专题8.2 圆锥及其侧面展开图（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级下册

本初中数学讲义聚焦圆锥及其侧面展开图，从圆锥的形成（直角三角形旋转）入手，系统梳理底面、侧面、高、母线等概念，明确侧面展开图为扇形及其与底面圆的关系，构建表面积（侧面积+底面积）和体积计算的完整知识支架。 资料通过“即学即练”“典例+变式”设计，融入环保纸杯、沙漏等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实，通过公式推导和问题解决发展数学思维，课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题8.2 圆锥及其侧面展开图 教学目标 1.理解圆锥是由直角三角形旋转形成的立体图形； 2.掌握圆锥是由1 个底面、1 个侧面组成的，理解底面、侧面、高、母线等相关概念； 3.理解圆锥侧面沿母线展开后的图形是 “扇形”，会进行相关的计算； 4.掌握圆锥表面积的组成（1个底面积 + 1 个侧面积），计算有底、无底圆锥的表面积；理解圆锥体积公式，能计算圆锥的体积. 教学重难点 1.重点 圆锥侧面展开图形及表面积、体积的计算； 2.难点 理解圆锥圆锥底面圆的半径与侧面展开图的弧长、圆心角大小以及母线的关系. 知识点01 圆锥的基本概念 1. 面动成体，认识 “圆锥的形成” 如图，将直角三角形ACB以它的一条边CA所在的直线为轴顺时针(或逆时针)方向旋转一周，形成的立体图形叫作圆锥. . 2. “拆解”圆锥，认识 “圆锥的组成” 3. 核心概念： 底面：1个圆形； 侧面：1个扇形，围成圆锥的 “侧面部分”； 高：连接底面圆心和圆锥顶点之间的距离； 母线：圆锥的顶点和底圆圆上任意一点之间的距离； 知识点02 圆锥的侧面展开图 1. 侧面展开图:侧面展开是个扇形,它的弧长是底面圆的周长,它的半径是圆锥的母线. 2.圆锥的侧面积公式： S=________________________________________ 其中，S侧表示圆锥的侧面积，r、C、l和h分别表示它的底面半径、底面周长、母线长和高. 【即学即练】 例1如图,已知一个圆锥形环保纸杯的侧面展开图是圆心角为108°的扇形，母线长l=10cm. (1)求该圆锥形环保纸杯的底面直径d; (2)求该圆锥形环保纸杯的侧面积(结果保留π). 分析：(1)侧面扇形的弧长是底圆的周长 所以 弧长=2πr 即 πd= 所以 d== (2)侧面积S侧=πrl=3π10=30π（） 知识点03 圆锥的表面积和体积 1. 圆锥的表面积 圆锥的表面由它的侧面和1个底面组成.因此，圆锥的表面积等于它的侧面积与1个底面积的和，即 =+=πrl+πr² 2. 圆锥的体积 推导圆锥体积公式 【即学即练】 例2如图，已知圆锥形石膏像的底面直径d=20cm,母线长l=30cm.求它的表面积和侧面展开图的圆心角(π取3.14). 解 根据题意，圆锥的底面半径，r=10cm,,母线长l=30 cm,所以圆锥形石膏像的表面积 S表=S侧+S底=πrl+πr²=10×30π+10²π=400π=1256(cm²). 圆锥的侧面展开图的圆心角为 ·360°=×360°=120°. 答：圆锥形石膏像的表面积约为1256 cm²,它的侧面展开图的圆心角120°. 题型01 圆锥的形成和概念辨析 【典例1】1．下面的平面图形运动后，能形成圆锥的是（   ） A．以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周 B．以直角三角形的斜边为轴旋转一周 C．以长方形的一条边为轴旋转一周 D．以平行四边形的一条边为轴旋转一周 【答案】A 【分析】本题考查圆锥，根据直角三角形绕一条直角边旋转一周得到圆锥解答即可． 【详解】解：A. 以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，形成圆锥，故符合题意； B. 以直角三角形的斜边为轴旋转一周，不能得到圆锥，故不符合题意； C. 以长方形的一条边为轴旋转一周，得到圆柱，故不符合题意； D. 以平行四边形的一条边为轴旋转一周，不能得到圆锥，故不符合题意； 故选：A． 【变式2】下面关于圆锥的描述，错误的是（   ） A．圆锥有一个圆形底面 B．圆锥的侧面是一个曲面 C．从圆锥顶点到底面任意一点的距离是圆锥的高 D．圆锥只有一个顶点 【答案】C 【分析】本题考查圆锥，根据圆锥的特征逐项判断解答即可． 【详解】解：A. 圆锥有一个圆形底面，说法正确，不符合题意； B. 圆锥的侧面是一个曲面，说法正确，不符合题意； C. 从圆锥顶点到底面圆的圆心的距离是圆锥的高，说法错误，符合题意； D. 圆锥只有一个顶点，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列图形中，是圆锥的平面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的定义，掌握圆锥的定义是解决本题的关键． 根据圆锥的定义求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆锥的平面展开图为一个扇形和一个圆， 故选D． 【变式4】圆锥有（   ）条高 A．一 B．三 C．无数 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据圆锥的高的定义解答． 【详解】解：圆锥有一条高； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆锥的相关概念，熟知圆锥有一条高是关键． 题型02 求圆锥底圆的半径 【典例1】已知圆锥的侧面展开图的面积是，母线长是5，则圆锥的底面半径为（　　） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 利用圆锥侧面积公式直接求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图面积，已知，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】用一个圆心角为，半径为8的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥侧面积公式，先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出半径即可． 【详解】解：扇形的弧长为， 则这个圆锥的底面半径是. 故选：C． 【变式2】元旦来临，小海在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计算公式是解题的关键；根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴的长为， ∴圆锥底面圆的周长为， ∴底面圆的半径为； 故选：D． 【变式3】劳动课上，某同学制作了一个母线长为厘米的圆锥形工艺品，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的底面圆周长，扇形的弧长，设圆锥的底面圆的半径为厘米，则底面圆周长为厘米，再根据弧长公式列出方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为厘米，则底面圆周长为厘米， ∵侧面展开图是一个圆心角为的扇形， ∴， 解得， ∴该圆锥的底面圆的半径为厘米， 故答案为：． 【变式4】如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的有关计算，包括弧长公式，设这个圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长建立方程，然后解方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为， 则有， ， 解得， 即这个圆锥的底面圆半径为． 故答案为：． 题型03 圆锥的侧面展开图 【典例1】如图，圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为多少．（结果用表示） 【答案】该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系． 根据圆锥的展开图为扇形，结合弧长公式的求解即可． 【详解】解：设底面圆的半径为， 由勾股定理得：， ∴． 故该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为． 【变式1】一个直角三角形的两条直角边分别长和，以的直角边为轴旋转一周，形成的圆锥的底面半径是 ，高是 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查圆锥的形成原理. 直角三角形绕一条直角边旋转时，旋转轴所在的直角边成为圆锥的高，另一条直角边成为圆锥的底面半径． 【详解】解：以的直角边为轴旋转，该边为旋转轴，因此圆锥的高为；另一条直角边绕轴旋转形成底面圆，故底面半径为． 故答案为：4，3． 【变式2】圆锥的母线长，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的周长 ．（取） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，弧长公式，解题关键熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长．根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用扇形的弧长公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积，扇形面积公式，扇形弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， ∵圆锥侧面积为 ∴，解得：， 则，解得，即扇形的圆心角为， 故答案为：． 【变式4】在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，恰好围成一个圆锥模型（如图）．如果圆的半径为r，扇形半径为R，那么 ． 【答案】1：4 【分析】由题意得圆锥的底面周长等于小圆的周长等于扇形的弧长，据此求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为：1：4． 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，正确理解圆锥的底面周长等于小圆的周等于扇形的弧长是解题的关键． 题型04 圆锥的表面积 【典例1】一个圆锥的底面直径是，母线长是，它的侧面积是 ，表面积是 （π取）． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积和表面积． 圆锥的侧面积公式为；表面积公式为，其中． 分别根据圆锥的侧面积公式和表面积公式计算即可． 【详解】解：因为圆锥的底面直径是， 所以圆锥的底面半径径r是， 由题意知，母线长， 计算侧面积： 计算底面积： 计算表面积： 故答案为：，． 【变式1】长为4，宽为2的长方形绕其中一边旋转所构成几何体的表面积为多少？（结果保留π） 【变式2】下面是一个圆锥沿着底面直径竖直对半切开后的图形，求它的表面积．（单位：） 【变式3】把一个棱长8厘米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的表面积是多少？ 【变式4】如图，把一个底面半径是的圆锥，切拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比原来增加了，原来圆锥的高是（    ）． A． B．10 C．5 D． 题型05 圆锥的体积 【典例1】母亲节到了，冰冰准备了一个漂亮的水晶杯送给妈妈．如图，这个水晶杯一次最多可以装 毫升水． 【答案】376.8 【分析】本题考查了圆锥的体积公式计算，熟练掌握圆锥的体积公式是解决本题的关键． 根据圆锥的体积公式可求解该水晶杯的体积，再由1立方厘米毫升，即可求解． 【详解】解：由图可知，该圆锥的底面圆半径为，高为， ∴该水晶杯的体积为， ∴这个水晶杯一次最多可以装376.8毫升水． 故答案为：376.8 ． 【变式1】下图是一个直角三角形．（单位：厘米）这个三角形的面积是( )平方厘米；如果以4厘米的这条边为轴旋转一周，形成的立体图形是( )，这个立体图形的体积是( )立方厘米（结果保留π）． 【答案】 6 圆锥 【分析】本题考查了三角形的面积公式、圆锥的认识以及体积公式，掌握圆锥的体积公式是解题的关键． 利用三角形的面积公式、圆锥的体积公式即可解答． 【详解】解：这个三角形的面积是（平方厘米）， 如果以4厘米的这条边为轴旋转一周，形成的立体图形是圆锥， 圆锥的体积是（立方厘米）， 故答案为：6；圆锥；． 【变式2】一个圆锥高，如果沿高切成两半，表面积比原来增加了，则这个圆锥的体积是( )．（取） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的体积，三角形面积计算，先根据一个圆锥高，如果沿高切成两半，表面积比原来增加了，求出圆锥的底面直径，再根据圆锥的体积公式求出结果即可． 【详解】解：∵一个圆锥高，如果沿高切成两半，表面积比原来增加了， ∴圆锥的底面直径为：， ∴这个圆锥的体积为：． 故答案为：． 【变式3】国庆节快到了，爸爸送给小明一个圆锥形玩具，底面半径是，高是，这个玩具的体积是 ，如果要为它制作一个长方体包装盒，这个包装盒的容积至少是 【答案】 376.8 1440 【分析】本题考查了圆锥体积公式，，掌握圆锥体积公式，并能正确代入数值进行计算．对于制作长方体包装盒；理解长方体容积公式为长 × 宽 ×高，以及在实际问题中确定长方体的尺寸以满足特定要求． 【详解】解：圆锥体积公式为， 这里取3．14，底面半径， 高， 代入公式可得：． 要使长方体包装盒容积最小，可把圆锥的底面直径和高作为长方体的长宽和高． 圆锥底面直径为， 长方体容积为． 故答案为：376.8，1440． 【变式4】沙漏又称为沙钟，是我国古代的一种计时仪器，如图所示，该沙漏由两个大小一样的圆锥组成．圆锥形沙漏的底面周长是分米，高是6分米，这个沙漏的体积是多少？ ​ 【答案】立方分米 【分析】本题考查圆锥体积，圆周长，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用圆周长求出半径，然后利用圆锥体积公式求解即可． 【详解】解：圆锥形沙漏的底面半径为： ， ， （分米）， 一个圆锥的体积为： ， ， （立方分米）， 沙漏的体积为： （立方分米）． 答：这个沙漏的体积是立方分米． 题型06 与圆锥有关的比例关系 【典例1】圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大原来的2倍，体积扩大到原来的（   ） A．6倍 B．9倍 C．18倍 D．12倍 【答案】C 【分析】本题主要考查圆锥的相关知识，首先要知道圆锥的定义和特点，还要知道圆锥的体积公式等知识． 【详解】解：设原来的半径和高分别为和，则体积为：； 扩大后的半径为，高为，所以体积为，是原来的18倍． 故选：C． 【变式1】一个圆锥的高不变，底面半径扩大2倍，它的体积扩大（） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 【答案】C 【分析】此题主要考查圆锥的体积的计算方法的灵活应用，设圆锥的底面半径为，高为，则扩大后的半径为，分别求出变化前后的体积，即可求得体积扩大的倍数， 【详解】解：设圆锥的底面半径为，高为，则扩大后的半径为， 原来的体积：， 现在的体积：， 体积扩大：倍； 故选：C． 【点睛】解答此题的关键是明确：在平面图形中，当圆的周长、正方形的周长、长方形的周长相等时，圆的面积最大。 【变式2】一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，小三角形和原三角形的面积比是( )∶( )；从一个圆锥顶部切下一个小圆锥，如果小圆锥的高是原来圆锥高的，小圆锥与剩余部分的体积比是( )∶( )． 【答案】 1 4 1 7 【分析】根据比的意义找出剪切后图形与原来的图形的对应边长的倍数关系是解决此题的关键，利用高或底的比推算出面积比，掌握三角形面积和圆锥体积的计算公式． 根据题意可知，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，说明小三角形的高：大三角形的高，小三角形的底∶大三角形的底，又因为三角形的面积＝底×高，所以小三角形和原三角形的面积比；小圆锥的高∶大圆锥的高，则小圆锥底面半径：大圆锥底面半径，即小圆锥底面积∶大圆锥底面面积，又因为圆锥的体积＝底面积×高×，所以小圆锥体积∶大圆锥的体积，据此可以求出小圆锥与剩余部分的体积比． 【详解】解：小三角形的高：大三角形的高； 小三角形的底∶大三角形的底 ∵三角形的面积＝底×高， ∴小三角形和原三角形的面积比； 小圆锥的高∶大圆锥的高， 小圆锥底面半径：大圆锥底面半径； 则小圆锥底面积∶大圆锥底面面积 因为圆锥的体积＝底面积×高× 所以小圆锥体积∶大圆锥的体积 小圆锥与剩余部分的体积比为 故答案为：1；4；1；7． 【变式3】判断：一个圆锥，底面直径和高都扩大到原来的2倍后，体积要扩大到原来的4倍．( ) 【答案】× 【分析】本题考查圆锥的体积，熟练掌握圆锥体积公式为是解题的关键，当底面直径和高均扩大到原来的2倍时，半径也扩大到原来的2倍，代入公式分析体积变化即可． 【详解】解：设原圆锥的底面半径为，高为，则体积为， 当底面直径和高均扩大到原来的2倍时，则新半径，新高， 新体积为：， 即体积实际扩大到原来的8倍，而非4倍， 因此原命题错误， 故：×． 【变式4】下列说法错误的有（　　） ①两个圆柱的侧面积相等，它们的底面周长和高也一定相等． ②把一个圆柱的侧面剪开只能得到一个长方形． ③圆锥的体积等于圆柱体积的． ④如果圆锥的高扩大到原来的3倍，底面半径缩小到原来的，圆锥的体积不变． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据圆柱与圆锥的关系解答即可． 本题考查了圆柱，圆锥的关系，熟练掌握几何体的体积，面积的计算，熟练掌握计算是解题的关键． 【详解】解：两个圆柱的侧面积相等，它们的底面周长和高不一定相等， ①错误． 把一个圆柱的侧面剪开能得到一个长方形或正方形， ②错误． 圆柱与圆锥等高，底面半径相等的圆锥的体积等于圆柱体积的， ③错误． 如果圆锥的高扩大到原来的3倍，底面半径缩小到原来的，圆锥的体积是原来的， ④错误， 故选：D． 题型07 圆锥的综合题 【典例1】如图1是某景区建造的粮仓模型，图2是从图1中抽象出的立体图形，已知粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为，观察并回答下列问题： (1)粮仓是由两个几何体组成的，他们分别是________； (2)求出该粮仓的容积（结果保留）．（，） 【答案】(1)圆锥、圆柱 (2) 【分析】本题考查圆锥和圆柱的识别及圆锥、圆柱的体积，熟练掌握知识点和公式是解题的关键． （1）根据图形拆分图形即可得到答案； （2）根据圆锥圆柱的体积公式代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由示意图可得， 图形的上部是一个圆锥，下部是圆柱， 故答案为：圆锥、圆柱； （2）解：由题意可得， ∵粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为， ∴ 【变式1】一个直角三角形，，，分别以、边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥（如图），这两个圆锥的体积相等吗？是多少？ 【答案】甲、乙两个圆锥的体积不相等，甲圆锥的体积为，乙圆锥的体积为 【分析】本题一是考查将一个简单图形绕一轴旋转一周所组成的图形是什么图形，二是考查圆锥的体积计算．熟练圆锥的体积公式是解题的关键． 根据圆锥的展开图特点可得：分别以边和边为轴把三角形旋转一周，则这个和的直角边就是得到的圆锥的高，另一条直角边是这个圆锥的底面半径，再利用圆锥的体积公式即可解答． 【详解】解：以边为轴把三角形旋转一周，得到以为高，为半径的圆锥： 则甲的体积为：； 以边为轴把三角形旋转一周，得到以为高，为半径的圆锥： 则乙的体积为：； 即：甲、乙两个圆锥的体积不相等， 答：甲、乙两个圆锥的体积不相等，得到的甲圆锥的体积为，乙圆锥的体积为 【变式2】如图，一个立体图形是从高为，底面直径为的圆柱中挖掉一个圆锥得到的，圆锥的底面积就是圆柱的上底面，圆锥的母线为，求该立体图形的表面积．(结果保留) 【答案】 【分析】本题考查了圆锥和圆柱的表面积，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．利用扇形的面积公式即可求得内面的面积，利用圆面积公式求得底面的面积，然后利用矩形的面积公式求得外侧面的面积，三个的和就是表面积． 【详解】解： 【变式3】将图中的平面图形绕旋转一周，请你算一算平面图形所扫过的空间大小．（取单位：厘米） 【答案】平面图形所扫过的空间大小为立方厘米． 【分析】本题考查圆柱和圆锥的体积，解题的关键是根据图形旋转以后，是一个大的圆柱，在上方又挖去了一个小的圆锥，根据圆锥的体积公式，，圆柱的体积公式，即可． 【详解】解：图中的平面图形绕旋转一周， ∴平面图形所扫过的空间大小为：（立方厘米）． 【变式4】如图，一种太空设备的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知下半部的圆柱的半径，，母线，上半部的圆锥的高，母线，该太空设备在重返地球大气层时，需承受与空气摩擦产生的高热，故其外表面需做特别处理． (1)该太空设备要接受防高热处理的面积大约是多少？（保留π） (2)该太空设备的容积大约是多少？（保留π） 【答案】(1)22.4 (2)16 【分析】本题考查圆锥和圆柱体的侧面积，圆锥和圆柱体的体积，熟练掌握相关公式，是解题的关键： （1）求出圆锥和圆柱体的侧面积之和再加上圆柱的底面圆的面积即可； （2）求出圆锥和圆柱体的体积之和即可． 【详解】（1）解：该太空设备要接受防高热处理的面积大约是； （2）解：该太空设备的容积大约是． 一、单选题 1．圆锥的侧面展开图是一个（   ） A．长方形 B．正方形 C．扇形 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆锥的特征，根据圆锥的侧面展开图特征直接判断． 【详解】解：圆锥的侧面是一个曲面，将其沿一条母线剪开并展开后，形成的平面图形为扇形，展开时，底面圆的周长对应扇形的弧长，母线长作为扇形的半径，因此，圆锥的侧面展开图是扇形． 故选：C． 2．用一个高36厘米的圆锥形容器盛满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是（   ）厘米． A．36 B．18 C．12 D．108 【答案】C 【分析】本题考查圆柱和圆锥的体积，圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的，由此可解． 【详解】解：等底的圆柱与圆锥，体积相同时，圆柱的高等于圆锥的高的， 所以水的高度是：， 故选C． 3．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 4．广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，已知一广西斗笠的底面半径为，母线长，则该斗笠的侧面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选C． 5．一个圆柱和圆锥体积比是，底面半径的比是，圆锥高是12厘米，圆柱高是（   ）厘米 A． B．3 C．36 D．18 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积公式，解题的关键是掌握两个公式． 假设圆柱的高为，圆柱的底面半径为，圆锥的底面半径为，利用圆锥和圆柱的体积公式表示出体积关系，解方程即可． 【详解】解：假设圆柱的高为，圆柱的底面半径为，圆锥的底面半径为，根据题意得， ， 解得， 故选：A． 6．如图中等腰直角三角形的面积是正方形面积的一半．如果以正方形的一边为轴旋转一周得到一个圆柱，以三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥．这个圆柱的体积是圆锥体积的（   ）． A．3倍 B．4倍 C．6倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆锥和圆柱的体积，熟练掌握圆锥和圆柱的体积公式，是解题的关键．先求出圆锥和圆柱的体积，然后再求出它们的倍数关系即可． 【详解】解：∵等腰直角三角形的面积是正方形面积的一半， ∴正方形的边长等于等腰直角三角形的直角边长， 设正方形的边长为a，则等腰直角三角形的直角边长为a，根据题意得： 圆锥的体积为：， 圆柱的体积为：， ∴这个圆柱的体积是圆锥体积的倍． 故选：A． 二、填空题 7．一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆柱的体积是圆锥的倍，圆锥的高是，则圆柱的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆柱和圆锥的体积，解题的关键是掌握圆柱和圆锥的体积公式，设圆柱的底面积为，根据圆锥的体积公式，可得，根据圆柱的体积是圆锥的倍，则圆柱的体积为：，进行解答，即可． 【详解】解：一个圆锥与一个圆柱的底面积相等， ∴设圆柱的底面积为， ∴圆锥的体积为：，圆柱的体积为：， ∵圆柱的体积是圆锥的倍， ∴， ∴（）． 故答案为：． 8．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差28立方厘米，圆锥的体积是 立方厘米． 【答案】14 【分析】设圆锥的体积为x立方厘米，则圆柱的体积为立方厘米，根据题意，列方程解答即可． 本题考查了圆柱的体积，圆锥的体积，一元一次方程的应用，熟练掌握公式和解方程是解题的关键． 【详解】解：由一个圆柱和一个圆锥等底等高， 得圆柱的体积是圆锥体积的3倍， 设圆锥的体积为x立方厘米，则圆柱的体积为立方厘米， 根据题意，得， 解得， 故答案为：14． 9．一个底面半径是，母线长为的圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算．利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故答案为：． 10．如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式． 由题意可知圆锥的母线长为，底面圆直径为，进而根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知圆锥的母线长为，底面圆直径为， ∴底面圆半径为， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为：． 11．如图，圆锥的母线，则其侧面展开图扇形的圆心角，则底面半径 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；也考查扇形的弧长公式：，（n为扇形的圆心角，r为半径）． 根据扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长列式计算即可． 【详解】解：圆锥的母线，则其侧面展开图扇形的圆心角， ， ． 故答案为：． 12．一个内底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水中浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里的水面下降 厘米？ 【答案】1.2 【分析】本题考查了圆柱与圆锥体积的计算，解答此题的关键是理解圆锥形铅锤的体积等于下降部分水的体积． 杯里的水面下降部分的体积等于圆锥形铅锤的体积，根据圆锥体积＝底面积×高，求出杯里的水面下降部分的体积，再用杯里的水面下降部分的体积除以圆柱的底面积，求出杯里的水面下降多少厘米即可． 【详解】下降水的体积： （立方厘米）， 圆柱形玻璃杯的底面半径为厘米 下降高度： （厘米）， 答：杯里的水面下降1.2厘米． 三、解答题 13．一个圆锥形沙堆的底面直径为8米，高90厘米，这堆沙子的体积是多少立方米？ 【答案】立方米 【分析】圆锥的体积底面积高，再代入求出答案即可． 【详解】解：厘米米， 这堆沙子的体积是（立方米）， 答：这堆沙子的体积是立方米． 【点睛】本题考查了圆锥的体积，能熟记圆锥的体积底面积高是解此题的关键． 14．一个圆锥的体积是，高是．这个圆锥的底面积是多少平方分米？若底面是圆形，底面直径是多少分米？（π取） 【答案】底面积，直径． 【分析】本题考查了圆锥的体积公式及圆的面积公式，灵活运用这些公式是解题的关键．由圆锥体积可得；再由得可求出r，直径，代入数据计算即可． 【详解】解：， ， 所以， ． 答：这个圆锥的底面积是28.26，底面直径是6． 15．计算下面图形的表面积和体积．（单位：） 【答案】第一个图形：表面积为；体积为；第二个图形：体积为 【分析】本题考查圆柱的表面积、体积，圆锥的体积，关键是掌握圆柱侧面积的计算方法，圆锥和圆柱体积的计算方法．由圆柱侧面积的计算方法，圆锥和圆柱体积的计算方法，即可计算． 【详解】解：第一个图形的表面积： 第一个图形的体积： 第二个图形的体积： 16．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其上方为圆柱，下方尖锐，玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转．爷爷准备帮乐乐制作一个陀螺，他先将木料初加工成一个底面周长是厘米、高是8厘米的圆柱，然后将圆柱的下部削成锥形，这样陀螺上面的部分还是圆柱，下面的部分是圆锥（如图），这时圆锥和圆柱高度的比是．陀螺的体积是多少立方厘米？（取）    【答案】立方厘米 【分析】先根据底面周长求出底面半径，再求出圆锥和圆柱的高，最后根据公式计算即可． 【详解】解：由题意得 设底面圆的半径为，则有 ， 解得， 圆柱的高为：（厘米）， 圆锥的高为：（厘米）， 所以 （立方厘米）． 答：陀螺的体积是立方厘米． 【点睛】本题考查了圆锥和圆柱的体积公式，掌握圆锥和圆柱的体积公式是解题的关键． 17．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的底面圆的半径的求法，熟练掌握圆锥的弧长等于底面周长是解题的关键； 本题考查圆锥的底面圆的半径的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点，圆锥的底面圆的半径扇形的弧长． 【详解】解：连接，依题意，线段是圆的直径． ， ， ∴圆锥的底面圆的半径； 18．看图计算，下面是某店员制作凤梨百香果汁的过程： 第一步：在右边圆锥形的杯子中装满凤梨汁，倒入左边圆柱形杯子中； 第二步：再往圆柱形杯子中倒入百香果汁，使混合果汁的高度是杯子的； 问：倒入的百香果汁有多少毫升？（1毫升） 【答案】毫升 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，根据圆柱体积计算公式求出混合果汁的体积，根据圆锥体积计算公式求出凤梨汁的体积，二者相减即可得到答案． 【详解】解： 毫升， 答：倒入的百香果汁有毫升． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 圆锥及其侧面展开图 教学目标 1.理解圆锥是由直角三角形旋转形成的立体图形； 2.掌握圆锥是由1 个底面、1 个侧面组成的，理解底面、侧面、高、母线等相关概念； 3.理解圆锥侧面沿母线展开后的图形是 “扇形”，会进行相关的计算； 4.掌握圆锥表面积的组成（1个底面积 + 1 个侧面积），计算有底、无底圆锥的表面积；理解圆锥体积公式，能计算圆锥的体积. 教学重难点 1.重点 圆锥侧面展开图形及表面积、体积的计算； 2.难点 理解圆锥圆锥底面圆的半径与侧面展开图的弧长、圆心角大小以及母线的关系. 知识点01 圆锥的基本概念 1. 面动成体，认识 “圆锥的形成” 如图，将直角三角形ACB以它的一条边CA所在的直线为轴顺时针(或逆时针)方向旋转一周，形成的立体图形叫作_________. . 2. “拆解”圆锥，认识 “圆锥的组成” 核心概念： 底面：底面是1个_________； 侧面：侧面是1个_________，围成圆锥的 “侧面部分”； 高：连接底面_________和_________之间的距离； 母线：圆锥的_________和底圆__________________之间的距离； 知识点02 圆锥的侧面展开图 1. 侧面展开图:侧面展开是个_________,它的弧长是底面圆的_________,它的半径是圆锥的_________. 2. 圆锥的侧面积公式： S=________________________________________ 其中，S侧表示圆锥的侧面积，r、C、l和h分别表示它的底面半径、底面周长、母线长和高. 【即学即练】 例1如图,已知一个圆锥形环保纸杯的侧面展开图是圆心角为108°的扇形，母线长l=10cm. (1)求该圆锥形环保纸杯的底面直径d; (2)求该圆锥形环保纸杯的侧面积(结果保留π). 分析：(1)侧面扇形的弧长是底圆的周长 所以 弧长l=2πr 即πd=___________________ 所以d=__________________ (2)侧面积S侧=_________________=_____（） 知识点03 圆锥的表面积和体积 1. 圆锥的表面积 圆锥的表面由它的侧面和1个底面组成.因此，圆锥的表面积等于它的侧面积与1个底面积的和，即 =__________________________________________ 2. 圆锥的体积 推导圆锥体积公式 【即学即练】 例2如图，已知圆锥形石膏像的底面直径d=20cm,母线长l=30cm.求它的表面积和侧面展开图的圆心角(π取3.14). 解 根据题意，圆锥的底面半径，r=10cm,,母线长l=30 cm,所以圆锥形石膏像的表面积 S表=S侧+S底=_______________=_______(cm²). 圆锥的侧面展开图的圆心角为: n=_______________=_______. 题型01 圆锥的形成和概念辨析 【典例1】1．下面的平面图形运动后，能形成圆锥的是（   ） A．以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周 B．以直角三角形的斜边为轴旋转一周 C．以长方形的一条边为轴旋转一周 D．以平行四边形的一条边为轴旋转一周 【变式2】下面关于圆锥的描述，错误的是（   ） A．圆锥有一个圆形底面 B．圆锥的侧面是一个曲面 C．从圆锥顶点到底面任意一点的距离是圆锥的高 D．圆锥只有一个顶点 【变式3】下列图形中，是圆锥的平面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】圆锥有（   ）条高 A．一 B．三 C．无数 D．无法判断 题型02 求圆锥底圆的半径 【典例1】已知圆锥的侧面展开图的面积是，母线长是5，则圆锥的底面半径为（　　） A． B．3 C．4 D．6 【变式1】用一个圆心角为，半径为8的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（   ） A．3 B． C．2 D． 【变式2】元旦来临，小海在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【变式3】劳动课上，某同学制作了一个母线长为厘米的圆锥形工艺品，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为 厘米． 【变式4】如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为 ． 题型03 圆锥的侧面展开图 【典例1】如图，圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为多少．（结果用表示） 【变式1】一个直角三角形的两条直角边分别长和，以的直角边为轴旋转一周，形成的圆锥的底面半径是 ，高是 ． 【变式2】圆锥的母线长，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的周长 ．（取） 【变式3】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是 【变式4】在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，恰好围成一个圆锥模型（如图）．如果圆的半径为r，扇形半径为R，那么 ． 题型04 圆锥的表面积 【典例1】一个圆锥的底面直径是，母线长是，它的侧面积是 ，表面积是 （π取）． 【变式1】长为4，宽为2的长方形绕其中一边旋转所构成几何体的表面积为多少？（结果保留π） 【变式2】下面是一个圆锥沿着底面直径竖直对半切开后的图形，求它的表面积．（单位：） 【变式3】把一个棱长8厘米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的表面积是多少？ 【变式4】如图，把一个底面半径是的圆锥，切拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比原来增加了，原来圆锥的高是（    ）． A． B．10 C．5 D． 题型05 圆锥的体积 【典例1】母亲节到了，冰冰准备了一个漂亮的水晶杯送给妈妈．如图，这个水晶杯一次最多可以装 毫升水． 【变式1】下图是一个直角三角形．（单位：厘米）这个三角形的面积是( )平方厘米；如果以4厘米的这条边为轴旋转一周，形成的立体图形是( )，这个立体图形的体积是( )立方厘米（结果保留π）． 【变式2】一个圆锥高，如果沿高切成两半，表面积比原来增加了，则这个圆锥的体积是( )．（取） 【变式3】国庆节快到了，爸爸送给小明一个圆锥形玩具，底面半径是，高是，这个玩具的体积是 ，如果要为它制作一个长方体包装盒，这个包装盒的容积至少是 【变式4】沙漏又称为沙钟，是我国古代的一种计时仪器，如图所示，该沙漏由两个大小一样的圆锥组成．圆锥形沙漏的底面周长是分米，高是6分米，这个沙漏的体积是多少？ ​ 题型06 与圆锥有关的比例关系 【典例1】圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大原来的2倍，体积扩大到原来的（   ） A．6倍 B．9倍 C．18倍 D．12倍 【变式1】一个圆锥的高不变，底面半径扩大2倍，它的体积扩大（） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 【点睛】解答此题的关键是明确：在平面图形中，当圆的周长、正方形的周长、长方形的周长相等时，圆的面积最大。 【变式2】一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，小三角形和原三角形的面积比是( )∶( )；从一个圆锥顶部切下一个小圆锥，如果小圆锥的高是原来圆锥高的，小圆锥与剩余部分的体积比是( )∶( )． 【变式3】判断：一个圆锥，底面直径和高都扩大到原来的2倍后，体积要扩大到原来的4倍．( ) 【变式4】下列说法错误的有（　　） ①两个圆柱的侧面积相等，它们的底面周长和高也一定相等． ②把一个圆柱的侧面剪开只能得到一个长方形． ③圆锥的体积等于圆柱体积的． ④如果圆锥的高扩大到原来的3倍，底面半径缩小到原来的，圆锥的体积不变． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07 圆锥的综合题 【典例1】如图1是某景区建造的粮仓模型，图2是从图1中抽象出的立体图形，已知粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为，观察并回答下列问题： (1)粮仓是由两个几何体组成的，他们分别是________； (2)求出该粮仓的容积（结果保留）．（，） 【变式1】一个直角三角形，，，分别以、边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥（如图），这两个圆锥的体积相等吗？是多少？ 答：甲、乙两个圆锥的体积不相等，得到的甲圆锥的体积为，乙圆锥的体积为 【变式2】如图，一个立体图形是从高为，底面直径为的圆柱中挖掉一个圆锥得到的，圆锥的底面积就是圆柱的上底面，圆锥的母线为，求该立体图形的表面积．(结果保留) 【变式3】将图中的平面图形绕旋转一周，请你算一算平面图形所扫过的空间大小．（取单位：厘米） 【变式4】如图，一种太空设备的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知下半部的圆柱的半径，，母线，上半部的圆锥的高，母线，该太空设备在重返地球大气层时，需承受与空气摩擦产生的高热，故其外表面需做特别处理． (1)该太空设备要接受防高热处理的面积大约是多少？（保留π） (2)该太空设备的容积大约是多少？（保留π） 一、单选题 1．圆锥的侧面展开图是一个（   ） A．长方形 B．正方形 C．扇形 2．用一个高36厘米的圆锥形容器盛满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是（   ）厘米． A．36 B．18 C．12 D．108 3．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 4．广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，已知一广西斗笠的底面半径为，母线长，则该斗笠的侧面面积为（   ） A． B． C． D． 5．一个圆柱和圆锥体积比是，底面半径的比是，圆锥高是12厘米，圆柱高是（   ）厘米 A． B．3 C．36 D．18 6．如图中等腰直角三角形的面积是正方形面积的一半．如果以正方形的一边为轴旋转一周得到一个圆柱，以三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥．这个圆柱的体积是圆锥体积的（   ）． A．3倍 B．4倍 C．6倍 二、填空题 7．一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆柱的体积是圆锥的倍，圆锥的高是，则圆柱的高是 ． 8．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差28立方厘米，圆锥的体积是 立方厘米． 9．一个底面半径是，母线长为的圆锥的侧面积为 ． 10．如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面积为 ． 11．如图，圆锥的母线，则其侧面展开图扇形的圆心角，则底面半径 ． 12．一个内底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水中浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里的水面下降 厘米？ 三、解答题 13．一个圆锥形沙堆的底面直径为8米，高90厘米，这堆沙子的体积是多少立方米？ 14．一个圆锥的体积是，高是．这个圆锥的底面积是多少平方分米？若底面是圆形，底面直径是多少分米？（π取） 15．计算下面图形的表面积和体积．（单位：） 16．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其上方为圆柱，下方尖锐，玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转．爷爷准备帮乐乐制作一个陀螺，他先将木料初加工成一个底面周长是厘米、高是8厘米的圆柱，然后将圆柱的下部削成锥形，这样陀螺上面的部分还是圆柱，下面的部分是圆锥（如图），这时圆锥和圆柱高度的比是．陀螺的体积是多少立方厘米？（取）    17．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 18．看图计算，下面是某店员制作凤梨百香果汁的过程： 第一步：在右边圆锥形的杯子中装满凤梨汁，倒入左边圆柱形杯子中； 第二步：再往圆柱形杯子中倒入百香果汁，使混合果汁的高度是杯子的； 问：倒入的百香果汁有多少毫升？（1毫升） 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $