第三单元长方体和正方体 寒假预习衔接讲义（讲义）-2025-2026学年五年级数学下册人教版

【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版五年级数学下册 第三单元长方体和正方体 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：认识长方体和正方体的特征及它们的展开图。 1.长方体是由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。长方体有8个顶点,12条棱。 2.相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 3.长方体12条棱的长度和叫做长方体的棱长总和。 长方体的棱长总和=4条长+4条宽+4条高=(长+宽+高)×4。 用字母表示:C=(a+b+h)×4。 4.正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形,正方体有8个顶点,12条棱,12条棱的长度都相等。 5.正方体是长、宽、高都相等的长方体,正方体是特殊的长方体。 6.正方体的棱长总和=棱长×12。用字母表示:C=12a。 7.认识长方体和正方体的展开图。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1.长方体或正方体6个面的总面积,叫做它的表面积。 2.长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。 用字母表示:S=(ab+ah+bh)×2。 3.正方体的表面积=棱长×棱长×6。 用字母表示:S=6a2。 4.如果把一个长方体沿一个面截成n块,就增加了2(n-1)个截面,每个截面的4条棱就是增加的棱,总共增加了8(n-1)条棱。 知识点03：了解体积的意义及计量单位,会进行单位之间的换算。 1.物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,可以分别写成cm3、dm3、m3。 3.棱长是1 cm的正方体,体积是1 c; 棱长是1 dm的正方体,体积是1 dm3; 棱长是1 m的正方体,体积是1 m3。 知识点04：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高。 用字母表示:V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长。 用字母表示:V=a3。 3.长方体和正方体体积的统一公式: 长方体和正方体的体积=底面积×高。 用字母表示:V=Sh。 4.体积单位间的进率: 1立方分米=1000立方厘米　　　1立方米=1000立方分米 相邻的两个体积单位间的进率是1000。 5.体积单位的换算与以前学过的长度、面积单位的换算方法基本相同,只是相邻的两个体积单位间的进率是1000。 6.已知长方体的体积、长、宽、高四个量中的任意三个量,都能求出另一个未知量。 a=V÷b÷h　　b=V÷a÷h　　h=V÷a÷b 知识点05：认识容积的意义及计量单位,会进行容积单位和体积单位的互化。 1.容器所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。 2.计量容积,一般用体积单位。计量液体的体积,如水、油等,常用容积单位升和毫升,也可以写作L或mL。 3.容积单位的换算:1升=1000毫升 容积单位和体积单位的关系:1升=1立方分米 　　　　　　　　　　　　　 1毫升=1立方厘米 4.长方体或正方体容器容积的计算方法跟体积的计算方法相同,但要从容器里面量长、宽、高。 知识点06：测量不规则物体的体积。 测量不规则物体的体积,通常采用排水法: 1.利用有刻度的量筒或量杯,记录下放入不规则物体前后的刻度,上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。 2.容器内装满水,把不规则物体放进容器里(完全浸没),溢出的水的体积就是不规则物体的体积。 七、把棱长为1厘米的小正方体拼成棱长为n厘米的大正方体后涂色,涂色面的规律是: 1.三面涂色的小正方体的个数=正方体的顶点个数=8; 2.两面涂色的小正方体的个数=正方体的棱长总数乘棱长减2的差=12×(n-2); 3.一面涂色的小正方体的个数=正方体的面数乘棱长减2的差的平方=6×(n-2)2。 考点1：长方体和正方体的认识 【典型例题】 下面图形不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】 一个长方体中，最多有（    ）条棱的长度相等。 A．12 B．8 C．6 D．4 【变式训练2】 一个正方体纸盒每个面的周长是20cm，它的棱长总和是（    ）cm。 A．120 B．90 C．80 D．60 考点2：长方体的表面积 【典型例题】 由210个棱长为1厘米的小正方体组成一个长方体，其表面积最小是（    ）平方厘米。 A．210 B．214 C．242 D．254 【变式训练1】 做一节长120cm、宽和高都是10cm的长方体通风管，至少需要铁皮（    ）。 A．5000 B．4900 C．4800 D．2600 【变式训练2】 一张长方形纸长40厘米、宽8厘米，把它对折、再对折，打开后，围成一个高8厘米的长方体的侧面，如果要为这个长方体配一个底面，则底面的面积是（    ）。 A．320平方厘米 B．100平方厘米 C．80平方厘米 D．64平方厘米 考点3：正方体的表面积 【典型例题】 华华爸爸想用长1.2米的铁丝围成一个正方体框架（铁丝无剩余），并用彩纸将其包装成一个正方体，至少需要（    ）平方厘米的彩纸。 A．0.06 B．6 C．600 D．6000 【变式训练1】 如图，一个棱长是4厘米的正方体，从它的顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体后，剩下物体的表面积和原来的表面积相比，（    ）。 A．大了 B．小了 C．不变 D.无法确定 【变式训练2】 把两个棱长为的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了（    ）。 A．6 B．9 C．12 D．18 考点4：长方体和正方体的体积 【典型例题】 在一个长8分米、宽6分米、高9分米的长方体盒子中放入棱长2分米的小正方体木块，最多能放（    ）个。 A．54 B．72 C．48 D．60 【变式训练1】 一个长为20分米的方木的横截面是边长为m分米的正方形，将它锯掉8分米后，方木的体积比原来减少（    ）。 A．8m立方分米B．12m立方分米 C．8m2立方分米 D．12m2立方分米 【变式训练2】 1根长方体木料，它的横截面的面积是36立方分米，长是4米。5根这样的木料的体积是多少立方米？列式正确的是（    ）。 A．36×4×5 B．（36÷10）×4×5 C．（36÷100）×4×5 D．（36÷1000）×4×5 考点5：容积的认识 【典型例题】 一种小瓶可以装药水5毫升，现有药水0.1升，可以装满（    ）小瓶。 A．2 B．5 C．20 D．200 【变式训练1】 一桶5升的酱油，相当于（    ）瓶250毫升的酱油。 A．10 B．15 C．20 D．25 【变式训练2】 一个长方体的油箱，从里面量得长70厘米、宽30厘米、高20厘米，这个油箱可以装（    ）升油。 A．42 B．420 C．42000 D．4.2 一、选择题 1．亮亮经过测量，发现学校某个水龙头每分钟大约漏了0.5升水。这个水龙头一天大约浪费（    ）升水。 A．720 B．30 C．12 2．一辆运送卡车的容量是15（    ），其中有一辆卡车运送了果汁，一大瓶橙汁的净含量是1（    ）。 A．升，毫升 B．立方米，升 C．吨，千克 3．如图，在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体，这个玻璃容器的容积是（    ）立方厘米。 A．24 B．48 C．60 4．王叔叔的长方体油箱的底面积是15dm2，高是40cm，这个油箱的体积是（    ）。 A．600cm3 B．60 dm3 C．600 dm3 5．一个高为5cm的长方体，其底面是一个边长为3cm的正方形，它的体积是（    ）cm3。 A．15 B．45 C．75 二、填空题 6．在括号里填上适当的计量单位。 一间教室的占地面积是48( )    一个火柴盒的体积约8( ) 一种保温瓶的容积是1.2( )    长江全长约6300( ) 7．一块方钢长3米，横截面是边长8厘米的正方形，这块方钢的体积是( )立方厘米。 8．下边立体图形中的每个小正方体的棱长都是1cm，它的表面积是( )，从左面看到的图形的面积是( )。 9．劳动课上小华想用铁丝做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架，他至少需要( )厘米的铁丝。 10．用两个棱长4厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体所占空间是( )立方厘米，如果在这个长方体的表面贴一层彩纸，至少需要( )平方厘米的彩纸。 11．一个长方体共顶点的三条棱长分别是5分米、4分米和3分米，这个长方体的最小占地面积是( )平方分米，最大占地面积是( )平方分米。 12．一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，小玻璃球的体积是( )立方厘米。 13．一个长方体纸箱，长是6分米，宽是4分米，高是4分米，这个纸箱的容积是( )升，做这样一个纸箱至少需要纸板( )平方分米。 14．A，B两个长方体容器中装有水的高度相同，把同一个西红柿分别完全浸入A，B两个容器中（水都未溢出），A容器的水面比B容器的水面低，说明( )容器的底面积大。 15．将8个棱长2分米的小正方体拼成一个大正方体后，表面积比原来8个小正方体的表面积之和减少了( )平方分米，拼成正方体的体积是( )立方分米。 16．用3个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积( )，体积( )。（填“增加了”“减少了”或“不变”）。 17．一根长方体木料长12dm，沿横截面锯成三段小长方体，表面积增加了。原来这根木料的体积是( )。 三、判断题 18．把一个没有开口的长方体纸盒剪开，平铺在桌面上，需要剪开7条边。( ) 19．一个棱长3分米的正方体，切成完全一样的两个长方体，表面积增加9平方分米。( ) 20．棱长6分米的正方体，体积和表面积相等。( ) 21．甲容器可以盛水3000毫升，乙容器可以盛水3升，甲容器的容量大。( ) 22．把一个长方体切成两个小长方体，体积不变，表面积变小。( ) 四、计算题 23．计算下面图形的表面积。 五、解答题 24．一个长方体木块，若把高减少5厘米就成了一个正方体，体积也减少了80立方厘米，这个长方体木块原来的体积是多少立方厘米？ 25．李师傅用玻璃做一个无盖的长方体鱼缸，长8分米，宽6分米，高5分米。做这个鱼缸需要多少平方分米玻璃？ 26．一间长方体教室长8米，宽6米，高4.5米，要对教室的顶面和四壁进行粉刷（门窗和黑板26平方米除外），粉刷的面积是多少平方米？ 27．小亮要用一个底面是边长7厘米的正方形、高为15厘米的长方体容器，容器中装的水距容器口还有1厘米。现在要测量一个球形铁块的体积，当铁块放入容器中，就有部分水溢出，而当把铁块取出后，则水面下降4厘米，求铁块的体积。 28．用棱长是1cm的小正方体按如下图所示的方式摆放。 （1）第8个图形的表面积是多少？ （2）第n个图形的表面积是多少？ 29．做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽40厘米，高50厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃？ （2）鱼缸内装有30厘米深的水，现在放入一个珊瑚后，水深35厘米，这个珊瑚的体积是多少立方厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版五年级数学下册 第三单元长方体和正方体 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：认识长方体和正方体的特征及它们的展开图。 1.长方体是由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。长方体有8个顶点,12条棱。 2.相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 3.长方体12条棱的长度和叫做长方体的棱长总和。 长方体的棱长总和=4条长+4条宽+4条高=(长+宽+高)×4。 用字母表示:C=(a+b+h)×4。 4.正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形,正方体有8个顶点,12条棱,12条棱的长度都相等。 5.正方体是长、宽、高都相等的长方体,正方体是特殊的长方体。 6.正方体的棱长总和=棱长×12。用字母表示:C=12a。 7.认识长方体和正方体的展开图。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1.长方体或正方体6个面的总面积,叫做它的表面积。 2.长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。 用字母表示:S=(ab+ah+bh)×2。 3.正方体的表面积=棱长×棱长×6。 用字母表示:S=6a2。 4.如果把一个长方体沿一个面截成n块,就增加了2(n-1)个截面,每个截面的4条棱就是增加的棱,总共增加了8(n-1)条棱。 知识点03：了解体积的意义及计量单位,会进行单位之间的换算。 1.物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,可以分别写成cm3、dm3、m3。 3.棱长是1 cm的正方体,体积是1 c; 棱长是1 dm的正方体,体积是1 dm3; 棱长是1 m的正方体,体积是1 m3。 知识点04：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高。 用字母表示:V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长。 用字母表示:V=a3。 3.长方体和正方体体积的统一公式: 长方体和正方体的体积=底面积×高。 用字母表示:V=Sh。 4.体积单位间的进率: 1立方分米=1000立方厘米　　　1立方米=1000立方分米 相邻的两个体积单位间的进率是1000。 5.体积单位的换算与以前学过的长度、面积单位的换算方法基本相同,只是相邻的两个体积单位间的进率是1000。 6.已知长方体的体积、长、宽、高四个量中的任意三个量,都能求出另一个未知量。 a=V÷b÷h　　b=V÷a÷h　　h=V÷a÷b 知识点05：认识容积的意义及计量单位,会进行容积单位和体积单位的互化。 1.容器所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。 2.计量容积,一般用体积单位。计量液体的体积,如水、油等,常用容积单位升和毫升,也可以写作L或mL。 3.容积单位的换算:1升=1000毫升 容积单位和体积单位的关系:1升=1立方分米 　　　　　　　　　　　　　 1毫升=1立方厘米 4.长方体或正方体容器容积的计算方法跟体积的计算方法相同,但要从容器里面量长、宽、高。 知识点06：测量不规则物体的体积。 测量不规则物体的体积,通常采用排水法: 1.利用有刻度的量筒或量杯,记录下放入不规则物体前后的刻度,上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。 2.容器内装满水,把不规则物体放进容器里(完全浸没),溢出的水的体积就是不规则物体的体积。 七、把棱长为1厘米的小正方体拼成棱长为n厘米的大正方体后涂色,涂色面的规律是: 1.三面涂色的小正方体的个数=正方体的顶点个数=8; 2.两面涂色的小正方体的个数=正方体的棱长总数乘棱长减2的差=12×(n-2); 3.一面涂色的小正方体的个数=正方体的面数乘棱长减2的差的平方=6×(n-2)2。 考点1：长方体和正方体的认识 【典型例题】 下面图形不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有四种类型：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。据此解答。 【详解】 A．属于“1－4－1”结构，可以折成正方体； B．属于“1－4－1”结构，可以折成正方体； C．不能折成正方体，不属于正方体展开图的类型； D．属于“1－3－2”结构，可以折成正方体。 故答案为：C 【变式训练1】 一个长方体中，最多有（    ）条棱的长度相等。 A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】解答这道题需明确：长方体共有12条棱，分为长、宽、高共3组，每组各4条。要确定最多有多少条棱长度相等，需结合长方体的特殊形态（含正方形面的情况）分析。 （1）普通长方体：长、宽、高都不相等，此时只有“长、宽、高各自的4条棱”分别相等，最多4条棱长度相等。 （2）特殊长方体：当长方体有两个相对的面是正方形时，正方形的边长既是长（或宽），也是高，此时：正方形的4条边对应的棱，加上与之平行的另外4条棱，共8条棱长度相等。 （3）若12条棱都相等，此时长方体就变成了正方体，而正方体是特殊的长方体。 【详解】根据分析： 长方体中最多有12条棱长度相等。 故答案为：A 【变式训练2】 一个正方体纸盒每个面的周长是20cm，它的棱长总和是（    ）cm。 A．120 B．90 C．80 D．60 【答案】D 【分析】根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，每个面都是正方形．由正方形的周长公式：，已知每个面周长求出正方体的棱长，再根据正方体的棱长总和公式进行解答。 【详解】棱长是： 棱长总和是：（厘米） 它的棱长总和是60厘米。 故答案为：D 考点2：长方体的表面积 【典型例题】 由210个棱长为1厘米的小正方体组成一个长方体，其表面积最小是（    ）平方厘米。 A．210 B．214 C．242 D．254 【答案】B 【分析】为了使得长方体的表面积最小，应使长方体的长、宽、高尽可能接近。所以可以将210分解质因数，然后再由此写成三个最接近的数相乘。再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入计算即可。 【详解】210＝2×3×5×7＝5×6×7 所以当长、宽、高分别是7厘米、6厘米和5厘米时，表面积最小。 （7×6＋7×5＋6×5）×2 ＝（42＋35＋30）×2 ＝107×2 ＝214（平方厘米） 所以，其表面积最小是214平方厘米。 故答案为：B 【变式训练1】 做一节长120cm、宽和高都是10cm的长方体通风管，至少需要铁皮（    ）。 A．5000 B．4900 C．4800 D．2600 【答案】C 【分析】首先搞清这道题是求长方体的表面积，其次这个长方体的表面由四个长方形组成，缺少左右两个面；只求它的前后、上下4个面的面积之和；又因这4个面的面积相等，利用长×宽×4，即可求出一节通风管需要的铁皮的面积，列式解答即可。 【详解】通风管需要铁皮：（平方厘米） 故答案选：C 【变式训练2】 一张长方形纸长40厘米、宽8厘米，把它对折、再对折，打开后，围成一个高8厘米的长方体的侧面，如果要为这个长方体配一个底面，则底面的面积是（    ）。 A．320平方厘米 B．100平方厘米 C．80平方厘米 D．64平方厘米 【答案】B 【分析】 如图所示，把长方形纸对折、再对折，打开后长被平均分成4份，每份是40÷4＝10厘米，则该长方体的底面是以10厘米为边长的正方形，高是8厘米，根据“正方形的面积＝边长×边长”求出这个长方体的底面积，据此解答。 【详解】40÷4＝10（厘米） 10×10＝100（平方厘米） 所以底面的面积是100平方厘米。 故答案为：B 考点3：正方体的表面积 【典型例题】 华华爸爸想用长1.2米的铁丝围成一个正方体框架（铁丝无剩余），并用彩纸将其包装成一个正方体，至少需要（    ）平方厘米的彩纸。 A．0.06 B．6 C．600 D．6000 【答案】C 【分析】由题意可知，正方体框架的棱长之和是1.2米，1米＝100厘米，先把“米”转化为“厘米”，再利用“正方体的棱长＝棱长之和÷12”求出正方体的棱长，最后利用“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出需要彩纸的面积，据此解答。 【详解】1.2米＝120厘米 120÷12＝10（厘米） 10×10×6 ＝100×6 ＝600（平方厘米） 所以，至少需要600平方厘米的彩纸。 故答案为：C 【变式训练1】 如图，一个棱长是4厘米的正方体，从它的顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体后，剩下物体的表面积和原来的表面积相比，（    ）。 A．大了 B．小了 C．不变 D.无法确定 【答案】C 【分析】从正方形顶点处挖去一个小正方体，表面积减少了3个小正方形的面积，但是又出现了同样的3个小正方形的面积，因此表面积是不变的，据此解题即可。 【详解】原来的表面积为：（平方厘米） 从顶点挖去一个小正方体之后，剩下物体的表面积为： （平方厘米） 所以剩下物体的表面积和原来的表面积相比，面积不变。 故答案为：C 【变式训练2】 把两个棱长为的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了（    ）。 A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】由题意可知，表面积减少的是正方体的两个面，根据，代入数据求出正方形的面积再乘2即可得解。 【详解】 （cm2） 把两个棱长为的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了18。 故答案为：D 考点4：长方体和正方体的体积 【典型例题】 在一个长8分米、宽6分米、高9分米的长方体盒子中放入棱长2分米的小正方体木块，最多能放（    ）个。 A．54 B．72 C．48 D．60 【答案】C 【分析】先分别计算长方体长、宽、高方向能容纳的小正方体数量，即用长方体的长、宽、高分别除以小正方体的棱长，再将三个方向的数量相乘，即可得到长方体内最多能放的小正方体的数量。 【详解】8÷2＝4（个） 6÷2＝3（个） 9÷2＝4（个）……1（分米） 由于小正方体不能分割，剩余的1分米不足以再放一个小正方体，因此只能放4个。 4×3×4 ＝12×4 ＝48（个） 因此，最多能放48个小正方体。 故答案为：C 【变式训练1】 一个长为20分米的方木的横截面是边长为m分米的正方形，将它锯掉8分米后，方木的体积比原来减少（    ）。 A．8m立方分米B．12m立方分米 C．8m2立方分米 D．12m2立方分米 【答案】C 【分析】长方体的体积＝底面积×高，正方形的面积＝边长×边长。方木的横截面是边长为m分米的正方形，那么它的底面积是m×m＝m2（平方分米），锯掉8分米，那么锯掉的体积就等于底面积乘8。据此解答。 【详解】m×m＝m2（平方分米） m2×8＝8 m2（立方分米） 所以方木的体积比原来减少8 m2立方分米。 故答案为：C 【变式训练2】 1根长方体木料，它的横截面的面积是36立方分米，长是4米。5根这样的木料的体积是多少立方米？列式正确的是（    ）。 A．36×4×5 B．（36÷10）×4×5 C．（36÷100）×4×5 D．（36÷1000）×4×5 【答案】C 【分析】先将横截面面积的单位从平方分米换算为平方米，即（立方米），再根据长方体体积公式计算一根木料的体积，即（立方米），最后乘5，可得到5根木料的总体积，即（立方米），据此解答。 【详解】（立方米） 1根长方体木料体积：（立方米） 5根木料的总体积：（立方米） 5根这样的木料的体积是多少立方米，列式为。 故答案为：C 考点5：容积的认识 【典型例题】 一种小瓶可以装药水5毫升，现有药水0.1升，可以装满（    ）小瓶。 A．2 B．5 C．20 D．200 【答案】C 【分析】根据1升＝1000毫升，将0.1升转化为0.1×1000＝100毫升，求100毫升可以装满几个5毫升的瓶子，用100除以5计算即可。 【详解】0.1升＝100毫升 100÷5＝20（瓶） 所以一种小瓶可以装药水5毫升，现有药水0.1升，可以装满20小瓶。 故答案为：C 【变式训练1】 一桶5升的酱油，相当于（    ）瓶250毫升的酱油。 A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】1升＝1000毫升，通过此换算将题目中的不同单位统一：5升＝5000毫升。再推算出5000毫升里有多少个250毫升即可。 【详解】5升＝5000毫升，5000毫升里有5个1000毫升，1000毫升里有2个500毫升，500毫升里有2个250毫升，因此，5升的酱油，相当于5×2×2＝20（瓶）250毫升的酱油。 故答案为：C 【变式训练2】 一个长方体的油箱，从里面量得长70厘米、宽30厘米、高20厘米，这个油箱可以装（    ）升油。 A．42 B．420 C．42000 D．4.2 【答案】A 【分析】根据长方体容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算，然后再根据1升＝1000立方厘米转化单位即可。 【详解】70×30×20 ＝2100×20 ＝42000（立方厘米） ＝42（升） 则这个油箱可以装42升油。 故答案为：A 一、选择题 1．亮亮经过测量，发现学校某个水龙头每分钟大约漏了0.5升水。这个水龙头一天大约浪费（    ）升水。 A．720 B．30 C．12 【答案】A 【分析】由题意可知，一天是24小时，1小时是60分钟，则一天是（24×60）分钟，这个水龙头一天浪费水的体积＝一天的分钟数×这个水龙头每分钟浪费水的体积，据此解答。 【详解】一天＝24小时 1小时＝60分钟 24×60＝1440（分钟） 1440×0.5＝720（升） 所以，这个水龙头一天大约浪费720升水。 故答案为：A 2．一辆运送卡车的容量是15（    ），其中有一辆卡车运送了果汁，一大瓶橙汁的净含量是1（    ）。 A．升，毫升 B．立方米，升 C．吨，千克 【答案】B 【分析】一台小冰柜的体积大约是1立方米，所以计量卡车的容量用“立方米”作单位比较合适； 20滴水大约是1毫升，500毫升的两瓶矿泉水是1升，所以计量一大瓶橙汁的净含量用“升”作单位比较合适。 【详解】一辆运送卡车的容量是15（立方米），其中有一辆卡车运送了果汁，一大瓶橙汁的净含量是1（升）。 故答案为：B 3．如图，在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体，这个玻璃容器的容积是（    ）立方厘米。 A．24 B．48 C．60 【答案】C 【分析】观察图形可知，沿长方体的长能摆3个小正方体，沿长方体的宽能摆4个小正方体，沿长方体的高能摆5个小正方体；因为小正方体的体积为1立方厘米，所以小正方体的棱长为1厘米，所以可确定长方体的长为3厘米，宽为4厘米，高为5厘米；再根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算即可。 【详解】因为1×1×1＝1，所以体积为1立方厘米的小正方体，棱长为1厘米。 1×3＝3（厘米） 1×4＝4（厘米） 1×5＝5（厘米） 3×4×5 ＝12×5 ＝60（立方厘米） 所以这个玻璃容器的容积是60立方厘米。 故答案为：C 4．王叔叔的长方体油箱的底面积是15dm2，高是40cm，这个油箱的体积是（    ）。 A．600cm3 B．60 dm3 C．600 dm3 【答案】B 【分析】已知长方体的底面积和长方体的高，根据长方体的体积公式，即可求出长方体的体积，据此解答。 【详解】40cm＝4dm （dm3） 这个油箱的体积是60dm3。 故答案为：B 5．一个高为5cm的长方体，其底面是一个边长为3cm的正方形，它的体积是（    ）cm3。 A．15 B．45 C．75 【答案】B 【分析】已知长方体的底面是一个边长为3cm的正方形，根据正方形的面积公式，求出长方体的底面积；再根据长方体的体积公式，即可求出长方体的体积，据此解答。 【详解】长方体的底面积：（cm2） 长方体的体积：（cm3） 故答案为：B 二、填空题 6．在括号里填上适当的计量单位。 一间教室的占地面积是48( )    一个火柴盒的体积约8( ) 一种保温瓶的容积是1.2( )    长江全长约6300( ) 【答案】 L km 【分析】生活实际和对长度、面积、容积单位的认识，选择合适的单位名称填空。据此解答。 【详解】根据分析得： 一间教室的占地面积是48m          一个火柴盒的体积约8cm 一种保温瓶的容积是1.2L                     长江全长约6300km 7．一块方钢长3米，横截面是边长8厘米的正方形，这块方钢的体积是( )立方厘米。 【答案】19200 【分析】由题意可知，该长方体长为3米，宽和高分别为8厘米。由高级单位米转化成低级单位厘米，乘进率100，将长方体的长3米转化成厘米后，根据，代入数据求值即可。 【详解】3米＝300厘米 （平方厘米） （立方厘米） 所以这块方钢的体积是19200立方厘米。 8．下边立体图形中的每个小正方体的棱长都是1cm，它的表面积是( )，从左面看到的图形的面积是( )。 【答案】18；3 【分析】从正面、上面、右面数出看到的正方形个数，再乘2，可得表面正方形个数，据此算出表面积。 【详解】正面正方形个数：3个、上面正方形个数：3个，右面正方形个数＝左面正方形个数：3个。 一个正方形面积：（平方厘米） 表面正方形个数：（个） 表面积：（平方厘米） 左面面积：（平方厘米） 下边立体图形中的每个小正方体的棱长都是1cm，它的表面积是18，从左面看到的图形的面积是3。 【点睛】用数表面正方形个数的方法解决表面积问题。 9．劳动课上小华想用铁丝做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架，他至少需要( )厘米的铁丝。 【答案】48 【分析】解答这道题需明确用铁丝做一个长方体框架，求需要多长的铁丝是求这个长方体的棱长总和。题目已知这个长方体框架的底面周长是18厘米，高3厘米。长方体的底面周长也就是长方形的周长，即（长＋宽）×2＝18厘米，可以用18÷2＝9厘米求出一条长和一条宽的和，最后用长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出至少需要多长的铁丝。 【详解】根据分析： 18÷2＝9（厘米） （厘米） 所以，他至少需要48厘米的铁丝。 10．用两个棱长4厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体所占空间是( )立方厘米，如果在这个长方体的表面贴一层彩纸，至少需要( )平方厘米的彩纸。 【答案】 128 160 【分析】根据题意，先计算长方体所占空间的大小（即体积），两个正方体拼成长方体后体积不变，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝两个正方体体积之和，再计算长方体的表面积，两个正方体拼成长方体后会减少2个贴合面的面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，长方体表面积＝两个正方体表面积之和－2×单个贴合面面积，据此解答。 【详解】体积： 4×4×4×2 ＝16×4×2 ＝64×2 ＝128（立方厘米） 表面积： 4×4×6×2－4×4×2 ＝16×6×2－16×2 ＝96×2－32 ＝192－32 ＝160（平方厘米） 综上所述可得，这个长方体所占空间是128立方厘米，如果在这个长方体的表面贴一层彩纸，至少需要160平方厘米的彩纸。 11．一个长方体共顶点的三条棱长分别是5分米、4分米和3分米，这个长方体的最小占地面积是( )平方分米，最大占地面积是( )平方分米。 【答案】 12 20 【分析】以4分米和3分米为长和宽的一个面，是这个长方体的最小占地面积；以5分米和4分米为长和宽的一个面，是这个长方体的最大占地面积。根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，据此列式解答。 【详解】4×3＝12（平方分米） 5×4＝20（平方分米） 所以这个长方体的最小占地面积是12平方分米，最大占地面积是20平方分米。 12．一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，小玻璃球的体积是( )立方厘米。 【答案】320 【分析】根据题意，先将玻璃缸装满水，再将大玻璃球放入缸中。那么溢出水的体积等于大玻璃球的体积。先求出溢出的这些水原本在缸内的高度，再求出将大玻璃球取出后水的高度，也就是玻璃缸里只有水时的水面高度。放入小玻璃球的体积等于水上升的体积，先求出放入小玻璃球后水上升的高度，结合长方体的体积公式V＝abh，求出小玻璃球的体积，解答即可。 【详解】480÷10÷8 ＝48÷8 ＝6（厘米） 15－6＝9（厘米） 13－9＝4（厘米） 10×8×4 ＝80×4 ＝320（立方厘米） 所以小玻璃球的体积是320立方厘米。 13．一个长方体纸箱，长是6分米，宽是4分米，高是4分米，这个纸箱的容积是( )升，做这样一个纸箱至少需要纸板( )平方分米。 【答案】 96 128 【分析】根据长方体容积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体容积。 根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出这个长方体的表面积，即需要纸板的面积，注意单位名数的换算。 【详解】6×4×4 ＝24×4 ＝96（立方分米） 96立方分米＝96升 （6×4＋6×4＋4×4）×2 ＝（24＋24＋16）×2 ＝（48＋16）×2 ＝64×2 ＝128（平方分米） 一个长方体纸箱，长是6分米，宽是4分米，高是4分米，这个纸箱的容积是96升，做这样一个纸箱至少需要纸板128平方分米。 14．A，B两个长方体容器中装有水的高度相同，把同一个西红柿分别完全浸入A，B两个容器中（水都未溢出），A容器的水面比B容器的水面低，说明( )容器的底面积大。 【答案】A 【分析】A，B两个长方体容器中装有水的高度相同，同一个西红柿分别完全浸入A，B两个容器中（水都未溢出），西红柿体积相同，浸入容器后水升高的体积也相同，A容器的水面比B容器的水面低，根据长方体的体积公式，体积相同时，升高高度越小，底面积越大，据此解答。 【详解】根据长方体的体积公式，体积相同时，升高高度越小，底面积越大；A容器的水面比B容器的水面低，故A容器的底面积大。 15．将8个棱长2分米的小正方体拼成一个大正方体后，表面积比原来8个小正方体的表面积之和减少了( )平方分米，拼成正方体的体积是( )立方分米。 【答案】 96 64 【分析】 由图可知，8个棱长2分米的小正方体可以拼成一个棱长（2×2）分米的大正方体，根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”分别求出原来8个小正方体的表面积和现在大正方体的表面积，再求出它们的面积之差，最后利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出拼成正方体的体积，据此解答。 【详解】大正方体的棱长：2×2＝4（分米） 原来8个小正方体的表面积：2×2×6×8 ＝4×6×8 ＝24×8 ＝192（平方分米） 现在大正方体的表面积：4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方分米） 192－96＝96（平方分米） 现在大正方体的体积：4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 所以，表面积比原来8个小正方体的表面积之和减少了96平方分米，拼成正方体的体积是64立方分米。 16．用3个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积( )，体积( )。（填“增加了”“减少了”或“不变”）。 【答案】 减少了 不变 【分析】当用3个相同的小正方体拼成一个大长方体时，会有4个面重合（每两个小正方体拼接会重合2个面，3个小正方体拼接共重合4个面），这4个面不再是大长方体表面积的一部分，所以表面积减少了； 拼成大长方体后，所占空间的大小等于3个小正方体所占空间大小之和，根据体积的定义，物体所占空间的大小不变，所以体积不变。 【详解】用3个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积减少了，体积不变。 17．一根长方体木料长12dm，沿横截面锯成三段小长方体，表面积增加了。原来这根木料的体积是( )。 【答案】288 【分析】把长方体木料沿横截面锯成三段，需要锯2次，每锯一次增加2个横截面的面积，所以共增加了4个横截面的面积； 已知表面积增加了96平方分米，则一个横截面的面积为24平方分米； 长方体体积＝横截面面积×长，据此解答 【详解】 （平方分米） （立方分米） 所以原来这根木料的体积是288立方分米。 三、判断题 18．把一个没有开口的长方体纸盒剪开，平铺在桌面上，需要剪开7条边。( ) 【答案】√ 【分析】 长方体有12条边。为了将其剪开并平铺成一个平面图形，需要剪开部分边，使各面相连。展开图通常保留5条边作为连接边（例如，展开后各面通过共享边连接），因此需要剪开的边数为12－5＝7条。据此判断即可。 【详解】根据长方体的特征，一个没有开口的长方体纸盒有12条边。剪开平铺在桌面上时，需保留5条边作为连接边（即未剪开的边），以保证展开图各面相连。因此，必须剪开12－5＝7（条）边，原题说法正确。 故答案为：√ 19．一个棱长3分米的正方体，切成完全一样的两个长方体，表面积增加9平方分米。( ) 【答案】× 【分析】根据题意，先分别计算正方体的表面积和体积，表面积的计算公式为棱长×棱长×6，体积的计算公式＝棱长×棱长×棱长，再对比两者的数值和单位，据此解答。 【详解】表面积：6×6×6＝36×6＝216（平方分米） 体积：6×6×6＝36×6＝216（立方分米） 虽然数值相同，但表面积的单位是平方分米，体积的单位是立方分米，单位不同表示的意义不同，不能相等。 故答案为：× 20．棱长6分米的正方体，体积和表面积相等。( ) 【答案】× 【分析】判断正方体的体积和表面积是否相等，需要分别计算它们的数值并比较。 体积的计算公式是棱长×棱长×棱长； 表面积的公式是6×（棱长×棱长）； 当棱长为6分米时，体积为216立方分米，表面积为216平方分米。虽然数值相同，但体积的单位是立方分米，表面积的单位是平方分米，它们是不同的物理量，单位不同意味着不能直接比较相等。因此，该说法错误。 【详解】体积： = =（立方分米） 表面积： = =（平方分米） 虽然从数值上来看都是216，但是立方分米和平方分米是两个不同的单位。 故答案为：× 【点睛】表面积和体积两者的单位不同，单位不相同的两个数是不能比较大小的。 21．甲容器可以盛水3000毫升，乙容器可以盛水3升，甲容器的容量大。( ) 【答案】× 【分析】比较容器的容量时，需统一单位。根据容量单位换算关系：1升＝1000毫升。将乙容器的3升换算为毫升后，与甲容器的3000毫升比较，据此解答即可。 【详解】1升＝1000毫升，3升＝3000毫升，所以两个容器的容量相等。因此“甲容器的容量大”是错误的。 故答案为：× 22．把一个长方体切成两个小长方体，体积不变，表面积变小。( ) 【答案】 × 【分析】把一个长方体切成两个小长方体，体积不变，因为切割过程中材料总量未变；但表面积会增加两个切面的面积，因此表面积会变大。 【详解】根据分析： 把一个长方体切成两个小长方体，体积不变，表面积变大。原说法错误。 故答案为：× 四、计算题 23．计算下面图形的表面积。 【答案】98平方厘米 【分析】如图所示，立体图形的表面积等于正方体四个面的面积之和加上长方体的表面积，根据正方体的表面积和长方体的表面积公式，把数据代入公式即可解答。 【详解】 （平方厘米） 立体图形的表面积是98平方厘米。 五、解答题 24．一个长方体木块，若把高减少5厘米就成了一个正方体，体积也减少了80立方厘米，这个长方体木块原来的体积是多少立方厘米？ 【答案】144立方厘米 【分析】根据“高减少5厘米变成正方体”，可知原长方体的长和宽相等，减少的80立方厘米是一个长、宽与原长方体一致、高为5厘米的小长方体体积；用80除以5求出小长方体的底面积（即正方体一个面的面积）为16平方厘米，进而推出正方体棱长为4厘米，即原长方体的长和宽均为4厘米；再算出原长方体的高为4＋5＝9厘米，最后根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，求出原长方体体积。 【详解】80÷5＝16（平方厘米） 4＋5＝9（厘米） 4×4×9 ＝16×9 ＝144（立方厘米） 答：这个长方体木块原来的体积是144立方厘米。 【点睛】本题关键在于由“高减少5厘米变成正方体”推出原长方体长、宽相等，将减少的体积转化为以原长、宽为底面、高5厘米的小长方体体积，进而求出正方体棱长，推导原长方体的高来计算体积。 25．李师傅用玻璃做一个无盖的长方体鱼缸，长8分米，宽6分米，高5分米。做这个鱼缸需要多少平方分米玻璃？ 【答案】188平方分米 【分析】解答这道题需熟知长方体表面积的公式：长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2或长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，题目中已知长方体长8分米，宽6分米，高5分米。还需明确：这是一个无盖的长方体鱼缸，也就是长宽面只有1个。所以表面积公式可以结合题意改写为：玻璃面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2。据此解答。 【详解】根据分析： （平方分米） 答：做这个鱼缸需要188平方分米玻璃。 26．一间长方体教室长8米，宽6米，高4.5米，要对教室的顶面和四壁进行粉刷（门窗和黑板26平方米除外），粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】 148平方米 【分析】先计算教室顶面和四壁的面积，根据“无底长方体的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2”代入数值计算；再减去门窗和黑板的面积即可。 【详解】8×6＋（8×4.5＋6×4.5）×2－26 ＝48＋（36＋27）×2－26 ＝48＋63×2－26 ＝48＋126－26 ＝174－26 ＝148（平方米） 答：粉刷的面积是148平方米。 27．小亮要用一个底面是边长7厘米的正方形、高为15厘米的长方体容器，容器中装的水距容器口还有1厘米。现在要测量一个球形铁块的体积，当铁块放入容器中，就有部分水溢出，而当把铁块取出后，则水面下降4厘米，求铁块的体积。 【答案】 196立方厘米 【分析】当铁块取出后，水面下降厘米，下降部分的水的体积即为铁块的体积，即相当于求一个长、宽均为厘米、高为厘米的长方体的体积，将长、宽、高的值代入公式“长方体的体积长宽高”计算即可。据此解答。 【详解】 （立方厘米） 答：铁块的体积是立方厘米。 【点睛】在解决此类问题时，要排除无关信息的干扰，抓住“下降部分水的体积等于铁块的体积”这一核心思想，将复杂的实际问题简化为简单的长方体体积的计算问题。 28．用棱长是1cm的小正方体按如下图所示的方式摆放。 （1）第8个图形的表面积是多少？ （2）第n个图形的表面积是多少？ 【答案】（1）第8个图形的表面积是。 （2）cm 【分析】观察发现，第1个图形表面积是6个面，即6cm²；第2个图形比第1个图形多了4个面，表面积是（cm²），第3个图形比第2个图形又多了4个面，表面积是（cm²）；以此类推，第n个图形比第1个图形多了个4个面，所以第n个图形的表面积为。 （1）计算第8个图形的表面积，将代入为即可； （2）把进行化简即可；据此解答。 【详解】（1）当时，                                                                                答：第8个图形的表面积是。 （2） cm 29．做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽40厘米，高50厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃？ （2）鱼缸内装有30厘米深的水，现在放入一个珊瑚后，水深35厘米，这个珊瑚的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）152平方分米 （2）16000立方厘米 【分析】（1）求制作无盖鱼缸所需玻璃面积，即求无盖长方体5个面（缺少上面）的面积之和，即：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，已知长8分米，宽40厘米，高50厘米，先根据1分米＝10厘米，统一单位后把数据代入计算即可。 （2）放入珊瑚前水深30厘米，放入后水深35厘米，因此水面上升的高度为35－30＝5厘米。先统一单位，长8分米转化为80厘米，宽为40厘米，根据“底面积＝长×宽”，求出鱼缸的底面积；用底面积乘上升的高度，得到珊瑚体积。据此解答。 【详解】（1）40厘米＝4分米 50厘米＝5分米 8×4＋（8×5＋4×5）×2 ＝32＋（40＋20）×2 ＝32＋60×2 ＝32＋120 ＝152（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要152平方分米玻璃。 （2）水面上升高度：35－30＝5（厘米） 8分米＝80厘米 鱼缸底面积：80×40＝3200（平方厘米） 珊瑚体积：3200×5＝16000（立方厘米） 答：这个珊瑚的体积是16000立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $