6.2矩形的性质与判定---矩形的判定专题训练卷2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

6.2矩形的性质与判定----矩形的判定专题训练卷 一、单选题 1．如图，在四边形中，对角线交于点．（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图在中，，，以为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 4．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 5．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，若，，，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 7．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 8．如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边的中点所得四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段的中点O，以下操作和判断不正确的是（    ） A．过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形 B．过点O作的垂线交纸条两边于点C，D，得到菱形 C．分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形 D．在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得，得到平行四边形 二、填空题 10．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是 ．（填一个条件即可） 11．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ． 12．如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为 ． 13．在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为 ． 14．已知直角梯形ABCD中，，，，，，则 ． 15．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．则下列说法中正确的有 ． ①四边形是平行四边形： ②如果，那么四边形是矩形； ③如果，则的最小值为 ④如果是的平分线，那么四边形是菱形． 16．四边形中，对角线，相交于点O，给出下列三组条件：①，；②；③，；其中一定能判定这个四边形是矩形的条件有 ．（填写所有正确条件的序号） 三、解答题 17．如图所示，点O是菱形两对角线、的交点，且，，连接． (1)求证：； (2)若菱形的面积为16，求四边形的面积． 18．已知中，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，M是的中点，求的度数． 19．如图，在中，F是的中点，E是线段延长线上一动点，连接，，过点B作，与线段的延长线交于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则在点E运动的过程中： ①当四边形是菱形时，求的值； ②当 时，四边形是矩形． 20．如图，的对角线，相交于点，，．请从下面三个选项中，选择一个作为条件，使是矩形：①；②；③． (1)你添加的条件是_____；（填序号） (2)在（1）的条件下，求证：是矩形． 21．已知：如图，平行四边形的两条对角线相交于点是的中点，过B点作的平行线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？说明理由 22．如图，工人王师傅在制作矩形木框时分①、②、③、④四个步骤进行． ①先截出两对符合规格（每对的长度相等）的等宽木条； ②将步骤①中的木条首尾相接钉成②中的四边形木框； ③将直角工具紧靠四边形木框的一个角，调整木框的边框； ④将木框的边框调整至直角工具的两条边与木框无缝隙时停止． (1)步骤②中四边形是平行四边形吗？并说明理由； (2)上述四个步骤结束时，判断王师傅制作的木框是否为矩形，并说明判断依据． 23．如图，在中，，点分别是的中点．延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，，求四边形的面积． 24．如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，是的一个外角． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交的延长线于点G，连接．（只保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，若，证明：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 平分， ______． 点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ______， ， ， ______． ， ______， 点E是的中点， ， 四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ，， ， 四边形是矩形．（______） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查平行四边形，菱形，矩形的判定和性质，掌握菱形，矩形的判定和性质是关键． 根据题意得到，四边形是平行四边形，结合菱形，矩形的判定和性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， A．若时，平行四边形是菱形， 不能判定，故不符合题意； B．若时，平行四边形是菱形， ∴，故符合题意； C．若时，平行四边形是矩形， 不能证明，故不符合题意； D．若时，平行四边形是矩形， 不能证明，故不符合题意． 故选：B． 2．B 【分析】根据平行四边形和矩形的性质即可判断． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， AB与BC不一定相等， ∴∠BCA不一定45°，故①错误； AC的长度变小，故②正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，故③正确； 矩形对角线不垂直，故④错误； 综上，正确的有②③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键． 3．B 【分析】本题考查了矩形的判定，根据题意正确作图是解题的关键； 根据题意作图，易得，，可证四边形是平行四边形，又，，可证四边形是矩形． 【详解】解：依题意作图如下： 连接，，由作图知，， 四边形是平行四边形， 又，， 四边形是矩形． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 5．D 【分析】本题考查矩形的判定方法，根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意； 故选D． 6．A 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点D作交延长线于点E，证明出四边形是矩形，得到，，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于点E ∵，， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 8．B 【分析】连接、，交于点，根据菱形的性质和中位线定理可知四边形是矩形，根据菱形的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可求，，利用矩形的面积公式可求结果． 【详解】解：如下图所示，连接、，交于点， 四边形是菱形， ，， 又， 是等边三角形， ， 则， ， 点、、、分别是、、、的中点， ，， 同理可得，， 四边形是矩形， 四边形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、矩形的面积公式、等边三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据菱形的性质和三角形的中位线定理证明四边形是矩形． 9．D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定．根据题意画出图形，根据平行四边形、菱形及矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．如图，过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D， ， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 故A选项说法正确，不合题意； B．如图，过点O作的垂线交纸条两边于点C，D， 同理可证四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故B选项说法正确，不合题意； C．如图，分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D， ，，， ， 四边形是矩形， 故C选项说法正确，不合题意； D．如图，在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得， 根据，，不能判定四边形是平行四边形， 故D选项说法错误，符合题意， 故选D． 10．（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记平行四边形的判定与性质、矩形的判定是解决问题的关键．先由平行四边形性质，结合题意得到，，进而判定四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形；②有一个内角是的平行四边形是矩形；分别考虑添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则，， ， ， 在四边形中，，，则四边形是平行四边形， ①当时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或者，均可使四边形是矩形； ②当或或或时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或或或，均可使四边形是矩形； 故答案为：（答案不唯一）． 11．6 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 设，则，再根据翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理列出方程求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵此长方形沿折叠，使点D与点B重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即，解得：． ∴的长为6． 故答案为：6． 12．3 【分析】本题主要考查了菱形的性质的运用，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分． 连接，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到都是直角，即可得到四边形是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又 ∵是的中点， ∴， 又 ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵菱形的面积为， ∴，即， ∴四边形的面积． 故答案为：3． 13． 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短，证明四边形是矩形，得出，，由直角三角形的性质可得，当值最小时，值最小，即当值最小时，值最小．根据垂线段最短，即当时，值最小，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：连接， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 又∵M是的中点， ∴， ∴当值最小时，值最小，即当值最小时，值最小． 根据垂线段最短，即当时，值最小 此时， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．8或24/24或8 【分析】分两种情况画图：①过点 C 作 CE⊥AB 于 E ，再根据勾股定理求出 BE 的长，进而可得 CD 的长；②过点 C 作BE⊥CD于 E ，再根据勾股定理求出 CE 的长，进而可得 CD 的长． 【详解】解：①如下图，过点 C 作CE⊥AB于 E ， 得四边形 DAEC 为矩形， ∴CE = AD =15， CD = AE ， 在 Rt△ABE 中， BC =17，根据勾股定理，得， ， ∴AE = AB - BE =16-8=8， ∴CD =8； ②如下图，过点 C 作BE⊥CD于 E ， 得四边形 ADEB 为矩形， ∴ BE = AD =15， DE = AB =16， 在 Rt△CBE 中， BC =17，根据勾股定理，得 ， ∴ CD = DE + CE =16+8=24， 综上所述： CD 的长为8或24， 故答案为：8或24． 【点睛】本题考查了直角梯形，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是利用分类讨论思想画图解答． 15． 【分析】本题考查了平行四边形、矩形和菱形的判定，勾股定理，角平分线的性质等知识，根据平行四边形的判定可判断①，根据矩形的判定可判断②，由题意可知当时，最小，由勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出，可判断③，由，得到，由是的平分线，得到，从而得到，得出，再根据菱形的判定可判断④，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，故①符合题意； 又∵， ∴四边形是矩形，故②符合题意； 如图： ∵ ∴四边形是矩形， 当时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故④符合题意； 综上，符合题意的有， 故答案为：． 16．②③/③② 【分析】此题主要考查了矩形的判定方法直角三角形的性质．根据题意画出示意图，根据矩形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：①如图， ，，四边形可能是等腰梯形，故①不能判定这个四边形是矩形； ②如图， ， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形；故②能判定这个四边形是矩形； ③如图，取中点M，连接，则 ∵， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴重合， ∴四边形是矩形（对角线相等且平分）；故③能判定这个四边形是矩形； 故答案为：②③． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，结合菱形的性质得，，然后得出四边形是矩形，再整理线段之间的关系，得，即可作答． （2）因为四边形是菱形，则，，故，整理得，然后代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ， ∵， ， （2）解：∵四边形是菱形， ，， 即， 则 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等和对顶角相等可证，再根据等角对等边可证结论成立； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可证是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一定理可证，证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：如图所示，连接． ∵， ∴． 又 ， ∴． ∴，． ∵点M是的中点， ∴． ∴． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． 【点睛】本题考查了四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)①6；②3 【分析】（1）由平行线的性质得，再由对顶角相等得，进而证得，得，再根据平行四边形的判定证明即可； （2）①由题意得，由菱形的性质得，再根据等边三角形的判定与性质证明即可； ②由（1）得，四边形是平行四边形，由矩形的判定得，当，四边形是矩形，此时，再利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①∵， ∴， ∵四边形是菱形， ， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； ②由（1）得，四边形是平行四边形， 当，四边形是矩形， 此时，∵， ∴， ∴， ∴当时，四边形是矩形， 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、对顶角相等及直角三角形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 20．(1)①或②或③ (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）选一个条件即可； （2）利用平行四边形的性质结合三角形全等的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：①或②或③； （2）证明：选①， ，， ， 在和中，， ， ． 四边形为平行四边形， ，， ，即， 四边形是矩形； 选②， 证明：，， ， 在和中，， ， ∴ ∴． 四边形为平行四边形， ，， ，即， 四边形是矩形． 选③， 证明：四边形为平行四边形， ，，，． ，， 在和中，， ， ， ， ， ， ． ，， ，即， 四边形是矩形． 21．(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析. 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，可得，再结合平行四边形对角线互相平分即可得出结论； （2）由，即可得出四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ， 在和中， ， ∴， ． 又∵在平行四边形中，， ∴， （2）当时，四边形是矩形， 理由：∵， 四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴平行四边形是矩形， 22．(1)步骤②中四边形是平行四边形，理由见解析； (2)四个步骤结束时，王师傅制作的木框为矩形，判断依据见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理． （1）根据平行四边形的判定定理，可得四边形的形状； （2）由平行四边形的性质可知对边平行，根据平行线的性质，结合已知可得四边形的内角，根据矩形的判定定理，可得四边形的形状． 【详解】（1）解：步骤②中四边形是平行四边形， 理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 答：步骤②中四边形是平行四边形． （2）解：四个步骤结束时，王师傅制作的木框为矩形， 判断依据： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵步骤④中，， ∴，， ∴四边形为矩形， 答：四个步骤结束时，王师傅制作的木框为矩形． 23．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，即得，由三角形中位线的性质可得，进而得到，即可求证； （）利用三角形中位线和矩形的性质可得四边形是平行四边形，，即得，得到，再根据角平分线的定义可得，即可得，由等腰三角形的性质得，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 24．(1)见解析 (2)，，，，对角线相等的平行四边形是矩形． 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，矩形的判定等知识．掌握矩形的判定是解答本题的关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先利用角平分线的定义得到，再利用三角形中位线性质得到．则．所以，于是得到，接着利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形为矩形得到四边形是矩形． 【详解】（1）解∶如图，、为所作∶ （2）证明：平分， ． 点E，F分别是，的中点， 是的中位线． ． ． ． ． ， ． 点E是的中点， ． 四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ，， ． 四边形是矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）． 故答案为∶ ，，，，对角线相等的平行四边形是矩形． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $