. 10 D. 7 10. 如图，三角形沿边所在直线向上平移3个单位长度得到三角形，四边形的周长为20，则三角形的周长等于______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，B的坐标为，点A在第一象限内，将沿到A的方向平移6个单位至的位置，则点的坐标为_________． 第二大类：图形的旋转 12. 如图，，把△ABC绕点B顺时针旋转一个角度得到，点在边上，若的度数为，则的度数为（　　） A. B. C. D. 13. 如图，在△ABC中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数为__________． 14. 如图，在△ABC中，，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转后得到△A1BC1，则阴影部分面积为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 15. 将直角边长为的等腰直角绕点A逆时针旋转后，得到，则图中阴影部分的面积是（ ）． A. B. C. D. 不能确定 16. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则______． 17. 如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离为 _____． 18. 如图，在中，，，点是边上一点．如果经过旋转后能与重合，那么这一旋转的旋转角的度数可能是（ ） A. B. C. D. 19. 如图，将△ABC绕点顺时针方向旋转90°得到，若点C，D，E在同一条直线上，，则的度数为______． 20. 如图，将绕点顺时针旋转得到△ADE，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 21. 如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转后得到，此时点D在边上，则旋转角的大小为________ 22. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 23. 如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交于点D．若，则（ ） A. B. C. D. 24. 如图，已知中，，，将绕点A顺时针方向旋转到的位置，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 25. 如图，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，与地面的夹角为，，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图），则灰斗柄绕点转动的角度为________． 26. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是__． 27. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是（ ） A. +1 B. 2 C. +2 D. +1 28. 如图，四边形中，，将绕点顺时针旋转一定角度后，点对应点恰好与点重合，得到．若，，则四边形的对角线的长为_________． 29. 如图，在和中，，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 30. 如图，四边形中，，连接，将△ABC绕点逆时针旋转，点C的对应点与D重合得到，若，，则的长度为______． 31. 把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 32. 如图，已知中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，交于点，交、于点、，则以下结论： ①； ②连接、，则； ③当时，的长度最大； ④当点是的中点时，四边形的面积等于. 其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 33. 如图，点为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边相交于点F，交于点M，交于点，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是______．（只填写序号） 34. 如图，在等边△ABC中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②；③△ADE的周长是9；④．其中正确的序号是________． 35. 如图，点是等边△ABC内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，，若，，，则下列结论正确的是（ ） A. 为等边三角形 B. C. D. 36.如图，中，，，，以斜边的中点D为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（　　） A. 6 B. 9 C. D. 37. 如图，等边三角形的边长为6，点O是的三边中垂线的交点也是三内角角平分线的交点，，绕点O旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为9．上述结论中正确的序号是 ____________． 2026年北师大版八下数学《图形的平移与旋转》专题复习解析 1. 如图，将沿方向平移得到．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质、线段的和差等知识点，掌握平移的性质成为解题的关键． 由平移的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2. 某小区准备开发一块长为32m，宽为21m的长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这条小路的面积为（ ）m2 A. 20 B. 21 C. 22 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，可得路的宽度是1m，根据平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 32×21-（32-1）×21 =32×21-31×21 =（32-31）×21 =1×21 =21（m2）． 故这条小路的面积为21m2． 故选：B． 3. 如图，浮山公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（ ）． A. 24 B. 48 C. 56 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了生活中平移现象，利用平移可知，阴影区域可看作是长为米，宽为6米的长方形，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意可得：种植鲜花面积为． 故选：B． 4. 如图，在长为37米，宽为26米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草，则种植花草的面积 _____平方米． 【答案】900 【解析】 【分析】可以根据平移性质，种植花草的面积相当于一条横向长为米与一条纵向长为米的长方形面积，据此求解即可． 【详解】解：由平移的性质可知，种植花草的面积相当于一条横向长为米与一条纵向长为米的长方形面积， ∴种植花草的面积 ． 故答案为：． 5. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着射线方向平移到的位置，，，，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，梯形的面积公式，由平移性质可知，，，，则，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移性质可知，，，， ∴，， ∴， 故选：． 6. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质．正确表示阴影部分的面积是解题的关键． 由平移的性质可知，，，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质、求阴影部分的面积等知识，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．由平移的性质可知，，，进而得出，最后根据面积公式得出答案即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，把直角梯形沿AD方向平移得到梯，，，，则阴影部分的面积为（ ）平方厘米 A. 148 B. 168 C. 120 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得梯形的面积等于梯形的面积，，从而得到阴影部分的面积等于梯形的面积，再求出的长，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】由平移的性质，梯形的面积＝梯形的面积，， ∴阴影部分的面积＝梯形的面积， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 答：阴影部分面积是． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，根据图形判断出阴影部分的面积等于梯形的面积是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为(　　) A. 5 B. 8 C. 10 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】连接IB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，交BC于点E、F，根据平移的性质得到IE∥AB，IF∥AC，利用平行线的性质得到∠FIC=∠ACI，∠ABI=∠EIB，再利用等角对等边可知BE=IE，IF=FC，利用等量代换即可解答. 【详解】 如图，连接IB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，交BC于点E、F， ∵平移 ∴IE∥AB，IF∥AC ∴∠FIC=∠ACI，∠ABI=∠EIB ∴BE=IE，IF=FC 图中阴影部分的周长=IE+IF+EF=BE+FC+EF=BC=7 故选D 【点睛】本题考点涉及平移的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键. 10. 如图，三角形沿边所在直线向上平移3个单位长度得到三角形，四边形的周长为20，则三角形的周长等于______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． 根据平移的基本性质，得出，；然后得四边形的周长，即可得出答案． 【详解】解：∵沿边所在直线向上平移3个单位长度得到三角形， ∴，； 又∵四边形的周长． ∴ ； ∴三角形的周长为14； 故答案为：16． 11. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，B的坐标为，点A在第一象限内，将沿到A的方向平移6个单位至的位置，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化一平移、等腰直角三角形，熟练掌握平移的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 过点作轴于点，可得．由平移得， ，则，可知点的纵坐标为，点的横坐标为，即可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点， ． ，， ． ． 沿到A的方向平移6个单位至的位置， ，． ， ． 点的纵坐标为． ． 点的横坐标为． 故答案为： 第二大类：图形的旋转 12. 如图，，把△ABC绕点B顺时针旋转一个角度得到，点在边上，若的度数为，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于确定角度之间的数量关系． 由旋转性质得，，在中由三角形内角和求得，便可求得结果． 【详解】解：∵， ∴ ∵△ABC绕点B顺时针旋转一个角度得到， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B． 13. 如图，在△ABC中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数为__________． 【答案】或10度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，根据旋转，得到，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在△ABC中，，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转后得到△A1BC1，则阴影部分面积为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得出，，， 过点作于点D，如图， ∴， ∴， ∴． 故选C． 15. 将直角边长为的等腰直角绕点A逆时针旋转后，得到，则图中阴影部分的面积是（ ）． A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】设与交于D点，根据旋转角，等腰直角的一锐角，可求，旋转前后对应边相等，对应角相等，，，解直角，可求阴影部分面积． 【详解】 解：设与交于D点， 根据旋转性质得，而， ， 又，， 设，则， ，即， 解得， ， 阴影部分面积为： 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积． 16. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则______． 【答案】124 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质．先根据旋转性质得到，，再利用三角形的内角和定理得到，结合等边对等角求得，即可． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：124 17. 如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移和旋转，等边三角形的判定和性质，线段的和差运算，掌握图形的平移，旋转的性质，等边三角形的性质是解题的关键． 根据图形的平移可得，根据图形的旋转可得是等边三角形，，由此即可求解． 【详解】解：∵将沿射线的方向平移，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：2． 18. 如图，在中，，，点是边上一点．如果经过旋转后能与重合，那么这一旋转的旋转角的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 先由三角形内角和定理进行计算可得，再由旋转的性质即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵旋转后能与重合，， ∴点C与点E是对应点，点A与点D是对应点，旋转角为 ∴这一旋转的旋转中心是点B，旋转角是． 故选A． 19. 如图，将△ABC绕点顺时针方向旋转90°得到，若点C，D，E在同一条直线上，，则的度数为______． 【答案】或109度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键在于利用旋转的性质等量转化角或线段．根据旋转的性质可以推出的度数以及为等腰直角三角形，从而求出度数，根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：将△ABC绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ． 故答案为：． 20. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 21. 如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转后得到，此时点D在边上，则旋转角的大小为________ 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据三角形内角和得到，由旋转的性质得，从而得，即可得到结论． 【详解】解：在中，∵，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴； 即旋转角， 故答案是52． 22. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且 ∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E， ∴∠B=∠BDC， ∴， ∴， ∴， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 23. 如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交于点D．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角． 根据旋转的性质，可得知，，求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】∵三角形△ABC绕着点C顺时针旋转，得到 ∴， ∵ ∴， ∴； 故选C． 24. 如图，已知中，，，将绕点A顺时针方向旋转到的位置，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质，由，可求出，由旋转得从而可求出 【详解】解：∵在中，，， ∴, 又将绕点A顺时针方向旋转到的位置， ∴, ∴， 故选：A 25. 如图，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，与地面的夹角为，，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图），则灰斗柄绕点转动的角度为________． 【答案】 【解析】 【分析】连结AC并且延长至E，根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解． 【详解】如图：连结AC并且延长至E， ∠DCE=180°-∠DCB-∠ACB=105°． 故灰斗柄AB绕点C转动的角度为105°． 故答案为105°． 【点睛】考查了生活中的旋转现象，本题关键是由角的和差关系得到∠DCE的度数． 26. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是__． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：①绕点逆时针旋转得到， ，故①正确； ②绕点逆时针旋转， ． ， ． ， ． ，故②正确； ③在中， ，， ． ． 与不垂直．故③不正确； ④在中， ，， ． ，故④正确． ①②④这三个结论正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了旋转性质的应用，掌握图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小是解决问题的关键． 27. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是（ ） A. +1 B. 2 C. +2 D. +1 【答案】A 【解析】 【分析】连接AM，BM交AC于D，如图，利用等腰直角三角形的性质得到ACAB＝2，再根据旋转的性质得CM＝CA＝2，∠ACM＝60°，则可判断△ACM为等边三角形，直接证BM垂直平分AC，然后利用等腰直角三角形和等边三角形的性质计算出BD和MD，从而得到BM的长． 【详解】解：连接AM，BM交AC于D，如图， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴ACAB2， ∵△ABC绕点C逆时针转60°，得到△MNC， ∴CM＝CA＝2，∠ACM＝60°， ∴△ACM为等边三角形， ∴MA＝MC， 而BA＝BC， ∴BM垂直平分AC， ∴BDAC＝1，MDAC2， ∴BM＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质． 28. 如图，四边形中，，将绕点顺时针旋转一定角度后，点对应点恰好与点重合，得到．若，，则四边形的对角线的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据旋转的定义和已知条件确定旋转角为，然后由勾股定理可求的长，再由勾股定理可求的长即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， 又， ， ， 连接，如图所示： 由旋转图形的性质可知，，旋转角， ， 在Rt△DCE中，，， ， 在中，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及旋转的性质、直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，证明是本题的关键． 29. 如图，在和中，，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，即可判断结论②；再根据全等三角形的性质，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而得出，再根据等量代换，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，即可判断结论①；再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据，得出，即可判断结论③；根据勾股定理，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，然后把代入，得出，即可判断结论④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵在和中， ， ， ∴．故结论②正确； ， ， ∵△ABC为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，故结论①正确． ∵△ABC为等腰直角三角形， ， ， ， ∴，故结论③错误． ∵，即， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵△ABC为等腰直角三角形， ， ， ， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵△ADE为等腰直角三角形， ∴， ， ∴，故结论④正确． 综上所述，正确结论为①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 30. 如图，四边形中，，连接，将△ABC绕点逆时针旋转，点C的对应点与D重合得到，若，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转的性质和等边三角形的性质可证，利用勾股定理求出即可解决问题．解题的关键是证明． 【详解】解：∵将△ABC绕点逆时针旋转得到，，， ∴， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 故答案为：． 31. 把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°， 若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°． ∴∠AOC=180°－∠ACO－∠CAO=90°． 在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=． 同理可求得：AO=OC=3． Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1－OC=4， 由勾股定理得：AD1=5．故选B． 32. 如图，已知中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，交于点，交、于点、，则以下结论： ①； ②连接、，则； ③当时，的长度最大； ④当点是的中点时，四边形的面积等于. 其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据ASA可证，可判断①正确；求出AF＝AH，∠DFG＝∠CHG，DF＝CH，证明，可得FG＝HG，则AG垂直平分FH，可判断②正确；当AF最小时，DF最长，故可得AD⊥BC时，DF的长度最大，可判断③正确；首先可得当点H是DE的中点时，有AH⊥DE，然后证明，根据进行计算，可判断④正确． 【详解】解：①∵， ∴∠B＝∠C， 由旋转得，∠BAF＝∠HAE，∠B＝∠C＝∠E， ∴（ASA），故①正确； ②连接、， ∵， ∴∠AFB＝∠AHE，AF＝AH， ∵∠AFB＝∠DFG，∠AHE＝∠CHG， ∴∠DFG＝∠CHG， ∵AD＝AB＝AC， ∴DF＝CH， 又∵∠DGF＝∠CGH， ∴（AAS）， ∴FG＝GH， ∴AG垂直平分FH，故②正确； ③∵DF＝AD－AF，AD是定长， ∴AF最小时，DF最长， ∴AD⊥BC时，DF的长度最大，故③正确； ④∵AD＝AE， ∴当点H是DE中点时，有AH⊥DE， ∵AF＝AH，FG＝GH，AG＝AG， ∴（SSS）， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定等知识，利用全等进行转化是解题的关键． 33. 如图，点为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边相交于点F，交于点M，交于点，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是______．（只填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． ①根据等边三角形性质得 ，进而得 ，则，由此可依据“”判定和全等， 然后根据全等三角形的性质即可对结论①进行判断；②根据全等三角形的性质得，再根据三角形内角和定理及，即可得出， 由此可对结论②进行判断；③证明和全等得， 再根据得是等边三角形， 由此可对结论③进行判断；④假设， 根据得是等边三角形，则，再根据得出假设是错误的，由此即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和都是等边三角形， ∴， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确； ②∵， ∴， 在中， ， 在中，， 又∵， ∴，，故结论②正确； ③在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故结论③正确； ④假设， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， 这与相矛盾， ∴假设是错误的， ∴，故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③， 故答案为： ①②③． 34. 如图，在等边△ABC中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②；③△ADE的周长是9；④．其中正确的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC＞60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，所以△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD． 【详解】解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴BD=BE，∠DBE=60°， ∴△BDE是等边三角形，所以①正确； ∵△ABC等边三角形， ∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°， ∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°， ∴∠BAE=∠ABC， ∴AE∥BC，所以②正确； ∴∠BDE=60°， ∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°， ∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误； ∵△BDE是等边三角形， ∴DE=BD=4， 而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴AE=CD， ∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，熟记旋转和等边三角形的各种性质是解题的关键． 35. 如图，点是等边△ABC内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，，若，，，则下列结论正确的是（ ） A. 为等边三角形 B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理的逆定理得到，求得，根据三角形的面积公式得到． 【详解】解：将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段， ，， 是等边三角形，故A符合题意； ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ，故C符合题意； ， ， ， ，故B符合题意； ，故D符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 36.如图，中，，，，以斜边的中点D为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（　　） A. 6 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形，旋转的性质等知识．先根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，再利用旋转的性质，结合锐角三角函数，分别求出，，，最后根据，即可求出阴影面积．灵活运用直角三角形的相关性质求出所需线段是解题关键． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 点D为的中点， ， 绕点D逆时针方向旋转得到， ，，，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故选：B． 37. 如图，等边三角形的边长为6，点O是的三边中垂线的交点也是三内角角平分线的交点，，绕点O旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为9．上述结论中正确的序号是 ____________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；由全等三角形可得，则可对②进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；由，可知：当最小时，周长最小，此时，由勾股定理得：，求出即可求得四边形周长的最小值为9，可对④进行判断． 【详解】解：连接、，过点作，如图， 为等边三角形， ， 点是的中心， ，、分别平分和， ，即， 而，即， ，且，， ， ，，所以①正确； ， 四边形面积，所以③正确； 在绕点旋转的过程中，也在变化， 不成立，所以②错误； 在绕点旋转的过程中，始终有 ， ，， ， ∴当最小时，最小，周长最小，此时， ， ，即， 由勾股定理得：， ，∴ 周长的最小值， 故④正确，∴正确有①③④ 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理等，解题关键是熟练掌握全等三角形判定和性质及旋转性质等相关知识． 学科网（北京）股份有限公司 $