精品解析：广东省清远市2025-2026学年高二第一学期普通高中学科监测数学试题

2025~2026学年第一学期普通高中学科监测 高二数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 3. 在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的通项公式为，则数列为（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 5. 在平行六面体中，与交于点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若0，，，，2024成等差数列，1，，，2025成等比数列，则（ ） A. B. 2 C. D. 7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2278 D. 2279 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以原点为圆心，为半径作圆，与双曲线在第一、三象限分别交于A、B两点.若四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知四边形的四个顶点是，，，，则（ ） A. 直线的斜率为4 B. 直线的倾斜角为 C. 线段的中点坐标为 D. 四边形是平行四边形 10. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（即每个感染者7天内感染3人），则下列说法正确的是（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）（ ） A. 第5轮新增感染人数为243 B. 由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为 C. 感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染 D. 感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要49天 11. 如图，已知正方体的棱长为2，为的中点，点满足，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则存在点使得，，，四点共面 C. 若，则四面体的体积为定值 D. 若，，则直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过原点且与圆相切的直线的方程为_____. 13. 某地新建一个会议厅，要求容纳880个座位，会议厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第20排有_____个座位. 14. 在航天探索的虚拟场景中，探测器在太空中的运行轨迹可看作空间直角坐标系中的曲线，探测器到空间中两个固定的监测点，的距离之积为定值，且曲线经过坐标原点，若探测器运行在平面上，则曲线的方程为_____，曲线上任意两点间距离的最大值为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆有两个交点，求的取值范围. 16. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，点是BC边的中点，连接. （1）求证：平面； （2）求平面ABD与平面ADE夹角的正弦值. 18. 已知是椭圆上的一个动点，点到两焦点的距离之和为4，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且的面积为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求直线的方程； （3）已知直线与椭圆交于，两点（点在第一象限），直线，分别交直线于点，，记，，试判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由. 19. 已知数列为无穷整数数列，若满足：对于任意的，，都存在，使得，其中，，，，则称数列是“因分数列”. （1）若数列的前项和为，且，. （i）求数列的通项公式； （ii）证明：数列是“因分数列”； （2）已知数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”，若，，三个数中恰有两个出现在数列中，求满足题意的的公比. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期普通高中学科监测 高二数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】以长方体为例，令，数形结合判断各项对应向量是否共面即可. 【详解】如下图示，令， 则，，，，，，， A：由图，，不共面， B：由图，，不共面， C：由图，，不共面， D：由图，，共面. 故选：D 2. 若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线写出准线方程，结合抛物线的性质确定点到抛物线的准线的距离. 【详解】由题设，而抛物线的准线为，所以点到抛物线的准线的距离为. 故选：C 3. 在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行关系确定直线斜率为，再结合轴截距为得到直线过点，最后用点斜式求出直线方程. 【详解】已知直线，变形为，斜率为， 因为所求直线与平行，所以斜率也为， 又因为题干说所求直线在轴上的截距为，说明直线过点； 由点斜式可直接写出所求直线为：，化简可得：. 故选：A 4. 已知数列的通项公式为，则数列为（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 【答案】B 【解析】 【分析】由直接判断其单调性即可得. 【详解】由，显然随的增加，逐渐变小并趋向于，所以为递减数列. 故选：B 5. 在平行六面体中，与交于点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义得，即可得. 【详解】由. 故选：A 6. 若0，，，，2024成等差数列，1，，，2025成等比数列，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用等差中项可计算，由等比中项可计算，进而可求得的值. 【详解】由等差中项得，解得， 由等比中项得， 则 ， 故选：C. 7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2278 D. 2279 【答案】D 【解析】 【分析】根据计算和观察可知新数列的周期为8，计算得结果. 【详解】写出该数列被除后的余数构成的数列：， 所以是以为周期的周期数列，周期内的余数为，且和为， 在前项中，有个完整周期余项， 所以的前项的和为. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以原点为圆心，为半径作圆，与双曲线在第一、三象限分别交于A、B两点.若四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用圆的半径为确定点坐标满足的方程，再结合双曲线方程求出点纵坐标，最后通过四边形面积公式建立与的关系，从而求得离心率. 【详解】已知双曲线的焦距为，则圆的方程为. 联立双曲线方程与圆的方程，消去得： 又因为，所以，故点纵坐标为. 四边形为平行四边形，面积为. 由题意，即. 又，故离心率. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知四边形的四个顶点是，，，，则（ ） A. 直线的斜率为4 B. 直线的倾斜角为 C. 线段的中点坐标为 D. 四边形是平行四边形 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，由两点斜率公式得到A正确；B选项，得到直线的斜率，从而得到直线的倾斜角；C选项，由中点坐标公式可得C正确；D选项，得到与不平行，D错误. 【详解】A选项，直线的斜率为，A正确； B选项，直线的斜率为，故直线的倾斜角不为，B错误； C选项，线段的中点坐标为，C正确； D选项，，显然，故与不平行， 故四边形不是平行四边形，D错误. 故选：AC 10. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（即每个感染者7天内感染3人），则下列说法正确的是（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）（ ） A. 第5轮新增感染人数为243 B. 由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为 C. 感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染 D. 感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要49天 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得第轮感染人数成等比数列，求得其通项公式为，前项和为，再逐一判断即可. 【详解】设第轮感染人数为， 由题意可知数列为等比数列，其首项，公比， 所以， 对于A,当时，，故A正确； 对于B，由题意可得， 所以由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为，故B错误； 对于C，由B可知由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为， 令， 得， 又因为，， 又， 所以， 即感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染，故C正确； 对于D，令， 得， 因为，， 所以， 所以感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要7轮，约需要天，故D正确. 故选:ACD. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，为的中点，点满足，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则存在点使得，，，四点共面 C. 若，则四面体的体积为定值 D. 若，，则直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】确定点的坐标，利用空间向量的数量积进行判断A项，由共面定理进行判断B项，利用平行线的性质结合给定条件判断底面积和高都是定值来判断C项，由线面所成角的空间向量计算求解判断D项． 【详解】建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 得， 对于A项，若，则，得点， 则，故A项错误； 对于B项，若，得，得， 得点， 假设存在点使得，，，四点共面，则， 得， 得，解得， 此时，得， 而，且，则点在线段上运动， 此时，使得，，，四点共面，故B项正确； 对于C项，如图，取靠近的三等分点为，靠近的三等分点为， 连接， 因为，所以， 令，而， 则，得到， 因为靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，所以， 由正方体，得到四边形是平行四边形，故， 则，由题意得为的中点，则的面积是定值， 而平面，平面，所以平面， 结合，由线面平行性质得到面的距离为定值， 即四面体的体积为定值，故C正确， 对于D项，若，，得，得点， 则， 设平面的法向量为，， 由，取， 设直线与平面所成角为， 则，故D项正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过原点且与圆相切的直线的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，设切线为，应用点线距离公式列方程求参数值，即可得. 【详解】由圆的圆心，半径为， 若过原点且斜率不存在，则，此时圆心到其距离为，显然不满足， 所以切线斜率存在，令过原点的切线为，则， 所以，整理得， 所以，即. 故答案为： 13. 某地新建一个会议厅，要求容纳880个座位，会议厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第20排有_____个座位. 【答案】63 【解析】 【分析】将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为，由题意可知是等差数列，再结合题意建立方程求出首项，最后利用求和公式求解即可. 【详解】设会议厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为， 依题意得数列是一个公差为2的等差数列，且， 则，得，故. 故答案为：63. 14. 在航天探索的虚拟场景中，探测器在太空中的运行轨迹可看作空间直角坐标系中的曲线，探测器到空间中两个固定的监测点，的距离之积为定值，且曲线经过坐标原点，若探测器运行在平面上，则曲线的方程为_____，曲线上任意两点间距离的最大值为_____ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先根据探测器到两个固定监测点的距离之积为定值，结合曲线经过原点，求出定值，进而得到曲线的方程.然后通过分析曲线的方程，找出上任意两点间距离的最大值. 【详解】设探测器在平面上的坐标为， 则，因为曲线经过原点， 所以，即， 所以曲线的方程为， 两边平方得， 即， 整理得，所以曲线的方程为. 由曲线的方程为知，曲线关于轴、轴、原点对称. 令，则，， 所以， 所以，即， 因为，所以，所以， 即曲线上点到原点距离的最大值为， 因为曲线关于轴、轴、原点对称， 所以曲线上任意两点间距离的最大值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆有两个交点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，利用两点距离公式列方程求参数，即可得圆心和半径，进而写出圆的方程； （2）由题设，结合相交条件下列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题意，设，则， 所以，则， 所以圆心，半径为，故圆的标准方程为； 【小问2详解】 由，，则， 又圆、圆相交且半径分别为、，则， 所以. 16. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据递推式得，结合等比数列的定义写出通项公式； （2）由题设，应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求. 【小问1详解】 由题设，且，则， 又，故是首项、公比均为的等比数列， 所以，则； 【小问2详解】 由题设， 所以， 所以， 两式作差，得， 所以 ， 所以，则. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，点是BC边的中点，连接. （1）求证：平面； （2）求平面ABD与平面ADE夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质先推知平面，从而，结合题干可得证明； （2）根据二面角的定义用几何法作出来，然后求解. 【小问1详解】 由题知，平面平面， 又平面平面，平面，又， 根据面面垂直的性质定理，平面， 又平面，则， 又，平面，， 根据线面垂直的判定定理，平面 【小问2详解】 分别取中点，连接， 由中位线性质可知，，又，则； 由于平面，平面，则， 又，且点是边的中点， 则分别为直角三角形斜边上的中线， 则， 又，则， 则是平面与平面夹角. 又， 可求得，， 由中位线可知，则，则， 故二面角的正弦值为 18. 已知是椭圆上的一个动点，点到两焦点的距离之和为4，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且的面积为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求直线的方程； （3）已知直线与椭圆交于，两点（点在第一象限），直线，分别交直线于点，，记，，试判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）是，. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，求出椭圆参数，即可得方程； （2）设，，联立椭圆并应用韦达定理、点线距离公式求、原点到的距离，再应用三角形面积公式得，求出最大值对应的参数，进而确定直线方程； （3）设，根据已知写出相关点坐标，且，，联立求点坐标，再由向量共线的坐标关系求得，，进而得到结论. 【小问1详解】 由题设，又，故； 【小问2详解】 由题意，设，联立椭圆得， 所以，若， 所以，可得， 故，，则 ， 原点到的距离， 所以， 令，则，所以， 当且仅当，时取等号，此时的面积最大，则； 【小问3详解】 由（1），联立，消去得， 所以，点在第一象限，则， 设，则，且，， 联立，则，可得，， 联立，则，可得，， 由，则，可得， 由，则，可得， 由，而， 所以， 所以，则 ， 所以为定值0. 19. 已知数列为无穷整数数列，若满足：对于任意的，，都存在，使得，其中，，，，则称数列是“因分数列”. （1）若数列的前项和为，且，. （i）求数列的通项公式； （ii）证明：数列是“因分数列”； （2）已知数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”，若，，三个数中恰有两个出现在数列中，求满足题意的的公比. 【答案】（1）（i）； （ii）对于任意且，取， 所以，且， 所以数列是“因分数列”； （2）2. 【解析】 【分析】（1）（i）由的关系及等差数列的定义求数列的通项公式；（ii）根据新定义，取，再判断是否成立，即可证； （2）由题意对任意且，存在，使得，设的公比为且，，结合，，三个数中恰有两个出现在数列中求出对应公比. 【小问1详解】 （i）当，则且，故，可得， 当，联立， 可得， 所以，可得， 所以， 综上，是首项为3，公差为1的等差数列，则； （ii）略 【小问2详解】 由数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”， 等价于对任意且，存在，使得，即， 设的公比为且，， 若，则为常数列，仅当常数为1时满足条件，此时，，不在该数列中，不符合； 若，则的通项公式形式必为，此时数列中的数为的幂， 由，，中，仅当是的幂时，可同时出现在数列中，但不可能出现， 设且，则， 由，出现在数列中，存在正整数，使， 所以是的公因数，而互质，则，故公比为， 此时，取，则，显然，出现在数列内，满足， 所以的公比. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $