重难点10-2 几何辅助线构造核心方法（三角形特殊角度与全等三角形7大类型6种高频题型配套）（复习讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦几何辅助线构造核心方法，覆盖三角形特殊角、二倍角、绝配角及倍长中线等7大类型和6种高频题型，通过“深挖重难固根基”“分层锤炼验成效”架构，结合考点梳理、方法指导与2025年各地中考真题训练，帮助学生系统突破几何难点。 亮点在于分层训练设计与核心素养培养，如通过“翻折法构造等腰三角形”解决二倍角问题，结合一线三垂直模型真题讲解，发展学生几何直观与推理能力。特设基础与创新能力分层练习，配合即时反馈机制，助力学生高效提升应考能力，为教师提供精准复习节奏把控依据。

重难点10-2 几何辅助线构造核心方法 （三角形特殊角与全等三角形・7大类型6种高频题型配套） 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 15 固·重难考点 拓·创新能力 一、三角形遇特殊角 ✅ 类型 1：遇特殊角（30°/45°/60°/90°） · 作垂线，构造直角三角形 · 利用特殊角的三角函数值计算边长 ✅ 类型 2：遇特殊角的补角（120°/135°/150°） · 作垂线，构造直角三角形 · 将钝角转化为特殊锐角来处理 ✅ 类型 3：遇特殊角的和差 · 作垂线，构造直角三角形 · 拆分角度，转化为熟悉的特殊角 二、三角形遇二倍角 ✅ 类型 1：翻折法 · 翻折三角形，构造等腰三角形 · 使二倍角转化为等角，实现角度等量代换 ✅ 类型 2：延长法 · 延长某条线段，构造等腰三角形 · 利用外角性质，使二倍角与底角建立联系 ✅ 类型 3：分大角 · 作角平分线，将大角拆分为两个小角 · 构造全等或相似三角形，实现线段转化 三、三角形遇绝配角（α+2β=180∘） ✅ 核心思路： · 构造等腰三角形，利用角度互补关系 · 转化为等角，结合全等 / 相似三角形求解 四、倍长中线模型 ✅ 核心思路： · 延长中线至两倍长度，构造全等三角形 · 转移线段和角度，将分散条件集中 ✅ 适用场景： · 题目中出现 “中线” 或 “中点” · 需要证明线段不等关系或数量关系 五、截长补短模型 ✅ 核心思路： · 截长：在长线段上截取一段等于短线段，证明剩余部分相等 · 补短：延长短线段，使它等于长线段，证明两线段相等 ✅ 适用场景： · 证明线段和差关系（如 a+b=c） · 角平分线、垂直平分线相关证明 六、一线三垂直模型 ✅ 核心思路： · 构造三个直角，利用 “同角的余角相等” 证明三角形全等 · 实现线段的等量代换 ✅ 适用场景： · 坐标系中证明线段相等或垂直 · 含直角的几何综合题 七、手拉手模型 ✅ 核心思路： · 共顶点的两个等腰三角形，旋转后构造全等三角形 · 转移角度和线段，产生新的等量关系 ✅ 适用场景： · 等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形的旋转问题 · 证明线段相等、垂直或角度相等 题型01 三角形遇特殊角 类型一 遇特殊角，作垂线，构建Rt△ 1．（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则，求出，，利用，得出，，相加即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（2025·四川巴中·中考真题）某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． (1)求点B到的距离； (2)求高压电塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)20m (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作于点，解直角三角形即可解答； （2）求得，进行角度计算得到，则可求得，再解直角三角形即可解答． 【详解】（1）解：如图，作于点， ， ； （2）解：由（1）得： ， ， ， ， ，， ． 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，可得四边形为矩形，在中，，则，解，可得，再由即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 由题意得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 答：楼房高度约为． 4．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为，先解求出，再得到为等腰直角三角形，最后再运用勾股定理求解； （2）过点作于点，对运用等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）解：过点作的垂线，垂足为，则， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到线段的距离为． 类型二 遇特殊角的补角，作垂线，构建Rt△ 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【答案】 【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案． 【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点． 由题意得，，，， ，之间的距离为，在的中点处， ， ∵中，， ，， ，为中点， ∴， 为的中点， 即，， 设 ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键． 2．（2025·贵州遵义·二模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号） (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点到所在直线的距离．（精确到，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）延长交于，证，由含角的直角三角形的性质得，，即可得出答案； （2）过点作垂直于地面，垂足为，过作交的延长线于，交于点，过点作交延长线于点，则四边形是矩形，利用解直角三角形及矩形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，延长交于， 垂直于地面，上臂与水平面平行， ， ，， ， ，， ， 即点到地面的距离为； （2）解：如图，过点作垂直于地面，垂足为，过作交的延长线于，交于点，过点作交延长线于点，则四边形是矩形， ∴， ， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 点到所在直线的距离为． 3．（2024·四川成都·二模）平板支架是一种可以固定和支撑平板电脑或其他电子设备的装置．它可以使平板电脑保持平稳不动，方便使用者进行多种操作，例如观看电影、阅读文献、打字及视频会议等． 如图，在侧面示意图中，，，可分别绕点，，转动，测得，，，，，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】点到的距离约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点，根据题意可得：，，， ，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再利用平角定义可得，从而可得，进而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点， 由题意得：，，，， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，， 在中，，， ， ， 点到的距离约为． 类型三 遇特殊角的和差，作垂线，构建Rt△ 1．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 2．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，、、、分别是某公园的四个景点，为了推进全民健身的发展，我市在四个景点之间分别修建了、、、四条健身步道．经勘测，景点在景点的正北方向且之间距离为米，景点在景点的东北方向，且在景点的北偏东方向，景点在景点的南偏东方向，且在景点的南偏西方向．（参考数据：，） (1)求景点、之间的距离（结果精确到个位）； (2)小明和小颖用相同速度同时从景点出发去景点，小明选择路线——，小颖选择路线——，请通过计算说明小明和小颖谁先到达景点． 【答案】(1)约为米 (2)小明先到达景点 【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用，二次根式，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握方向角中的三角函数的应用是解题的关键． （1）过点作于点，先在中，利用三角函数求出，再在中利用三角函数求出； （2）先求出和，再分别求出的三角度数，再利用三角函数求出和，利用，求出两人路程，再由速度相同，即可比较． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题可得，，，，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴（米）， 答：景点、之间的距离约为米； （2）解：在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴（米）， （米）， ∵， ∵两人速度相同， ∴小明先到达景点． 3．（2025·安徽宿州·模拟预测）九年级数学兴趣小组在学完解直角三角形的相关知识后，利用周末时间测量学校对面山上的瞭望塔的高度，如图，小组成员小彬站在的斜坡上的点A处测量对面依山而建的瞭望塔的高度，点A到地面的距离，由测量知：视线与斜坡的夹角，．求瞭望塔的高度．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A作于点G，可证明四边形为矩形，，，，则可求出，进而得到，解得到，则，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，过点A作于点G，则， 由题意知， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴． 答：瞭望塔的高度约为． 题型02 三角形遇二倍角 类型一 已知内角存在二倍关系，想到翻折 1．（2025珠海市模拟）数学活动：折纸与证明． （1）如图1，在中，，怎样证明呢？如图2，小明以“折叠”为思路：将沿折叠，使点C落在边的点D处，然后可以证明，试写出小明的证明过程； 感悟与应用： （2）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程； （3）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）14 （3）结论：，理由见解析 【分析】（1）如图1中，将沿折叠，使点C落在边的点D处，连接．证明，可得结论； （2）由折叠的性质得到，由“”可证，可得，，由三角形外角的性质结合已知条件证得，由等腰三角形的判定得到，即可求解； （3）由“”可证，可得，，，由三角形外角的性质结合已知条件证得，由等腰三角形的判定得到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1中，将沿折叠，使点C落在边的点D处，连接． 则，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：将沿折叠，点C落在边上的点处，连接， 则，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：结论：． 理由：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．（2025·湖北恩施·一模）已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）先根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点，再利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，求出直线的解析式为，再求出直线的解析式，令，求出点，根据，建立方程求解即可； （3）设点，由易证是等腰直角三角形，得到，分和两种情况讨论，利用正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵物线的对称轴为直线，且经过点和，则B点坐标为， 则抛物线 将代入上式中， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）设点M的坐标为，直线的解析式为 ∵代入上式得： 再将点代入上式得： ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 令 解得：， ∴ ∵是以为底的等腰三角形， ∴ 则 解得 ∴P的坐标为或； （3）设点， ∵ ∴ ∴ ∴使得中有一个角是的2倍 则为直角三角形 当时，如图，过点Q作轴于点D， ∵ ∴ ∴ ∵，，，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴； 当时，如图，过点Q作轴于点F， 同理： ∵，， ∴， ∴，则， ∴； 当时，该情况不存在 ∴Q点的坐标为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及等腰三角形的判定、二次函数的最值，解直角三角形等知识，考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强． 类型二 已知内角存在二倍关系，想到延长 1．（2025九江市模拟）问题发现：如图1，在中，是边上的高，若，请写出的数量关系？并说明理由． 在解决问题时，两名同学给出了以下两种思路： ①如图2，小明从截长的角度，以为圆心、为半径画圆弧交于点，从而使问题得到解决； ②如图3，小亮从补短的角度，以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，从而使问题得到解决． （1）请你从以上两种思路，选择一种思路，写出证明过程． 知识应用：（2）如图4，与交于点，，，，试猜想的数量关系？并说明理由． 问题解决：（3）如图5，在中，，，试求的长度． 【答案】（1）的数量关系是；（2）的数量关系是；（3） 【分析】（1）由小明或小亮的尺规作图，结合等腰三角形的判定与性质即可得到答案； （2）以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，连接，如图所示，由（1）中思路，同理即可得证； （3）过点作，以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，如图所示，由（1）中思路，同理求解即可得到答案． 【详解】解：（1）小明思路： 如图所示： 由题意可知，则， 在等腰中，是边上的高，则， ， ，则， ， 的数量关系是； 小亮思路： 如图所示： 由题意可知，则， 在等腰中，是边上的高，则， ， ，则， ， 的数量关系是； （2）以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，连接，如图所示： 由题意可知，则， ，， 是的中垂线，则， 在等腰中，，则， ， ，则， ， 的数量关系是； （3）过点作，以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，如图所示： 由题意可知，则， ， ， ， ，， 在等腰中，， 在中，，，则，由勾股定理可得， ， ． 【点睛】本题考查几何综合，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、中垂线的判定与性质、三角形外角性质、含直角三角形性质、勾股定理等知识，数形结合，灵活运用等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 2．（2025武汉市模拟预测）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：． 小明的方法是：如图2，在上截取AE，使，连接，构造全等三角形来证明结论． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．简易过程是：延长至点F，使______，连接， ∴，则有， 从而结合平分，通过______定理证明， ∴； 请在图1中画出相应的辅助线，并补全小天的证明过程； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，已知分别平分、、，且．求证：；请你解答小芸提出的这个问题； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在上，，那么AD平分． 小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4证明这个命题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定： （1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论； （2）在上截取，使，连接，则可利用证明，得到，再证明，得到，即可证明结论； （3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论． 【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则， ∴， ∴， ∵平分 ∴，   在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图3，在上截取，使，连接， ∵分别平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即平分． 【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键． 3．（2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学试题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等得出两角相等，从而得出两边相等； （2）利用圆的性质及矩形的性质与判定来论证线段的关系； （3）先通过全等三角形得到线段长度，再结合已知条件求出相关线段长度，最后求三角形面积． 【详解】（1）证明：为的直径， ． 设． ， ， ， ． ． ． ． （2）证明：连接，，并延长交于点． ， 垂直平分， ，， 是的切线， ． 是的直径， ， 四边形是矩形， ， ． （3）解：如图，连接，，并延长交于点， 为的中点， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴≌， ， ， 设，则． 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ，， ，　　　 ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数及三角形的面积等知识点，关键是灵活应用知识点解决问题． 4．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 类型三 已知内角存在二倍关系，想到分大角 1．（2025·内蒙古通辽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于点和，交y轴于点C．点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，，当的面积最大时，求点P的坐标和的面积最大值； (3)抛物线上是否存在一点E，使得，若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，最大值是8 (3)或 【分析】（1）由点和在抛物线上可设设抛物线解析式为：，再进一步求解即可； （2）求解直线解析式为：．过P做轴交直线于点Q，设，，结合，再进一步求解即可； （3）作的垂直平分线交x轴于F，可得，求解，在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取，可得，可得，再分两种情况讨论：当N在x轴上方时，，当N在x轴下方时，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象交x轴于点和， ∴设抛物线解析式为：． ∵， ∴， ∴ ∴抛物线解析式为：． （2）解：连接，∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线解析式为：． 过P作轴交直线于点Q， 设，， ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大值是8． 此时， ； （3）解：作的垂直平分线交x轴于F， ∴， ∴， ∴， 设，则． 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取， ∴， ∴， 当N在x轴上方时，， 此时，，， ∴同理可得：直线的解析式为：． ∴， 解得或， ∴； 当N在x轴下方时，， 此时，，， ∴同理：直线的解析式为：． 此时， ∴， 解得或， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积以及角度问题，锐角三角函数的应用，难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点的直线交的延长线于点，设的长为，求与的函数关系式； (3)如图3，连接交于点，交抛物线于点，于点，连接， ，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令求解即可； （2）令，表示出，，，然后根据的长为求解即可； （3）设，证明得，求出，设，可得，在上取一点，使，连接，求出得，从而，根据得，求出，证明得，求出，求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴，． ∴． （2）∵抛物线与轴交于点． ∴令． ∴． ∴． ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即． ∵在直线上， ∴当时，． ∴． ∵轴， ∴． 当时，， ∴，， ∴． ∴． （3）∵在抛物线上， 设． ∵， ∴，，． ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 设， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 在上取一点，使，连接． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，， 在中，． ∴．即． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵轴， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴在中，． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，锐角三角函数，难度较大，属中考压轴题． 3．（2025·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是． (1) ________， ________； (2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点． ①连接，若，求的取值范围； ②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2； (2)①或且；②或 【分析】（1）根据顶点横坐标可得对称轴为直线，再由对称轴计算公式可得b的值，把点C坐标代入解析式即可求出c的值； （2）①先求出，再求出，根据，可得；则可求出且，求出直线恰好经过点，点，点时，k的值即可得到答案； ②联立得，根据直线与该抛物线有且只有一个公共点，可得关于x的方程有两个相等的实数根，则可求出，据此可得到，取，作直线，可证明，得到，则，即可得到直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；过点D作，过点D作交直线于I，则，，可推出直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，得到设，由，得到，则，同理可得此时点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的横坐标是， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴； （2）解：①∵， ∴， 由（1）可得抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴且， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴当时，或且； ②联立得， ∵直线与该抛物线有且只有一个公共点， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴直线l解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 如图所示，取，作直线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，过点D作，过点D作交直线于I， ∴， ∴， ∵ ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； ∵， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于利用分类讨论的思想求解即可． 题型03 三角形遇绝配角 1．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在中，，点在边上，是边的中点，，交的延长线于点，连接，．若，，，则 ． 【答案】 【分析】先证明，推出，又，可得四边形是平行四边形；作于H．首先证明四边形是菱形，再证明，得到，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 作于H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点D为中点，过点B作，连接，交于点F，若，，，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形判定及性质等．连接，过点作，交于点，求出，继而得到，再证明，继而利用相似性质求解． 【详解】解：连接，过点作，交于点， ∴， ∵点D为中点，， ∴是的中位线，， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：13． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四边形中，，过点A作的垂线交于点E，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，点作于，过点作交延长线于， 连接， 则四边形是矩形，可证明，推出四边形是正方形，则， ， 如图所示， 在上取一点， 使得， 连接， 可证明，推出， 则，； 设， 导角可证明， 则， 设， 由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】如图所示，过点作于，过点作交延长线于， 连接，∵， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ， 如图所示，在上取一点，使得，连接， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 设， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 设， 则，， 在中， 由勾股定理得，即， 解得 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（2025·贵州遵义·一模）如图，在四边形中，对角线将四边形分成两个面积相等的三角形，已知：，求 ． 【答案】/ 【分析】由题意易得，则可得，过点B作并延长，交于点F，连接，然后可得，，，进而可得，设，则有，最后根据可列出方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 过点B作并延长，交于点F，连接，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：（负根舍去）， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、等积法、一元二次方程的解法及平行四边形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、等积法、一元二次方程的解法及平行四边形的性质与判定是解题的关键． 6．（2025·重庆九龙坡·二模）如图，是的直径，点C，E为圆上两点，若点C为的中点，连接并延长与交于点F，与的延长线交于点H．若 ，则 ， ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 根据点C为的中点，得，根据三角形内角和定理得，再根据得，则；连接，设，根据直径所对的圆周角是直角得，进而根据三角形内角和定理及得，则，在和中，由勾股定理得，由此解出a的值即可得出的长． 【详解】解：∵点C为的中点，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图：连接，设， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 根据圆周角定理得：， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：6； ． 题型04 倍长中线模型 1．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】 小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】 她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是： ． （2）的取值范围是 【模型应用】 （3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据三角形三边关系求出，即可求解； （3）延长至点F，使，同（1）可证，得出，，，进而得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，然后根据“燕尾”四边形的面积为求解即可． 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE， ∵是中线， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，， 又， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）延长至点F，使， 同（1）可证， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴“燕尾”四边形的面积为， 故答案为：8． 2．（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点， ，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·江苏宿迁·二模）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转 得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当 时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，是的“旋补中心”，是的“旋补中心”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为 ； ②如图3，当时，则长为_____________． 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，．在四边形内部是否存在点，使是的“旋补中心”？若存在，给予证明，并求的“旋补中心”长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②4；（2），见解析；（3）存在，见解析；． 【分析】（1）①首先证明是含有是直角三角形，可得即可解决问题；②首先证明，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题； （2）结论：．如图1中，延长到，使得，连接，，首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题； （3）存在．如图4中，延长交的延长线于，作于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线．连接交于．想办法证明，，再证明即可． 【详解】（1）解：①如图2中，   是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为． ②如图3中，   ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为9． （2）结论：． 理由：如图1中，延长到，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ． （3）解：存在．理由： 如图4中，延长交的延长线于，作于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线． 连接交于．   ， ， 在中，，，， ，，， 在中，，，， ， ， ∵ ， ， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是的“旋补三角形”， 在中，，，， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型05 截长补短模型 1．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 【答案】[问题探究]见解析；[问题解决]9；[问题拓展] 【分析】[问题探究]在原题解答的基础上，通过证明即可得出结论； [问题解决]过点M作于点H，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用[问题探究]的结论解答即可得出结论； [问题拓展]延长至点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用等腰直角三角形的判定与性质得到，再利用已知条件化简运算即可． 【详解】解：[问题探究]证明：在的延长线上截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． [问题解决]过点M作于点H，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由 [问题探究]知：， ∵， ∴． 故答案为：9； 问题拓展：解：延长至点E，使，连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆的内接四边形的性质，本题是阅读型，熟练掌握题干中的“截长补短”的方法是解题的关键． 2．（2025·广东韶关·一模）【知识技能】 （1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． 梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】 （2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】 （3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 【答案】（1）；  （2）；理由见解析 （3） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据证明思路可得答案； （2）把绕点顺时针旋转90°得到，连接，证明，即可解答； （3）将绕点顺时针旋转90°，得到，连接，结合（2）中的结论，列方程，即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）． 理由：如图1，把绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，，． ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 在中，， ； （3）正方形的边长为， ， ． 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接． 由（2），可得． 设， ，， ， 根据勾股定理可得， 解得， ． 3．（2025·江苏南通·一模）综合与实践： 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则， ， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】 （2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】 （3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）>；（2）见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质、等边对等角．相似三角形的判定和性质，“截长补短”或通过轴对称构造全等三角形，是将未知转化成可用已有知识求解的常见策略． （1）在内作，交于点，根据等角对等边可得，由三角形两边之和大于第三边即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，可得，由等角对等边易得，即可得，再证明，可得，由此证明结论． （3）由已知易得，设相似比为，可得，，，通过求差法比较和的大小即可 【详解】解：（1）如图2，在内作，交于点， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）如图3，延长到点，使，连接， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴， 设与相似比为， ∴，，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，，即， ∴， ∴， 即 题型06 一线三垂直的构造 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 2．（2025·天津·一模）如图，正方形边长为6，点E在边上，，且，G为的中点，则：    （1）的度数为 ； （2）的长为 ． 【答案】 45° 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合性强，难度较大． （1）过F作于H，证明，得到 进而证明为等腰直角三角形，即可求出，； （2）过G作于M，于N，得到G为中点，进而求出，，证明四边形为矩形，得到，，根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）如图，过F作于H，    ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，过G作于M，于N，    ∴， ∵G为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，． 故答案为： 3．（2025·安徽·模拟预测）如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交的外角平分线于点F，交边于点M；连接交边于点N，延长线交延长线于点G． (1)求的长； (2)求的长； (3)求值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作于Ｈ，证明，得，解得，根据等腰直角三角形性质即得； （2）由平行线可得，得，解得，同理可得，得，即得； （3）由平行线可得，得，得，得，求出， 由，得，由，得，得，证明，即得． 【详解】（1）解：过F作于H点，如图， ∵正方形中，， ∴． ∵平分， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 即 ． 解得：． ∴． （2）∵， ∴． ∴． 即． 解得． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴． （3）∵， ∴． ∴． 即 ． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 即 ． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键． 题型07 构造手拉手模型 1．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同② 【详解】解：图②的结论是： 证明：∵ ∴是等边三角形， ∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， ； ∵ ∴， ∴ ， ∴， 在中,可得： 即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， 在中，， ， ， 在中,可得： 即 整理得 2．（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据题意得为等边三角形，为直角三角形，继而求得； （2）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答； （3）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答． 【详解】解：（1）由旋转可知： 是等边三角形， ， 是直角三角形， （2） 理由如下：如图， 把绕点C顺时针旋转得到， 连接， 由旋转可知: ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， 即   （3）如图，将 绕点B顺时针旋转，得到 连接， 由旋转可知： 是等腰直角三角形， 点在线段上， 是直角三角形， 的长为 ． 3（2025·江西赣州·一模）【课本再现】分别以，为边作等边和等边，连接和，则与之间具有一定的数量关系． (1)如图1，当B，C，E三点在同一直线上时，与的数量关系是_________； (2)如图2，当B，C，E三点不在同一直线上时，与还具有上述数量关系吗？请说明理由； (3)如图3，四边形中，，，，，，连接，求的长． 【答案】(1) (2)仍然具有的数量关系，理由见详解 (3)的长为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用 “”证明即可； （2）根据等边三角形的性质，利用 “”证明即可； （3）根据等边三角形的性质，利用 “”证明，得到，然后证明是直角三角形，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解： 和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． （2）解： 和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． （3）解：以为边作等边，连接， ，， ，， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ． ，， ， 是直角三角形， 在中，根据勾股定理， ， ． 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图1，在中，，，点D，E均在边上（点D在点E的左侧），且． (1)如图1，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转得，由，，可得，进而可得，，根据“边角边”可证； （2）将绕点A逆时针旋转得到，连接，，先求出，进而可得，在中，，根据（1）中的方法，同理可证明，得出，问题得证； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，，过F点作，交的延长线于点G，可得是等边三角形，根据（1）中的方法可证明：，即，根据旋转的性质有，，再证，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解，，问题得解． 【详解】（1）证明：根据旋转的性质，可得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：将绕点A逆时针旋转得到，连接，， ∵，， ∴， 根据旋转的性质，可得：，， ∴， ∴在中，， 根据（1）中的方法，同理可证明， ∴， 又∵， ∴； （3）证明：将绕点A逆时针旋转得到，连接，，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据（1）中的方法可证明：， ∴， 根据旋转的性质有：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质等知识，合理作出相应的辅助线是解答本题的关键． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C． (1)直接写出点A，B的坐标； (2)如图（1），当时，连接，点P在第四象限内抛物线上，若，求点P的坐标； (3)如图（2），若顶点为H，在第一象限的抛物线上取点D，连接并延长交x轴于点E，当时，将沿方向平移得到．将抛物线L平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上，试判断抛物线与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是； 【分析】（1）令，解一元二次方程即可得出点A，点B的坐标． （2）过线段的中点M，作的垂直平分线交y轴于点D，连接，设，则，，，利用勾股定理求出点D的坐标，将绕A点顺时针旋转得到线段，则，作轴于F点，直线交第四象限的抛物线于点P．，由全等三角形的性质进一步求出点，然后求出解析式，再联立直线和抛物线解析解方程组即可得出答案． （3）过D作轴于M，设，则，，将沿方向平移得到，相当于将向右平移个单位，再向下平移个单位，即可得出抛物线解析式，由，解出x即可得出定点坐标． 【详解】（1）解：令， ∴ ∵， ∴，， ∴，． （2）解：当时，则抛物线解析式为：， 过线段的中点M，作的垂直平分线交y轴于点D，连接， 则，，， 设， 则，，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 将绕A点顺时针旋转得到线段，则，作轴于F点，直线交第四象限的抛物线于点P． ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 设的解析式为：， 则， 解得：， 则直线为， 联立 解得， ∴． （3）解：抛物线与L交于定点，理由如下： 过D作轴于M，如图： 设， 则，， ∵， ∴， 将沿方向平移得到，相当于将向右平移个单位，再向下平移个单位， 又，，， ∴，，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线解析式为， 由， 解得：， ∴抛物线与L交于定点． 【点睛】本题了主要考查了二次函数的综合问题，涉及二次函数与角度的问题，抛物线平移问题，抛物线与坐标轴的交点问题等，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·月考）【阅读理解】 (1)如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是 ；    【灵活运用】 (2)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．   【拓展延伸】 (3)如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作，交于点，交的延长线于点．若，，求．      【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形的三边关系可得，进而可求解． （2）延长交的延长线于，利用全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的性质即可求解． （3）解法一：利用倍长中线法，延长到，使，连接，如图所示，利用等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，最后数形结合得到，代值求解即可得到答案； 解法二：过点作交的延长线于点，利用平行线的性质可得，，根据交平分线的性质可得，进而可得，再根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】（1）解： 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：延长交的延长线于，如图：   ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ； （3）解法一：中线倍长法 延长到，使，连接，如图所示： ， ，， 平分， ， ， ， 点G是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ； 解法二：过点作交的延长线于点，如图：   ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 又点是的中点， 是的中位线， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． 3．（2025·河南南阳·一模）【问题情景】如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． （1）在上述过程中，证明的依据是__________，的范围为__________； 【思考探究】（2）如图3，在中，，M为中点，D、E分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图4，C为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，M为中点，连结，，． ①判断：的形状，并说明理由； ②若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上），连结，M为中点，且D，E在同侧，连结，．若，，直接写出：和的面积之差为__________． 【答案】（1）SAS，；（2）；（3）①为等腰直角三角形，理由见解析；②4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． （1）由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， （2）延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， （3）①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 【详解】（1）解：∵为的中线， ∴， 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， （2）解：延长至点，使得，连结，， ∵M为中点， ∴， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：； （3）①为等腰直角三角形，理由： 延长至点，使得，连结，， ∵等腰直角和等腰直角， ∴，， ∴， ∵M为中点， ∴， 在和中，， ， ，， ∴， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，，， 设， ， ∵， ， ，， ∴同理可得， ∵， ∴，， 分别过，作，，，为垂足， ∴，， ， ∴设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． ①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； ②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②的面积为定值 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）①根据题意得出，得出直线的解析式为，联立得出，在直线上；②设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：对于，令， 解得： ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，    ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则 ∴， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ （3）①点与点重合，则， ∵点为中点，， ∴, 设直线的解析式为，代入, ∴ 解得： ∴ 联立 解得：或 ∴，在直线上 即，，三点共线； ②设， ∵，，三点共线； ∴设的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， 设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的， ∴的面积为是定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可； （3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，，代入函数解析式得： ∴，解得：； ∴； （2）∵，， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为； （3）存在： 令， 解得：， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； ②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作轴，则：，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解； （2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，即可求解； （3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故． 【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 （2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴直线为直线， ∵轴， ∴， 对于抛物线，令，则， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴点， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值， 而， ∴的最小值为； （3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： ∵抛物线， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作H关于直线的对称点，则点在直线上， ∵点的坐标为，直线：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，, 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 解得：或（舍）， ∴； ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由点 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入点N，E， 得：， 解得： ∴直线表达式为：， 联立， 得：， 整理得： 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点10-2 几何辅助线构造核心方法 （三角形特殊角与全等三角形・7大类型6种高频题型配套） 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 15 固·重难考点 拓·创新能力 一、三角形遇特殊角 ✅ 类型 1：遇特殊角（30°/45°/60°/90°） · 作垂线，构造直角三角形 · 利用特殊角的三角函数值计算边长 ✅ 类型 2：遇特殊角的补角（120°/135°/150°） · 作垂线，构造直角三角形 · 将钝角转化为特殊锐角来处理 ✅ 类型 3：遇特殊角的和差 · 作垂线，构造直角三角形 · 拆分角度，转化为熟悉的特殊角 二、三角形遇二倍角 ✅ 类型 1：翻折法 · 翻折三角形，构造等腰三角形 · 使二倍角转化为等角，实现角度等量代换 ✅ 类型 2：延长法 · 延长某条线段，构造等腰三角形 · 利用外角性质，使二倍角与底角建立联系 ✅ 类型 3：分大角 · 作角平分线，将大角拆分为两个小角 · 构造全等或相似三角形，实现线段转化 三、三角形遇绝配角（α+2β=180°） ✅ 核心思路： · 构造等腰三角形，利用角度互补关系 · 转化为等角，结合全等 / 相似三角形求解 四、倍长中线模型 ✅ 核心思路： · 延长中线至两倍长度，构造全等三角形 · 转移线段和角度，将分散条件集中 ✅ 适用场景： · 题目中出现 “中线” 或 “中点” · 需要证明线段不等关系或数量关系 五、截长补短模型 ✅ 核心思路： · 截长：在长线段上截取一段等于短线段，证明剩余部分相等 · 补短：延长短线段，使它等于长线段，证明两线段相等 ✅ 适用场景： · 证明线段和差关系（如 a+b=c） · 角平分线、垂直平分线相关证明 六、一线三垂直模型 ✅ 核心思路： · 构造三个直角，利用 “同角的余角相等” 证明三角形全等 · 实现线段的等量代换 ✅ 适用场景： · 坐标系中证明线段相等或垂直 · 含直角的几何综合题 七、手拉手模型 ✅ 核心思路： · 共顶点的两个等腰三角形，旋转后构造全等三角形 · 转移角度和线段，产生新的等量关系 ✅ 适用场景： · 等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形的旋转问题 · 证明线段相等、垂直或角度相等 题型01 三角形遇特殊角 类型一 遇特殊角，作垂线，构建Rt△ 1．（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）． 2．（2025·四川巴中·中考真题）某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． (1)求点B到的距离； (2)求高压电塔的高度（结果保留根号）． 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）． 4．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 类型二 遇特殊角的补角，作垂线，构建Rt△ 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 2．（2025·贵州遵义·二模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号） (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点到所在直线的距离．（精确到，） 3．（2024·四川成都·二模）平板支架是一种可以固定和支撑平板电脑或其他电子设备的装置．它可以使平板电脑保持平稳不动，方便使用者进行多种操作，例如观看电影、阅读文献、打字及视频会议等． 如图，在侧面示意图中，，，可分别绕点，，转动，测得，，，，，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 类型三 遇特殊角的和差，作垂线，构建Rt△ 1．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 2．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，、、、分别是某公园的四个景点，为了推进全民健身的发展，我市在四个景点之间分别修建了、、、四条健身步道．经勘测，景点在景点的正北方向且之间距离为米，景点在景点的东北方向，且在景点的北偏东方向，景点在景点的南偏东方向，且在景点的南偏西方向．（参考数据：，） (1)求景点、之间的距离（结果精确到个位）； (2)小明和小颖用相同速度同时从景点出发去景点，小明选择路线——，小颖选择路线——，请通过计算说明小明和小颖谁先到达景点． 3．（2025·安徽宿州·模拟预测）九年级数学兴趣小组在学完解直角三角形的相关知识后，利用周末时间测量学校对面山上的瞭望塔的高度，如图，小组成员小彬站在的斜坡上的点A处测量对面依山而建的瞭望塔的高度，点A到地面的距离，由测量知：视线与斜坡的夹角，．求瞭望塔的高度．（结果精确到，参考数据：，） 题型02 三角形遇二倍角 类型一 已知内角存在二倍关系，想到翻折 1．（2025珠海市模拟）数学活动：折纸与证明． （1）如图1，在中，，怎样证明呢？如图2，小明以“折叠”为思路：将沿折叠，使点C落在边的点D处，然后可以证明，试写出小明的证明过程； 感悟与应用： （2）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程； （3）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明． 2．（2025·湖北恩施·一模）已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 类型二 已知内角存在二倍关系，想到延长 1．（2025九江市模拟）问题发现：如图1，在中，是边上的高，若，请写出的数量关系？并说明理由． 在解决问题时，两名同学给出了以下两种思路： ①如图2，小明从截长的角度，以为圆心、为半径画圆弧交于点，从而使问题得到解决； ②如图3，小亮从补短的角度，以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，从而使问题得到解决． （1）请你从以上两种思路，选择一种思路，写出证明过程． 知识应用：（2）如图4，与交于点，，，，试猜想的数量关系？并说明理由． 问题解决：（3）如图5，在中，，，试求的长度． 2．（2025武汉市模拟预测）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：． 小明的方法是：如图2，在上截取AE，使，连接，构造全等三角形来证明结论． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．简易过程是：延长至点F，使______，连接， ∴，则有， 从而结合平分，通过______定理证明， ∴； 请在图1中画出相应的辅助线，并补全小天的证明过程； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，已知分别平分、、，且．求证：；请你解答小芸提出的这个问题； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在上，，那么AD平分． 小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4证明这个命题． 3．（2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学试题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 4．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 类型三 已知内角存在二倍关系，想到分大角 1．（2025·内蒙古通辽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于点和，交y轴于点C．点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，，当的面积最大时，求点P的坐标和的面积最大值； (3)抛物线上是否存在一点E，使得，若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点的直线交的延长线于点，设的长为，求与的函数关系式； (3)如图3，连接交于点，交抛物线于点，于点，连接， ，求的长． 3．（2025·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是． (1) ________， ________； (2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点． ①连接，若，求的取值范围； ②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型03 三角形遇绝配角 1．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在中，，点在边上，是边的中点，，交的延长线于点，连接，．若，，，则 ． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点D为中点，过点B作，连接，交于点F，若，，，则的长为 ． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四边形中，，过点A作的垂线交于点E，，，，，则的长为 ． 5．（2025·贵州遵义·一模）如图，在四边形中，对角线将四边形分成两个面积相等的三角形，已知：，求 ． 6．（2025·重庆九龙坡·二模）如图，是的直径，点C，E为圆上两点，若点C为的中点，连接并延长与交于点F，与的延长线交于点H．若 ，则 ， ． 题型04 倍长中线模型 1．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】 小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】 她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是： ． （2）的取值范围是 【模型应用】 （3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 2．（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点， ，，试探究与的数量关系，并说明理由． 3．（2025·江苏宿迁·二模）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转 得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当 时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，是的“旋补中心”，是的“旋补中心”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为 ； ②如图3，当时，则长为_____________． 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，．在四边形内部是否存在点，使是的“旋补中心”？若存在，给予证明，并求的“旋补中心”长；若不存在，说明理由． 题型05 截长补短模型 1．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 2．（2025·广东韶关·一模）【知识技能】 （1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． 梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】 （2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】 （3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 3．（2025·江苏南通·一模）综合与实践： 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则， ， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】 （2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】 （3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 题型06 一线三垂直的构造 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 2．（2025·天津·一模）如图，正方形边长为6，点E在边上，，且，G为的中点，则：    （1）的度数为 ； （2）的长为 ． 3．（2025·安徽·模拟预测）如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交的外角平分线于点F，交边于点M；连接交边于点N，延长线交延长线于点G． (1)求的长； (2)求的长； (3)求值． 题型07 构造手拉手模型 1．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 2．（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 3（2025·江西赣州·一模）【课本再现】分别以，为边作等边和等边，连接和，则与之间具有一定的数量关系． (1)如图1，当B，C，E三点在同一直线上时，与的数量关系是_________； (2)如图2，当B，C，E三点不在同一直线上时，与还具有上述数量关系吗？请说明理由； (3)如图3，四边形中，，，，，，连接，求的长． 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图1，在中，，，点D，E均在边上（点D在点E的左侧），且． (1)如图1，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，求线段的长度． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C． (1)直接写出点A，B的坐标； (2)如图（1），当时，连接，点P在第四象限内抛物线上，若，求点P的坐标； (3)如图（2），若顶点为H，在第一象限的抛物线上取点D，连接并延长交x轴于点E，当时，将沿方向平移得到．将抛物线L平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上，试判断抛物线与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·月考）【阅读理解】 (1)如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是 ；    【灵活运用】 (2)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．   【拓展延伸】 (3)如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作，交于点，交的延长线于点．若，，求．      3．（2025·河南南阳·一模）【问题情景】如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． （1）在上述过程中，证明的依据是__________，的范围为__________； 【思考探究】（2）如图3，在中，，M为中点，D、E分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图4，C为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，M为中点，连结，，． ①判断：的形状，并说明理由； ②若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上），连结，M为中点，且D，E在同侧，连结，．若，，直接写出：和的面积之差为__________． 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． ①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； ②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 2．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $