第七章 第三节 万有引力理论的成就-【创新教程】2025-2026学年高中物理必修第二册五维课堂教师用书word（人教版）

本讲义聚焦万有引力理论的成就，系统梳理利用万有引力定律计算天体质量（地球、太阳及行星）、发现未知天体（如海王星）、分析天体运动规律及双星问题的知识体系，构建从原理到应用的学习支架。 通过探究导入（如卡文迪什测地球质量）、典例赏析（月球平抛运动求质量）及针对训练，培养物理观念（运动与相互作用）和科学思维（模型建构、科学推理），渗透科学态度与责任。课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第三节　万有引力理论的成就 学 科 素 养 物理 观念 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用． 2．了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量． 3．理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法． 科学态度与责任　 1.体会万有引力定律对人类探索未知世界的作用． 2．了解人造卫星的相关知识． 3．知道科学的发展是人类认识世界和推动人类进步的强大动力. [知识梳理] 一、计算天体的质量 1．地球质量的计算 (1)依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G. (2)结论：M＝　　，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量． 2．太阳质量的计算 (1)依据：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝　　. (2)结论：M＝　　，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r，就可以计算出太阳的质量． 3．其他行星质量的计算 (1)依据：绕行星做匀速圆周运动的卫星，同样满足G＝　　(M为行星质量，m为卫星质量)． (2)结论：M＝　　，只要知道卫星绕行星运动的周期T和半径r，就可以计算出行星的质量． 二、发现未知天体及预言哈雷彗星回归 1．海王星的发现 英国剑桥大学的学生　亚当斯　和法国年轻的天文学家　勒维耶　根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的　伽勒　在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星． 2．其他天体的发现 近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了　冥王星　、阋神星等几个较大的天体． 3．预言哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷依据　万有引力定律　，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为　76　年． [基础自测] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力．( × ) (2)绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力．( √ ) (3)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量．( × ) (4)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．( √ ) (5)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析．( √ ) (6)冥王星被称为“笔尖下发现的行星”．( × ) 2．下列说法正确的是(　　) A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的 B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的 D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星 解析：D　[由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A、B、C错误，D正确．] 3．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足(　　) A．GM＝　　　　　 B．GM＝ C．GM＝ D．GM＝ 解析：A　[本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解．对行星有：＝mr，故GM＝，选项A正确．] 计算天体的质量与密度 ◆[探究导入] 1．(1)卡文迪什在实验室里通过实验测出了引力常量G的值，他是怎样“称量”地球的质量的呢？ (2)已知地面附近的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，试估算地球的质量． 提示：(1)在地球表面，物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，即mg＝G，解得地球的质量M＝，只要测出G、g、R，便可“称量”地球的质量． (2)M＝＝ kg≈ 6.0×1024 kg. 2．如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？ 提示：由＝m地r知M太＝. 由密度公式ρ＝可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径． ◆[探究归纳] 1．天体质量的计算 (1)重力加速度法 若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”． (2)环绕法 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”．常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 G＝mrω2 M＝ G＝mr M＝ 2.天体密度的计算 若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝. 特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝. ◆[典例赏析] [例1]　(多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R，万有引力常量为G.则下列说法正确的是(　　) A．月球表面的重力加速度g月＝ B．月球的质量m月＝ C．月球的自转周期T＝ D．月球的平均密度ρ＝ 解析：AB　[根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，选项A正确；由mg月＝G，解得m月＝，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝＝，选项D错误．] 求解天体质量和密度时的两种常见误区 (1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量． (2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R. ◆[针对训练] 1．土星最大的卫星叫“泰坦”，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　) A．5×1017 kg　　　　　 B．5×1026 kg C．7×1033 kg D．4×1036 kg 解析：B　[卫星绕土星运动，土星对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力．设土星质量为M，则有＝mR，解得M＝，代入数据计算可得：M＝ kg≈5×1026 kg，故B正确，A、C、D错误．] 天体运动的分析与计算 ◆[探究导入] 如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动． (1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？ (2)如何比较地球、火星等行星绕太阳的运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？ 提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力． (2)由G＝man＝m＝mω2r＝mr表达式可知线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系． ◆[探究归纳] 1．解决天体运动问题的基本思路 一般行星或卫星的运动可看成匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度． 2．四个重要结论 项目 推导式 关系式 结论 v与r的关系 G＝m v＝ r越大，v越小 ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大，ω越小 T与r的关系 G＝ mr2 T＝2π r越大，T越大 a与r的关系 G＝ma a＝ r越大，a越小 ◆[典例赏析] [例2]　有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一．现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求： (1)它们与太阳间的万有引力之比； (2)它们的公转周期之比． [解析]　(1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比＝＝. (2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有G＝m2r 所以，天体绕太阳运动的周期T＝2π 则两天体绕太阳的公转周期之比＝. [答案]　(1)　(2) ●[一题多变] 上例中，若r1＞r2，则两行星的运行的角速度ω1、ω2和线速度v1、v2的关系怎样？ 提示：ω1＜ω2，v1＜v2. ◆[针对训练] 2．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比(　　) A．轨道半径变小 B.向心加速度变小 C．线速度变小 D．角速度变小 解析：A　[探测器做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则：G＝mr，整理得T＝2π，可知周期T较小的轨道，其半径r也小，A正确；由G＝man＝m＝mω2r，整理得：an＝G，v＝，ω＝，可知半径变小，向心加速度变大，线速度变大，角速度变大，故B、C、D错误．] 宇宙双星问题 ◆[探究归纳] 如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动．双星具有以下特点： (1)由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同． (2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等． (3)轨道半径与质量的关系 由F＝mrω2和L＝r1＋r2，可得r1＝L，r2＝L，则＝. ◆[典例赏析] [例3]　(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　) A．质量之积 B.质量之和 C．速率之和 D．各自的自转角速度 解析：BC　[由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T＝ s，两中子星的角速度均为ω＝，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有： G＝m1ω2r1、G＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得m1＋m2＝，A错误，B正确；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误．] ◆[针对训练] 3．(多选)宇宙观测发现，在宇宙中甲、乙两个星体组成的双星系统，它们同时绕其连线上的某点O做匀速圆周运动，已知甲、乙的质量之比为7∶1，由此可知(　　) A．甲、乙的线速度大小之比为7∶1 B．甲、乙的向心力大小之比为1∶1 C．甲、乙的运行轨道半径之比为1∶7 D．甲、乙的周期之比为1∶7 解析：BC　[作为双星系统，甲、乙两星体周期是相等的，角速度也是相等的，它们之间的万有引力提供各自的向心力得：mω2r＝Mω2R，甲、乙质量比为7∶1，所以甲、乙运行轨道半径之比为1∶7，根据v＝ωr可知，线速度之比为1∶7，故A错误，C正确；它们之间的万有引力提供各自的向心力，则甲、乙向心力大小相等，故B正确；甲、乙两星体可视为双星系统，周期是相等的，故D错误．] 课堂小结 知识脉络 1.不考虑地球自转的影响，地面上物体所受重力等于地球对物体的引力，即mg＝G，可得地球质量M＝，该公式同样适用于其他天体． 2、根据万有引力提供行星做圆周运动的向心力，只要测得某行星绕太阳运行的轨道半径r和周期T，就可得太阳的质量为M＝ [知识点一]　天体质量和密度的计算 1．利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　　) A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 解析：D　[不考虑地球自转的情况下，在地球表面，重力等于万有引力，mg＝G，M＝，能计算出地球的质量；人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动时，G＝m，又有v＝r，已知速度及周期时，联立可求得地球的质量；月球绕地球做圆周运动时，G＝mr，在已知周期和地月间距离的情况下，可以求出地球的质量；地球绕太阳做圆周运动时，我们只能求出中心天体太阳的质量，不能求出地球的质量，故选D.] 2．已知金星和地球的半径分别为R1、R2，金星和地球表面的重力加速度分别为g1、g2，则金星与地球的质量之比(　　) A.　　　　　　　 B． C. D. 解析：A　[根据星球表面物体重力等于万有引力，即mg＝G，得M＝ 所以有＝，故A正确，B、C、D错误．] 3．(多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为(　　) A. B. C. D. 解析：AC　[根据G＝mr得，M＝，选项A正确、B错误；在地球的表面附近有mg＝G，则M＝，选项C正确，选项D错误．] [知识点二]　天体运动的分析与计算 4．人造地球卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　) A．半径越大，速度越小，周期越小 B．半径越大，速度越小，周期越大 C．所有卫星的速度均是相同的，与半径无关 D．所有卫星的角速度均是相同的，与半径无关 解析：B　[由万有引力提供向心力可知，G＝m＝mω2(R＋h)＝m(R＋h)．故半径越大，速度越小，角速度越小，周期越大，故选项B正确．] 5．我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高．今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是(　　) A．周期 B.角速度 C．线速度 D．向心加速度 解析：A　[卫星围绕地球做匀速圆周运动，满足G＝mr＝mω2r＝m＝ma，由此可推出，半径r越小，周期T越小，选项A正确，半径r越小，角速度ω、线速度v、向心加速度a越大，选项B、C、D错误．] 6．“嫦娥三号”探测器是我国嫦娥工程二期中的一个探测器，是中国第一个月球软着陆的无人登月探测器．设“嫦娥三号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h，已知月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则卫星绕月球运动的向心加速度为多少？线速度为多少？ 解析：卫星做匀速圆周运动，设卫星质量为m， 由万有引力提供向心力知 ＝ma＝ 解得a＝，v＝ 答案：　 [合格考练] 1．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有 (　　) A．月球的质量　　　 B．地球的质量 C．地球的半径 D．地球的密度 解析：B　[由天体运动规律知，G＝mR可得，地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B正确．] 2．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要(　　) A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径 C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度 解析：A　[取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故选A.] 3．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为(　　) A．0.2 g B.0.4 g C．2.5 g D．5 g 解析：B　[在星球表面有mg＝，设火星表面的重力加速度为g火，则＝＝0.4，故B正确．] 4．月球表面重力加速度是地球表面重力加速度的，若已知月球半径约为1.72×103 km，万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，地球表面重力加速度为9.8 m/s2.试估算月球质量的数量级为(　　) A．1016 kg B.1020 kg C．1022 kg D．1024 kg 解析：C　[根据G＝mg可得M＝，则M月＝＝ kg＝7.2×1022 kg，选项C正确．] 5．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg　b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg　b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星与太阳的质量比约为(　　) A. B.1 C．5 D．10 解析：B　[研究行星绕某一恒星作匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力知：＝mr，解得M＝；“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，所以该中心恒星与太阳的质量比约为≈1，选项B正确．] 6．若将地球同步卫星和月球绕地球的运动均视为匀速圆周运动，下列相关说法正确的是(　　) A．月球的周期比同步卫星的周期小 B．月球的角速度比同步卫星的角速度大 C．月球的线速度比同步卫星的线速度大 D．月球的向心加速度比同步卫星的向心加速度小 解析：D　[因为地球同步卫星的轨道半径大约为3.6×107 m，小于月球的轨道半径；卫星绕地球圆周运动的向心力由万有引力提供，G＝m＝m2r＝ma＝mrω2；则周期T＝，可知半径大则周期大，因此月球的周期比同步卫星的周期大，故选项A错误；角速度ω＝，因为月球轨道半径大于同步卫星轨道半径，故ω月<ω同，故B错误；线速度v＝，因为月球轨道半径大于同步卫星轨道半径，则月球的线速度比同步卫星的线速度小，故C错误；a＝，因为月球轨道半径大于同步卫星轨道半径，故a月<a同，故D正确．] [等级考练] 7．已知引力常量，根据下列选项提供的数据，可以估算地球与月球之间距离的是(　　) A．月球绕地球公转的周期和月球的半径 B．月球的质量与月球的半径 C．地球的质量和月球绕地球公转的周期 D．地球的质量和地球的半径 答案：C 8．(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统．它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，双星系统中两颗恒星的质量关系描述正确的是(　　) A．这两颗恒星的质量必定相等 B．这两颗恒星的质量之和为 C．这两颗恒星的质量之比为m1∶m2＝R2∶R1 D．必有一颗恒星的质量为 解析：BCD　[对于两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得＝m1R1＝m2R2，所以两星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1，C正确；由上式可得m1＝，m2＝，D正确，A错误；m1＋m2＝，B正确．] 9．土星和地球均可近似看作球体，土星的半径约为地球半径的9.5倍，土星的质量约为地球质量的95倍，已知地球表面的重力加速度g0＝10 m/s2，地球密度约为ρ0＝5.5×103 kg/m3，试计算： (1)土星的密度． (2)土星表面的重力加速度． 解析：(1)星体的密度ρ＝＝， ＝＝＝0.11， 故土星的密度约为ρ＝0.11ρ0＝0.61×103 kg/m3. (2)根据星球表面的物体受到的万有引力近似等于物体的重力， mg＝G，g＝， 则＝＝＝1.05. 所以土星表面的重力加速度g＝1.05g0＝10.5 m/s2. 答案：(1)0.61×103 kg/m3　(2)10.5 m/s2 10．某人造地球卫星沿圆轨道运动，轨道半径是6.8×103 km，周期是5.6×103s，已知：G＝6.67×10－11N·m2/kg2.请根据这些数据计算： (1)人造地球卫星绕地球运动的角速度．(计算结果保留两位有效数字) (2)地球的质量．(计算结果保留一位有效数字) 解析：(1)设人造地球卫星绕地球运动的角速度为ω，则有：ω＝＝1.1×10－3 rad/s. (2)设地球的质量为M，地球与人造地球卫星间的万有引力充当卫星做圆周运动的向心力，则：G＝m2r 所以M＝ ＝ kg ＝6×1024 kg. 答案：(1)1.1×10－3 rad/s　(2)6×1024 kg 学科网（北京）股份有限公司 $