第二单元 因数与倍数 寒假预习衔接讲义（讲义）-2025-2026学年五年级数学下册人教版

【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版五年级数学下册 第二单元 因数与倍数 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：理解因数和倍数的意义,掌握找一个数的因数和倍数的方法。 1.在整数除法中,如果商是整数而没有余数,我们就说被除数是除数的倍数,除数是被除数的因数。如:在算式c÷a=b(a、b、c均是非0自然数)中,a和b是c的因数,c是a和b的倍数。一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。 2.找一个数的因数的方法:(1)列乘法算式找,根据因数的意义,有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式,算式中的每个乘数都是该数的因数。(2)列除法算式找,用此数除以大于等于1而小于它本身的整数,所得的商是整数而无余数,这些除数和商都是该数的因数。 3.找一个数的倍数的方法:(1)列乘法算式找,用这个数依次与非0自然数相乘,所乘之积就是这个数的倍数。(2)列除法算式找,看哪些数除以这个数,商是整数而无余数,这些数就是这个数的倍数。 知识点02：掌握2、3、5倍数的特征,认识奇数、偶数。 1.自然数中个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。整数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数),不是2的倍数的数叫做奇数。 2.个位上是0或5的数都是5的倍数。 3.一个数各个数位上的数字之和是3的倍数,这个数就是3的倍数。 知识点03：质数和合数 1.一个数,如果只有1和它本身两个因数,那么这样的数叫做质数(或素数)。 一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,那么这样的数叫做合数。 3.1既不是质数,也不是合数。 4.20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。 知识点04：和与积的奇偶性。 奇数+奇数=偶数　奇数+偶数=奇数　偶数+偶数=偶数 奇数×奇数=奇数　奇数×偶数=偶数　偶数×偶数=偶数 考点1：因数和倍数的认识 【典型例题】 33．48的全部因数共有（    ）个。 A．8 B．9 C．10 【变式训练1】 下列说法正确的是（    ）。 A．10÷2＝5，10是倍数，2是因数 B．42既是6的倍数，也是7的倍数 C．因为4÷0.5＝8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数 【变式训练2】 下列各数中，（    ）不是12的因数。 A．12 B．6 C．5 考点2：2、3、5的倍数 【典型例题】 要使5□0同时是2，3，5的倍数，□里可以填（    ）。 A．5 B．6 C．7 【变式训练1】 30以内既是2的倍数又是5的倍数的有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 【变式训练2】 李阿姨的行李箱设置了一个四位数密码“521□”，这个四位数既是2的倍数，又是3的倍数，李阿姨设置的这个密码有（    ）种可能。 A．1 B．2 C．3 考点3：奇数和偶数 【典型例题】 a是偶数，与它相邻的两个偶数是（    ）。 A．a－2和a＋2 B．a－1和a＋1 C．a－3和a＋3 【变式训练1】 三个连续偶数，用x表示其中最大的一个，那么这三个偶数的和是（    ）。 A．3x B．3x＋6 C．3x－6 【变式训练2】 1～100以内，是3的倍数又是5的倍数的奇数和偶数各有（    ）。 A．3个，3个 B．5个，5个 C．6个，6个 考点4：质数和合数 【典型例题】 小于10的所有质数的和是（    ）。 A．15 B．16 C．17 【变式训练1】 下列各数，既是奇数又是合数的数是（    ）。 A．9 B．12 C．17 【变式训练2】 唐代诗人刘禹锡《浪淘沙》诗中提到“九曲黄河万里沙，浪淘风簸自天涯”，关于横线上的数，下列说法错误的是（    ）。 A．它是合数 B．它可以写成两个质数相加 C．它有4个因数 一、选择题 1．用2、4、6、8、0这五张数字卡片任意组成一个五位数，这个五位数一定是（    ）。 A．5的倍数 B．3的倍数 C．2的倍数 D．无法确定 2．要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填（    ）。 A．4 B．7 C．8 D．9 3．m是一个不为零的偶数，下面一定是奇数的是（    ）。 A．m＋1 B．m－2 C．2m D．m÷2 4．著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 5．在四位数150的里填上一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．6 6．三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（    ） A．A B．A－2 C．A－3 D．A－4 7．已知A＝2×3×m，B＝3×5×m（m是非零自然数），如果A，B的最大公因数是21，那么m＝（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 8．下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是（    ）。 A．14、15、16 B．7、8、9 C．13、15、16 D．4、5、6 二、填空题 9．18的因数有( )个，其中既是质数又是偶数的是( )，既是合数又是奇数的是( )，既不是质数也不是合数的是( )。 10．一个三位数既是2的倍数，又是3的倍数，同时还有因数5，这个三位数最大是( )。 11．一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 12．在1～20的自然数中，( )既是偶数又是质数；( )既是奇数又是合数。 13．36的因数有( )个，合数有( )个，其中质数有( )个。 14．在1、2、24、59、61、155中，质数有( )个，奇数有( )个。 15．一个两位数，它是偶数，而且它既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是( )。 16．写出103后面4个连续的偶数( )、( )、( )、( )。 17．一个三位数98□要使它是2的倍数，□里最小填( )；要使它是2和3的倍数，□里应该填( )；要使它是2和5的倍数可以填( )。 18．小精灵今年的年龄在10~20岁之间，且它的年龄既是5的倍数，又是45的因数，小精灵今年的年龄是( )岁。 19．一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是( )；一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最小是( )。 三、判断题 20．正方形的边长是质数，它的面积一定是合数。( ) 21．凡是4的倍数就一定是8的倍数。( ) 22．五个连续偶数的平均数是12，这五个连续偶数分别是8，10，12，14，16。( ) 23．两个质数的乘积不一定是合数，两个奇数的和一定是偶数。( ) 24．0～10（包含10）中所有合数的和是37。( ) 四、计算题 25．求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和32         15和25         30和40 26．把下面各数分解质因数。 45         28          104 五、解答题 27．学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？ 28．南丰蜜橘是江西省的特产，因营养丰富而享誉古今中外。一堆南丰蜜橘，3个3个地数或5个5个地数，都能正好数完。这堆蜜橘至少有多少个？ 29．小商品市场里，有五种小商品的单价分别是1元、3元、5元、7元和9元。乐乐说：“我买了4件小商品，总价是29元。”园园说：“我买了5件小商品，总价是29元。”谁说得对？为什么？ 30．丽丽买来一袋苹果，苹果的个数既是30的因数，又是5的倍数。丽丽可能买了多少个苹果？ 31．万老师在体育用品店买了一些普通跳绳和计数跳绳。他付给售货员60元，找回3元。售货员找回的钱对吗？为什么？ 普通跳绳：5元/根 计数跳绳：10元/根 32．任选两张卡片，在括号里写出所有满足条件的两位数。 (1)奇数( )。 (2)既是2的倍数，又是3的倍数( )。 (3)既是2的倍数，又是5的倍数( )。 (4)同时是2、3、5的倍数( )。 学科网（北京）股份有限公司 $ 【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版五年级数学下册 第二单元 因数与倍数 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：理解因数和倍数的意义,掌握找一个数的因数和倍数的方法。 1.在整数除法中,如果商是整数而没有余数,我们就说被除数是除数的倍数,除数是被除数的因数。如:在算式c÷a=b(a、b、c均是非0自然数)中,a和b是c的因数,c是a和b的倍数。一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。 2.找一个数的因数的方法:(1)列乘法算式找,根据因数的意义,有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式,算式中的每个乘数都是该数的因数。(2)列除法算式找,用此数除以大于等于1而小于它本身的整数,所得的商是整数而无余数,这些除数和商都是该数的因数。 3.找一个数的倍数的方法:(1)列乘法算式找,用这个数依次与非0自然数相乘,所乘之积就是这个数的倍数。(2)列除法算式找,看哪些数除以这个数,商是整数而无余数,这些数就是这个数的倍数。 知识点02：掌握2、3、5倍数的特征,认识奇数、偶数。 1.自然数中个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。整数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数),不是2的倍数的数叫做奇数。 2.个位上是0或5的数都是5的倍数。 3.一个数各个数位上的数字之和是3的倍数,这个数就是3的倍数。 知识点03：质数和合数 1.一个数,如果只有1和它本身两个因数,那么这样的数叫做质数(或素数)。 一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,那么这样的数叫做合数。 3.1既不是质数,也不是合数。 4.20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。 知识点04：和与积的奇偶性。 奇数+奇数=偶数　奇数+偶数=奇数　偶数+偶数=偶数 奇数×奇数=奇数　奇数×偶数=偶数　偶数×偶数=偶数 考点1：因数和倍数的认识 【典型例题】 33．48的全部因数共有（    ）个。 A．8 B．9 C．10 【答案】C 【分析】根据因数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数。进行分析。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10个。 故答案为：C 【变式训练1】 下列说法正确的是（    ）。 A．10÷2＝5，10是倍数，2是因数 B．42既是6的倍数，也是7的倍数 C．因为4÷0.5＝8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数 【答案】B 【分析】根据倍数和因数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，倍数和因数是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数。据此对比选项，做出选择。 【详解】A.仅说“10是倍数，2是因数”，未明确10是谁的倍数，2是谁的因数，不符合倍数和因数相互依存的关系，选项错误； B.，商是整数且没有余数，所以42是6的倍数；，商是整数且没有余数，所以42是7的倍数。因此42既是6的倍数，也是7的倍数，选项正确； C.倍数和因数的研究范围是整数，除数和被除数都必须是整数，不能是小数，题目中0.5为小数，选项错误。 故答案为：B 【变式训练2】 下列各数中，（    ）不是12的因数。 A．12 B．6 C．5 【答案】C 【分析】根据因数的定义，若一个数能整除12，则这个数是12的因数，对比选项进行判断。 【详解】A.，结果没有余数，则12是12的因数，不符合； B.，结果没有余数，则6是12的因数，不符合； C.，计算结果有余数2，所以5不是12的因数，符合。 故答案为：C 考点2：2、3、5的倍数 【典型例题】 要使5□0同时是2，3，5的倍数，□里可以填（    ）。 A．5 B．6 C．7 【答案】C 【分析】2的倍数：个位是2，4，6，8，0的数；5的倍数：个位是0或5的数；3的倍数：所有数位上的数字之和能被3整除的数；给出的数5□0个位是0，所以这个数一定是2和5的倍数，所以只需要确定这个数是3的倍数即可；据此把选项中的数字代入计算并判断即可。 【详解】A．5＋5＋0＝10，10÷3＝3……1，因为10不能被3整除，所以□里不可以填5； B．5＋6＋0＝11，11÷3＝3……2，因为11不能被3整除，所以□里不可以填6； C．5＋7＋0＝12，12÷3＝4，因为12能被3整除，所以□里可以填7； 要使5□0同时是2，3，5的倍数，□里可以填7。 故答案为：C 【变式训练1】 30以内既是2的倍数又是5的倍数的有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】既是2的倍数又是5的倍数的数的个位是0。据此写出30以内既是2的倍数又是5的倍数即可解答。 【详解】30以内既是2的倍数又是5的倍数的有10、20、30共3个。 故答案为：B 【变式训练2】 李阿姨的行李箱设置了一个四位数密码“521□”，这个四位数既是2的倍数，又是3的倍数，李阿姨设置的这个密码有（    ）种可能。 A．1 B．2 C．3 【答案】A 【分析】根据2的倍数的性质，即个位为0、2、4、6、8中任意一个；再根据3的倍数的特征，即每个数位的数字之和为3的倍数，将0、2、4、6、8依次与5＋2＋1求和即可求解。 【详解】5＋2＋1＝8，若个位为0则8＋0＝8不是3的倍数，则5120不是密码；若个位为2则8＋2＝10不是3的倍数，则5122不是密码；若个位为4则8＋4＝12是3的倍数，则5124是密码；若个位为6则8＋6＝14不是3的倍数，则5126不是密码；若个位为8则8＋8＝16不是3的倍数，则5128不是密码，即李阿姨设置的这个密码只有1种可能。 故答案为：A 考点3：奇数和偶数 【典型例题】 a是偶数，与它相邻的两个偶数是（    ）。 A．a－2和a＋2 B．a－1和a＋1 C．a－3和a＋3 【答案】A 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。相邻的两个偶数之间相差2，据此分析。 【详解】a是偶数，根据分析，与它相邻的两个偶数是a－2和a＋2。 故答案为：A 【变式训练1】 三个连续偶数，用x表示其中最大的一个，那么这三个偶数的和是（    ）。 A．3x B．3x＋6 C．3x－6 【答案】C 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。连续偶数的特点，两个相邻的偶数相差2。 已知三个连续偶数中最大的一个是x，那么另外两个偶数分别是x－2、x－4；把这三个偶数相加，求出和即可。 【详解】这三个连续偶数从小到大分别为：x－4、x－2、x； x－4＋x－2＋x ＝x＋x＋x－4－2 ＝（x＋x＋x）－（4＋2） ＝3x－6 那么这三个偶数的和是3x－6。 故答案为：C 【变式训练2】 1～100以内，是3的倍数又是5的倍数的奇数和偶数各有（    ）。 A．3个，3个 B．5个，5个 C．6个，6个 【答案】A 【分析】在1～100内找出既是3的倍数又是5的倍数的奇数和偶数的个数。首先，3和5的最小公倍数是15，因此所求数为15的倍数。在1～100中，15的倍数有15、30、45、60、75、90，共6个。再根据奇偶性分类：奇数为15、45、75（3个），偶数为30、60、90（3个）。据此解答。 【详解】1~100以内，是3的倍数又是5的倍数有15、30、45、60、75、90 奇数有15、45、75，有3个； 偶数有30、60、90，有3个。 故答案为：A 考点4：质数和合数 【典型例题】 小于10的所有质数的和是（    ）。 A．15 B．16 C．17 【答案】C 【分析】根据质数的意义：质数是指除了1和它本身的两个因数以外没有其他因数的数；小于10的所有质数有：2、3、5、7，然后把它们加起来即可。 【详解】2＋3＋5＋7 ＝5＋5＋7 ＝10＋7 ＝17 所以小于10的所有质数的和是17。 故答案为：C 【变式训练1】 下列各数，既是奇数又是合数的数是（    ）。 A．9 B．12 C．17 【答案】A 【分析】需要同时满足“奇数”和“合数”两个条件即为答案。 奇数的定义：不能被 2 整除的整数（如 1、3、5、9、17 等）。 合数的定义：除了 1 和它本身，还有其他因数的正整数（如 4、6、8、9、12 等）。 【详解】A．9是奇数，9的因数除了1和9之外，还有3，所以A符合题意； B．12是偶数，12的因数除了1和12之外，因数还有2、6、3、4，B不满足奇数这一条件，所以B不符合题意； C．17是奇数，17的因数除了1和17之外，没有其他因数，C不满足合数的条件，所以C不符合题意； 故答案为：A 【点睛】需要学生熟练的掌握“奇数”和“合数”的概念。 【变式训练2】 唐代诗人刘禹锡《浪淘沙》诗中提到“九曲黄河万里沙，浪淘风簸自天涯”，关于横线上的数，下列说法错误的是（    ）。 A．它是合数 B．它可以写成两个质数相加 C．它有4个因数 【答案】C 【分析】合数是除了1和本身外还有其他因数的数。质数是只有1和本身两个因数的数。据此判断。 【详解】A．9的因数有1、3、9，满足合数的定义，说法正确； B．9可以写成2＋7（2和7均为质数），说法正确； C．9的因数为1、3、9，共3个，而非4个，说法错误。 说法错误的是选项C中的说法。 故答案为：C 一、选择题 1．用2、4、6、8、0这五张数字卡片任意组成一个五位数，这个五位数一定是（    ）。 A．5的倍数 B．3的倍数 C．2的倍数 D．无法确定 【答案】C 【分析】5的倍数特征：一个数的个位是0或5的数，这个数就是5的倍数； 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 2的倍数特征： 一个数的个位是0、2、4、6、8的数，这个数就是2的倍数。 【详解】A．如组成20648，个位是8，所以组成的五位数不一定是5的倍数； B．2＋4＋6＋8＋0＝20，20不是3的倍数，所以组成的五位数不一定是3的倍数； C．这五个数字都是偶数，所以组成的五位数一定是2的倍数。 D．由前面分析可知这个五位数一定是2的倍数。 故答案为：C 2．要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填（    ）。 A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数各位数字之和是3的倍数，这个数是3的倍数。据此逐一分析。 【详解】A．个位数字是4，174是2的倍数，1＋7＋4＝12，12是3的倍数，符合； B．个位数字是7，177不是2的倍数，不符合； C．个位数字是8，178是2的倍数，1＋7＋8＝16，16不是3的倍数，不符合； D．个位数字是9，179不是2的倍数，不符合。 综上，要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填4。 故答案为：A 3．m是一个不为零的偶数，下面一定是奇数的是（    ）。 A．m＋1 B．m－2 C．2m D．m÷2 【答案】A 【分析】根据奇数和偶数的运算性质： ①偶数±偶数＝偶数； ②奇数±奇数＝偶数； ③偶数±奇数＝奇数； ④偶数×奇数＝偶数； ⑤奇数×奇数＝奇数； ⑥偶数×偶数＝偶数； 由此即可判断。 【详解】A．1为奇数，m为偶数，m＋1＝偶数＋奇数＝奇数，符合题意； B．2为偶数，m为偶数，m－2＝偶数－偶数＝偶数，不符合题意； C．2为偶数，m为偶数，2m＝偶数×偶数＝偶数，不符合题意； D．m÷2＝偶数÷偶数，结果不一定是奇数还是偶数，不符合题意； 则m＋1一定为奇数。 故答案为：A 4．著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 【答案】C 【分析】先明确哥德巴赫猜想的条件：大于2的偶数可表示为两个质数之和，再依次判断每个选项中的和是否为大于2的偶数，以及两个加数是否为质数。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 【详解】A．20是大于2的偶数；13的因数只有1和13，是质数；7的因数只有1和7，是质数，所以选项A符合哥德巴赫猜想； B．100是大于2的偶数；29的因数只有1和29，是质数；71的因数只有1和71，是质数，所以选项B符合哥德巴赫猜想； C．44是大于2的偶数；11的因数只有1和11，是质数；33的因数有1、3、11、33，不是质数，所以选项C不符合哥德巴赫猜想； D．60是大于2的偶数；31的因数只有1和31，是质数；29的因数只有1和29，是质数，所以选项D符合哥德巴赫猜想。 故答案为：C 5．在四位数150的里填上一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8； 能被3整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3整除； 能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。 能同时被2，3，5整除的数需要同时满足以上三个条件，即个位数字是0且各个数位上的数字之和能被3整除；在四位数150中，个位数字是0，已经满足能被2和5整除的条件，只需考虑各个数位上的数字之和能被3整除；据此解答。 【详解】 150中已知数字1、5、0的和为：1＋5＋0＝6；因为6能被3整除，所以里的数字加上6之后仍需是3的倍数；里可填的数字是一位数，找出符合是3的倍数的：6＋0＝6；6＋3＝9；6＋6＝12；6＋9＝15 所以，里可填0、3、6、9，共有4种填法。 故答案为：C 6．三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（    ） A．A B．A－2 C．A－3 D．A－4 【答案】D 【分析】连续偶数之间的差值为2，已知三个连续偶数中最大的是A，那么中间的偶数是（A－2），最小的偶数是A－2－2＝A－4。 【详解】A－2－2＝A－4 因此，三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（A－4）。 故答案为：D 7．已知A＝2×3×m，B＝3×5×m（m是非零自然数），如果A，B的最大公因数是21，那么m＝（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】两个数的最大公因数是这两个数公有的质因数的积，据此解答。 【详解】根据题中A、B的表达式，可知A、B的公有因数是3与m。 解： 故答案为：C 8．下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是（    ）。 A．14、15、16 B．7、8、9 C．13、15、16 D．4、5、6 【答案】A 【分析】一个数，除了1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫做合数，一个数只有1和它本身两个因数，这样的数是质数，据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．14、15、16；14是合数，15是合数，16是合数，符合题意。 B．7、8、9；7是质数；8是合数，9是合数，不符合题意； C．13、15、16；不是连续的自然数，13是质数，15、16是合数，不符合题意； D．4，5，6；5不是合数，4、6是合数，不符合题意。 三个连续自然数都是合数的是14、15、16。 故答案为：A 二、填空题 9．18的因数有( )个，其中既是质数又是偶数的是( )，既是合数又是奇数的是( )，既不是质数也不是合数的是( )。 【答案】 6 2 9 1 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，先求出18的因数，再根据奇数、偶数、质数和合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数，其中1既不是质数也不是合数，据此填空即可。 【详解】1×18＝18，1和18都是18的因数； 2×9＝18，2和9都是18的因数； 3×6＝18，3和6都是18的因数。 18的因数有：1、2、3、6、9、18 既是偶数又是质数的数：2 既是奇数又是合数的数：9 既不是质数也不是合数的数：1 18的因数有6个，其中既是质数又是偶数的是2，既是合数又是奇数的是9，既不是质数也不是合数的是1。 10．一个三位数既是2的倍数，又是3的倍数，同时还有因数5，这个三位数最大是( )。 【答案】990 【分析】这个三位数同时是2、3和5的倍数，则这个三位数的个位数字是0，各个数位上的数字相加的和是3的倍数，要使这个三位数最大，则百位数字最大是9，当十位数字最大是9时，9＋9＋0＝18，18是3的倍数，则990是符合同时是2、3和5的倍数的最大三位数。 【详解】990÷2＝495，990÷3＝330，990÷5＝198，则一个三位数既是2的倍数，又是3的倍数，同时还有因数5，这个三位数最大是990。 11．一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 32 4 【分析】求一个数的所有的因数的方法：有序地写出以这个数为积的所有整数乘法算式，算式中的每个因数都是该数的因数。 求一个数的倍数的方法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数1，2，3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【详解】32的因数：1、2、4、8、16、32； 4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32… 其中既是32的因数，又是4的倍数的数有：4、8、16、32。 所以这个数最大是32，最小是4。 12．在1～20的自然数中，( )既是偶数又是质数；( )既是奇数又是合数。 【答案】 2 9，15 【分析】根据偶数的定义：偶数是能被2整除的数；奇数的定义：奇数是不能被2整除的数；质数的定义：质数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他因数的数；合数的定义：合数是指除了1和它本身之外还有其他因数的数；进行分析。 【详解】根据分析得： 在1～20的自然数中，2既是偶数又是质数；9，15既是奇数又是合数。 13．36的因数有( )个，合数有( )个，其中质数有( )个。 【答案】 9 6 2 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，据此解答。 【详解】36＝1×36 36＝2×18 36＝3×12 36＝4×9 36＝6×6 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个因数； 其中质数有：2、3，是2个； 合数有：4、6、9、12、18、36，是6个； 36的因数有9个，合数有6个，其中质数有2个。 14．在1、2、24、59、61、155中，质数有( )个，奇数有( )个。 【答案】 3 4 【分析】只有1和它本身两个因数的整数叫质数，除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数，1既不是质数，也不是合数。能被2整除的整数叫偶数，不能被2整除的整数叫奇数。 【详解】除1外，只有1和它本身两个因数的整数有2、59、61；即质数有3个； 不能被2整除的整数有：1、59、61、155，即奇数有4个。 15．一个两位数，它是偶数，而且它既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是( )。 【答案】 30 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，即是偶数；个位上是0或5的数都是5的倍数；一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数；根据题意可知，这个两位数的个位应是0，且十位和个位上的数字之和是3的倍数，因个位是0，则十位上的数字必须是3的倍数，且最小就是它本身3，即这个数最小是30。据此解答。 【详解】根据分析可知： 一个两位数，它是偶数，而且它既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是30。 16．写出103后面4个连续的偶数( )、( )、( )、( )。 【答案】 104 106 108 110 【分析】两个连续偶数之间差2，偶数必须是2的倍数，103是奇数，103后面的104是个偶数，所以在103后面写出4个连续的偶数是104、104＋2、104＋2＋2、104＋2＋2＋2。 【详解】103＋1＝104 104＋2＝106 104＋2＋2＝108 104＋2＋2＋2＝110 103后面4个连续的偶数是104、106、108、110。 17．一个三位数98□要使它是2的倍数，□里最小填( )；要使它是2和3的倍数，□里应该填( )；要使它是2和5的倍数可以填( )。 【答案】 0 4 0 【分析】个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位上的数字是0或5的数是5的倍数；据此解答。 【详解】一个三位数是98□，要使它是2的倍数，□里可以填0、2、4、6、8，最小填0； 9＋8＝17，再找和17相加是3的倍数，且个位是0、2、4、6、8 的数，17＋4＝21（21是3的倍数），其他数（0、2、6、8）相加后都不是3的倍数，因此□里应该填4； 要使它是5的倍数，□里可以填0，5，同时满足个位是0、2、4、6、8 和0、5 的数，只有0所以要使它是2和5的倍数可以填0。 18．小精灵今年的年龄在10~20岁之间，且它的年龄既是5的倍数，又是45的因数，小精灵今年的年龄是( )岁。 【答案】 15 【分析】解答这道题需根据5的倍数的特征找出20以内5的倍数，再找出45的所有因数，确定10到20之间5的倍数和45的因数中公有的数即可。据此解答。 【详解】根据分析： 10到20之间的5的倍数：10、15、20。 45的因数：1、3、5、9、15、45。 10到20之间公有的数：15。 所以小精灵今年的年龄是15岁。 19．一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是( )；一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最小是( )。 【答案】 15 30 【分析】2的倍数：个位是2，4，6，8，0的数；5的倍数：个位是0或5的数；3的倍数：所有数位上的数字之和能被3整除的数；据此解答。 【详解】一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数的个位是0或5，十位最小是1，1＋5＝6，6÷3＝2，所以这个数最小是15； 一个数同时是2、3、5的倍数，这个数的个位只能是0，则十位最小是3，所以这个数最小是30。 一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是15；一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最小是30。 三、判断题 20．正方形的边长是质数，它的面积一定是合数。( ) 【答案】√ 【分析】质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身还有其他因数的数，据此即可解答。 【详解】设正方形的边长为质数a（a＞1）。 正方形面积：a×a＝ 因为除了1和它本身，还有因数a，所以是合数。 故答案为：√ 21．凡是4的倍数就一定是8的倍数。( ) 【答案】 × 【分析】4的最小倍数是4，4÷8＝0.5即4不是8的倍数。 【详解】根据分析： 4的倍数不一定是8的倍数。原说法错误。 故答案为：× 22．五个连续偶数的平均数是12，这五个连续偶数分别是8，10，12，14，16。( ) 【答案】√ 【分析】首先，确认五个数8、10、12、14、16是连续偶数，因为相邻两数之差均为2，且均为整数。其次，根据平均数的定义，需计算这五个数的和再除以5，验证结果是否为12。 【详解】计算五个连续偶数的和： ；；；，总和为60。 平均数，平均数为12，与题干一致，原说法正确。 故答案为：√ 23．两个质数的乘积不一定是合数，两个奇数的和一定是偶数。( ) 【答案】× 【分析】根据质数和合数的定义，质数是大于1且只有1和它本身两个因数的自然数，合数是大于1且有至少三个因数的自然数。两个质数相乘，积的因数包括1和这两个质数，因此积一定是合数。两个奇数相加，根据奇偶性运算规律，和一定是偶数。据此判断即可。 【详解】例如，质数2和3相乘得6，6的因数有1、2、3、6，6是合数；质数3和5相乘得15，15的因数有1、3、5、15，15是合数。所以，“两个质数的乘积不一定是合数”的说法错误。两个奇数相加，和是偶数，例如，1＋3＝4（偶数），3＋5＝8（偶数），符合奇偶性运算规律。因此，原题说法错误。 故答案为：× 24．0～10（包含10）中所有合数的和是37。( ) 【答案】√ 【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，如果除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫做合数。在0～10（包含10）的范围内，逐一判断每个整数是否为合数：在研究质数合数时，不包括0；1既不是质数，也不是合数；2、3、5、7是质数（只有1和本身两个因数）；4、6、8、9、10是合数（均有其他因数）。因此，合数为4、6、8、9、10。接着，计算这些数的和，验证是否等于37。 【详解】合数有：4、6、8、9、10。 4＋6＋8＋9＋10 ＝10＋8＋9＋10 ＝18＋9＋10 ＝27＋10 ＝37， 和为37，与陈述一致，原题说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 25．求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和32         15和25         30和40 【答案】（1）8；96；（2）5；75；（3）10；120 【分析】两个或多个整数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个公因数就叫做这几个整数的最大公因数。两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。用枚举法分别写出每组数中每个数的因数与倍数，从而找到每组数的最大公因数和最小公倍数。 【详解】（1）24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24。 32的因数有1，2，4，8，16，32。 24和32的最大公因数是8。 24的倍数有24，48，72，96，120…。 32的倍数有32，64，96，128，160…。 24和32的最小公倍数是96。 （2）15的因数有1，3，5，15。 25的因数有1，5，25。 15和25的最大公因数是5。 15的倍数有15，30，45，60，75…。 25的倍数有25，50，75，100，125…。 15和25的最小公倍数是75。 （3）30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30。 40的因数有1，2，4，5，8，10，20，40。 30和40的最大公因数是10。 30的倍数有30，60，90，120，150…。 40的倍数有40，80，120，160，200…。 30和40的最小公倍数是120。 26．把下面各数分解质因数。 45         28          104 【答案】45＝3×3×5 28＝2×2×7 104＝2×2×2×13 【分析】分解质因数就是把这个数分解成几个质数相乘的式子。 【详解】45的质因数有3，5所以45＝3×3×5 28的质因数有2，7所以28＝2×2×7 104的质因数有2，13所以104＝2×2×2×13 五、解答题 27．学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？ 【答案】48人 【分析】根据题意，这个数刚好是12和16的公倍数，首先我们先找出12和16的最小公倍数，12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48。而48又刚好小于50，即48就是所求答案。 【详解】根据分析， 12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48； 48＜50 答：这个班有48人。 28．南丰蜜橘是江西省的特产，因营养丰富而享誉古今中外。一堆南丰蜜橘，3个3个地数或5个5个地数，都能正好数完。这堆蜜橘至少有多少个？ 【答案】15个 【分析】求最小公倍数的应用题，蜜橘“3个3个地数”“5个5个地数”都能正好数完，说明蜜橘总数是3和5的公倍数；要求“至少有多少个”，即求3和5的最小公倍数。 【详解】3和5是互质数（公因数只有1），因此它们的最小公倍数为两数的乘积：（个） 答：这堆蜜橘至少有15个。 29．小商品市场里，有五种小商品的单价分别是1元、3元、5元、7元和9元。乐乐说：“我买了4件小商品，总价是29元。”园园说：“我买了5件小商品，总价是29元。”谁说得对？为什么？ 【答案】园园说得对。因为小商品的单价均是奇数，偶数个奇数的和应是偶数，只有奇数个奇数的和才是奇数。 【分析】由奇偶数的性质可知：奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数；据此解答。 【详解】乐乐买了4件小商品，商品的个数为偶数，商品的单价都是奇数，偶数个奇数和是偶数，所以乐乐说的不对； 圆圆买了5件小商品，商品的个数为奇数，商品的单价都是奇数，奇数个奇数的和是奇数，所以圆圆说的对 答：圆圆说的对。因为小商品的单价均是奇数，偶数个奇数的和应是偶数，只有奇数个奇数的和才是奇数。 30．丽丽买来一袋苹果，苹果的个数既是30的因数，又是5的倍数。丽丽可能买了多少个苹果？ 【答案】丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 【分析】根据找一个因数的方法先找出30的因数，接着从30的因数中找出5的倍数，即找出个位是0或5的数，据此解答。 【详解】 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。 30的因数中是5的倍数的数有5、10、15、30。 答：丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 31．万老师在体育用品店买了一些普通跳绳和计数跳绳。他付给售货员60元，找回3元。售货员找回的钱对吗？为什么？ 普通跳绳：5元/根 计数跳绳：10元/根 【答案】不对；理由见详解 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数。由此可知，普通跳绳、计数跳绳的单价都是5的倍数，根据“单价×数量＝总价”可知，无论买多少根，总钱数都应该是5的倍数；用付的钱数－找回的钱数＝花钱数，判断花的钱数是否是5的倍数，即可得出找回的钱是否正确。 【详解】60－3＝57（元） 57不是5的倍数，所以找回的钱数不对。 答：售货员找回的钱不对，因为花的总钱数不是5的倍数。 32．任选两张卡片，在括号里写出所有满足条件的两位数。 (1)奇数( )。 (2)既是2的倍数，又是3的倍数( )。 (3)既是2的倍数，又是5的倍数( )。 (4)同时是2、3、5的倍数( )。 【答案】(1)73、63、37、67 (2)30、60、36 (3)30、60、70 (4)30、60 【分析】奇数的特征：奇数必须以奇数字结尾，个位上是1、3、5、7、9的数；2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位上是0或5的数； 既是2的倍数，又是3的倍数：所以个位只能是0或6，且各位数字之和能被3整除；既是2的倍数，又是5的倍数：个位上是0的数；同时是2、3、5的倍数：个位是0，且各位数字之和能被3整除。 【详解】（1）个位为3时，十位可选7或6；个位为7时，十位可选3或6；奇数：73、63、37、67。 （2）个位为0时，十位可选3或6；个位为6时，十位可选3；既是2的倍数，又是3的倍数：30、60、36。 （3）个位是0，十位可选3、7、6，既是2的倍数，又是5的倍数：30、70、60。 （4）个位是0，十位可选3或6，同时是2、3、5的倍数：30、60。 学科网（北京）股份有限公司 $