专题02 一元一次不等式（计算题专项训练）数学沪科版新教材七年级下册

专题02 一元一次不等式（计算题专项训练） 【适用版本：沪科版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 解一元一次不等式 1. 去分母：不等式两边同乘所有分母的最小公倍数，若公倍数为负数，不等号方向改变；不含分母的项也要乘。 2. 去括号：遵循去括号法则，括号前是“-”时，括号内各项要变号。 3. 移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号（不等号方向不变）。 4. 合并同类项：将同类项合并，化为 ax>b 或 ax<b（a≠0）的最简形式。 5. 系数化为1：两边同除以未知数系数a，若a>0，不等号方向不变；若a<0，不等号方向必须改变。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．解不等式： （1）； （2）3（x+2）﹣1≥8﹣2（x﹣1）． 2．解下列不等式． （1）2x+1＞3（2﹣x）； （2）． 3．解下列一元一次不等式． （1）3x﹣1＜2x+4； （2）． 4．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． （1）3（2x﹣1）≤2（x+1）+1； （2）． 5．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3； （2） 6．解不等式，并把解集在数轴上表示出来 （1）； （2）6﹣4（x﹣4）≤2（x﹣1）． 7．解不等式 （1）2（x+1）﹣1≥3x+2； （2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 8．解下列不等式，并把解集表示到数轴上． （1）3（2﹣x）≤2x﹣4； （2）． 9．（1）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． 10．若代数的值不大于的值，求x的取值范围． 训练2 求一元一次不等式的整数解 1. 解原不等式：按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤，求出不等式的解集，注意变号规则。 2. 界定取值范围：把解集在数轴上标注（可选，更直观），明确边界点是否包含（含等号画实心点，不含画空心点）。 3. 筛选整数解：在解集范围内，依次找出所有整数，注意不要遗漏边界整数、不超出范围。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．求不等式的正整数解． 2．求不等式的非负整数解． 3．求不等式 的正整数解． 4．求解不等式的非正整数解． 5．代数式的值不大于代数式的值，求x的最大整数值． 6．求同时满足关于x的不等式与5﹣（2x+1）≥2﹣x的整数解． 7．不等式1的解集中最小整数解也是方程的解，求m的值． 8．已知代数式的值不小于代数式1的值，试确定x的最小整数值． 9．已知关于x的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，求m的值． 10．已知关于x的方程3x+ax＝﹣2的解是不等式的最大整数解，求代数式a3的值． 训练3 一元一次不等式含参问题 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知关于x的不等式2x﹣n＜3（x+1）． （1）当n＝2025时，该不等式的解集为 　 ； （2）若该不等式的负整数解有且只有2个，则n的取值范围是　 　 ． 2．若关于x的不等式的最小整数解为2，则a的取值范围是　 　 ． 3．已知关于x的不等式只有三个负整数解，求m的取值范围． 4．已知关于x的不等式x﹣1． （1）当m＝1时，求该不等式的正整数解； （2）当m取何值时，该不等式有解，并求出其解集． 5．已知不等式5﹣3x≤﹣1的最小整数解也是关于x的不等式3（x﹣4）﹣6k＞0的解，求k的取值范围． 6．已知不等式mx﹣3＞2x+m． （1）若它的解集是x，求m的取值范围； （2）若它的解集与不等式2x﹣1＞3﹣x的解集相同，求m的值． 7．已知a，b为有理数，不等式（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0的解集是x，求不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＞0的解集． 8．已知关于x的不等式4（x+2）﹣2＞5+3a的解都能使不等式成立，求a取值范围． 9．已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集是x，求关于x的不等式（a﹣3b）x＞2a﹣b的解集． 10．已知关于x的不等式（x﹣5）（ax﹣3a+4）≤0． （1）若x＝2是该不等式的解，求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，且x＝1不是该不等式的解，求a的范围． 训练4 方程（组）与一元一次不等式 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知关于x的方程的解是非负数，求a的最小整数解． 2．若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式x+2y≥5，求a的取值范围．并在数轴上表示出a的取值范围． 3．已知关于x的方程3（x+m）﹣2（x﹣m）＝4的解不小于1，且m是一个非负整数，试确定x的值． 4．已知关于x、y的方程组，若方程组的解满足x﹣2y＜9，求m的最大整数值． 5．关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞5m+2，求m的取值范围，并写出m的最大负整数值． 6．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＜0． （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式（2k+1）x﹣2k＜1的解集为x＞1，请写出符合条件的k的整数值． 7．已知关于x，y的方程组的解满足不等式x+y＜12． （1）求实数a的取值范围； （2）当a为正整数时，求不等式3x﹣ax＞2a﹣6的负整数解． 8．已知关于x，y的方程组的解满足2y﹣x≤1． （1）求a的取值范围； （2）已知a+b＝2，且k＝a+3b，求k的取值范围． 9．已知关于a、b的方程组中，a为负数，b为非正数． （1）求m的取值范围； （2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1． 10．已知关于x，y的方程组满足x﹣2y为负数． （1）求出x，y的值（用含m的代数式表示）； （2）求出m的取值范围； （3）当m为何正整数时，求s＝2x﹣3y+m的最大值？ 训练5 一元一次不等式新定义问题 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知有理数m、n，定义一种新运算“*”，规定：m*n＝am﹣bn+5（a、b均不为零）．等式右边的运算是通常的四则运算，例如3*4＝3a﹣4b+5．已知2*3＝1，3*（﹣1）＝10． （1）求a，b的值． （2）求x*（2x﹣3）＜5的最小整数解． 2．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b＝2a﹣b，例如：5@3＝2×5﹣3＝10﹣3＝7，（﹣3）@5＝2×（﹣3）﹣5＝﹣6﹣5＝﹣11． （1）若x@3＜5，求x的取值范围； （2）已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+1的解满足x@a＜5，求a的最小整数解． 3．在实数范围内定义一种新运算“△”，其运算规则为a△b＝3a﹣ab，如（﹣1）△3＝3×（﹣1）﹣（﹣1）×3＝0．根据这个规则，解决下列问题． （1）（﹣5）△（﹣2）＝　 　 ． （2）解不等式：x△6＞3． （3）求不等式的最大整数解． 4．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． （1）下列不等式与x＜2互为“和谐不等式”是　 　 （只填序号）； ①x≥1 ② ③x＞3 （2）若关于x的不等式x+m＞0是3x﹣1＜2x+5的“和谐不等式”，求m的取值范围； （3）若，关于x的不等式x+3＞n与不等式2nx﹣1≤2n﹣x互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 5．新定义型阅读理解题：已知任意实数a，b，定义min{a，b}的含义为当a≥b时，min{a，b}＝b，当a＜b时，min{a，b}＝a． （1）若，求x的取值范围； （2）求min{2x﹣1，﹣x+5}的最大值． 6．定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式“有整数交集”；反之，如果两个一元一次不等式没有公共整数解，那么称这两个不等式为“没有整数交集”． （1）不等式x＞1.5与x≤2 　 　 “整数交集”；（填“有”或“没有”）； （2）关于x的不等式x+2＞a与不等式x﹣2≤1﹣2x“有整数交集”，求a的取值范围； （3）若关于x的不等式x≥m与2x﹣1＜x+1“没有整数交集”，则m的取值范围是 　 ． 7．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，如果两个不等式的解集相同，则称不等式A与B为同解不等式． （1）若关于x的不等式A：3﹣2x＞0，不等式B：是同解不等式，求a的值； （2）若关于x的不等式C：x﹣2＞mn，不等式D：x﹣4＞0是同解不等式，其中m，n是整数，试求m，n的值． 8．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． （1）在不等式：①2x﹣6＜0，②x≤2，③x﹣（3x+1）＞﹣1中，不等式x≥2的“云不等式”是 　 　 （填序号）； （2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣6＜x+m的“云不等式”，求m的取值范围； （3）若关于x的不等式x﹣2a≥0与不等式1﹣2x＞x﹣11互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 9．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式的“友好解”．例如：方程2x﹣1＝0的解是，同时也是不等式x+1＞0的解，则方程2x﹣1＝0的解是不等式x+1＞0的“友好解”． （1）方程的解　 　 不等式的“友好解”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x、y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围． 10．对实数x，y，我们定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by（其中a，b为常数）．例如：F（2，3）＝2a+3b，F（2，﹣3）＝2a﹣3b．已知F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程F（x，3y）＝8的解． （3）若关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，且m为非负整数，求m的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次不等式（计算题专项训练） 【适用版本：沪科版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 解一元一次不等式 1. 去分母：不等式两边同乘所有分母的最小公倍数，若公倍数为负数，不等号方向改变；不含分母的项也要乘。 2. 去括号：遵循去括号法则，括号前是“-”时，括号内各项要变号。 3. 移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号（不等号方向不变）。 4. 合并同类项：将同类项合并，化为 ax>b 或 ax<b（a≠0）的最简形式。 5. 系数化为1：两边同除以未知数系数a，若a>0，不等号方向不变；若a<0，不等号方向必须改变。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．解不等式： （1）； （2）3（x+2）﹣1≥8﹣2（x﹣1）． 【解答】解：（1）去分母得：6x﹣2（x+2）＞3（2﹣x）， 去括号得：6x﹣2x﹣4＞6﹣3x， 移项，合并同类项得：7x＞10， 系数化为1得：． （2）3（x+2）﹣1≥8﹣2（x﹣1）， 去括号得：3x+6﹣1≥8﹣2x+2， 移项，合并同类项得：5x≥5， 系数化为1得：x≥1． 2．解下列不等式． （1）2x+1＞3（2﹣x）； （2）． 【解答】解：（1）2x+1＞3（2﹣x）， 去括号得：2x+1＞6﹣3x， 移项得：2x+3x＞6﹣1， 合并同类项得：5x＞5， 系数化为1得：x＞1； （2）， 去分母得：3（x+2）﹣4（x﹣1）≤12， 去括号得：3x+6﹣4x+4≤12， 移项得：3x﹣4x≤12﹣6﹣4， 合并同类项得：﹣x≤2， 系数化为1得：x≥﹣2． 3．解下列一元一次不等式． （1）3x﹣1＜2x+4； （2）． 【解答】解：（1）3x﹣1＜2x+4， 移项得：3x﹣2x＜4+1， 合并同类项得：x＜5； （2）1， 去分母，得2（x+1）﹣3（2x﹣5）≥12， 去括号，得2x+2﹣6x+15≥12， 移项，得2x﹣6x≥12﹣15﹣2， 合并同类项，得﹣4x≥﹣5， 系数化为1，得x． 4．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． （1）3（2x﹣1）≤2（x+1）+1； （2）． 【解答】解：（1）去括号，得6x﹣3≤2+2x+1， 移项，得6x﹣2x≤2+1+3， 合并同类项，得4x≤6， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）去分母，得：4（2x﹣1）＜3（3x+2）﹣12， 去括号，得8x﹣4＜9x+6﹣12， 移项，得8x﹣9x＜4+6﹣12， 合并同类项，﹣x＜﹣2， 两边同时除以﹣1，得x＞2， 数轴表示如下： 5．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3； （2） 【解答】解：（1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3， 2x﹣11≥4x﹣12+3， 2x﹣4x≥﹣12+3+11， ﹣2x≥2， x≤﹣1． 数轴如下： （2）， 2（2x﹣1）＜3（3x﹣2）﹣6， 4x﹣2＜9x﹣6﹣6， 4x﹣9x＜﹣6﹣6+2， ﹣5x＜﹣10， x＞2． 数轴如下： 6．解不等式，并把解集在数轴上表示出来 （1）； （2）6﹣4（x﹣4）≤2（x﹣1）． 【解答】解：（1）去分母，得2（x+2）≤3（x﹣1）+6， 去括号，得2x+4≤3x﹣3+6， 移项，合并同类项，得﹣x≤﹣1， ∴x≥1． 在数轴上表示为： （2）去括号，得6﹣4x+16≤2x﹣2， 移项，合并同类项，得﹣6x≤﹣24， ∴x≥4． 在数轴上表示为： 7．解不等式 （1）2（x+1）﹣1≥3x+2； （2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【解答】解：（1）∵2（x+1）﹣1≥3x+2， ∴2x+2﹣1≥3x+2， ∴2x﹣3x≥2﹣2+1， ∴x≤﹣1； （2）∵， ∴4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12， ∴8x﹣4≤9x+6﹣12， ∴8x﹣9x≤4+6﹣12， ∴x≥2， 不等式解集在数轴上表示如下： ． 8．解下列不等式，并把解集表示到数轴上． （1）3（2﹣x）≤2x﹣4； （2）． 【解答】解：（1）由题意得，6﹣3x≤2x﹣4， ﹣3x﹣2x≤﹣4﹣6， ﹣5x≤﹣10， x≥2； 表示在数轴上为： ； （2）由题意得，3（x+1）+12＜18﹣2（x﹣1）， 3x+3+12＜18﹣2x+2， 3x+2x＜20﹣15， 5x＜5， x＜1， 表示在数轴上为： ． 9．（1）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． 【解答】解：（1）， 10﹣4x＜1﹣x， x﹣4x＜1﹣10， ﹣3x＜﹣9， x＞3； 不等式的解集在数轴上表示如下： （2）， 24﹣4（5x﹣2）＞3（3x+1）， 24﹣20x+8＞9x+3， ﹣20x﹣9x＞3﹣24﹣8， ﹣29x＞﹣29， x＜1； 不等式的解集在数轴上表示如下： 10．若代数的值不大于的值，求x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 去分母，得2（2x﹣1）﹣6≤5x+4， 去括号，得4x﹣2﹣6≤5x+4， 移项，得4x﹣5x≤4+2+6， 合并同类项，得﹣x≤12， 系数化成1得x≥﹣12， ∴x的取值范围是x≥﹣12． 训练2 求一元一次不等式的整数解 1. 解原不等式：按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤，求出不等式的解集，注意变号规则。 2. 界定取值范围：把解集在数轴上标注（可选，更直观），明确边界点是否包含（含等号画实心点，不含画空心点）。 3. 筛选整数解：在解集范围内，依次找出所有整数，注意不要遗漏边界整数、不超出范围。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．求不等式的正整数解． 【解答】解：， 6x﹣3（x+2）＞2（2x﹣5）， 6x﹣3x﹣6＞4x﹣10， 6x﹣3x﹣4x＞﹣10+6， x＜4， ∴不等式的正整数解为1，2，3． 2．求不等式的非负整数解． 【解答】解：， 6﹣3（x﹣2）≥2（2+x）， 6﹣3x+6≥4+2x， ﹣5x≥﹣8， x， ∴不等式的非负整数解为0，1． 3．求不等式 的正整数解． 【解答】解：， 3（2x﹣5）≤7﹣2（x+3）， 6x﹣15≤7﹣2x﹣6， 6x+2x≤7﹣6+15， 8x≤16， x≤2， ∴该不等式的正整数解为：1，2． 4．求解不等式的非正整数解． 【解答】解：去分母：4（1﹣x）﹣12x＜36﹣3（x+2）， 去括号：4﹣4x﹣12x＜36﹣3x﹣6， 移项合并：﹣13x＜26， 化系数为1：x＞﹣2， ∴原不等式的非正整数解有：﹣1，0． 5．代数式的值不大于代数式的值，求x的最大整数值． 【解答】解：∵代数式 的值不大于代数式 的值， ∴， 解得， ∴x的最大整数值为﹣1． 6．求同时满足关于x的不等式与5﹣（2x+1）≥2﹣x的整数解． 【解答】解：由x＞1得：x＞﹣1， 由5﹣（2x+1）≥2﹣x得：x≤2， ∴﹣1＜x≤2， 所以，符合要求的整数解为0，1，2． 7．不等式1的解集中最小整数解也是方程的解，求m的值． 【解答】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6， 去括号，得：4x﹣2﹣15x﹣3≤6， 移项，得：4x﹣15x≤6+2+3， 合并同类项，得：﹣11x≤11， 系数化为1，得：x≥﹣1， ∴不等式的最小整数解为﹣1， 根据题意，将x＝﹣1代入方程， 得：﹣1＝1， 解得：m＝﹣1． 8．已知代数式的值不小于代数式1的值，试确定x的最小整数值． 【解答】解：根据题意得：1， 3x﹣2≥（x﹣7）+2， 3x﹣2≥x﹣7+2， 3x﹣x≥2﹣7+2， 2x≥﹣3， x． 故x的最小整数为：﹣1． 9．已知关于x的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，求m的值． 【解答】解：， 去分母，得：4x﹣2＜1+3x， 移项，合并同类项，得x＜3， 则最大的整数解是2． 把x＝2代入得：m＝2． 10．已知关于x的方程3x+ax＝﹣2的解是不等式的最大整数解，求代数式a3的值． 【解答】解：3x+ax＝﹣2， （3+a）x＝﹣2， x， ， 2（x﹣5）+6＞3（x+1）﹣6， 2x﹣10+6＞3x+3﹣6， 2x﹣3x＞3﹣6+10﹣6， ﹣x＞1， x＜﹣1， ∴该不等式的最大整数解为﹣2， ∴2， ∴a＝﹣2， 经检验：a＝﹣2是原方程的根， ∴a3＝（﹣2）3＝﹣8． 训练3 一元一次不等式含参问题 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知关于x的不等式2x﹣n＜3（x+1）． （1）当n＝2025时，该不等式的解集为 　 ； （2）若该不等式的负整数解有且只有2个，则n的取值范围是　 　 ． 【解答】解：（1）当n＝2025时， 2x﹣2025＜3（x+1）， 去括号，得：2x﹣2025＜3x+3， 移项、合并同类项，得：﹣x＜2028， 系数化为1，得：x＞﹣2028， 故答案为：x＞﹣2028； （2）由不等式2x﹣n＜3（x+1），可得：x＞﹣n﹣3， ∵该不等式的负整数解有且只有2个， ∴这三个整数解为﹣2，﹣1， ∴﹣3≤﹣n﹣3＜﹣2， 解得﹣1＜n≤0， 故答案为：﹣1＜n≤0． 2．若关于x的不等式的最小整数解为2，则a的取值范围是　 　 ． 【解答】解：由得：x＞2﹣3a， ∵不等式的最小整数解为2， ∴1≤2﹣3a＜2， 解得， 故答案为：． 3．已知关于x的不等式只有三个负整数解，求m的取值范围． 【解答】解：去分母，得：3（x﹣1）+18＞2（x+m）， 去括号，得：3x﹣3+18＞2x+2m， 化简整理，得x＞2m﹣15， 因为关于x的不等式只有三个负整数解， 所以﹣4≤2m﹣15＜﹣3， 即m＜6． 4．已知关于x的不等式x﹣1． （1）当m＝1时，求该不等式的正整数解； （2）当m取何值时，该不等式有解，并求出其解集． 【解答】解：（1）将m＝1代入不等式得， ， 则2﹣x＞x﹣2， ﹣x﹣x＞﹣2﹣2， ﹣2x＞﹣4， x＜2， 所以此不等式的正整数解为1． （2）由得， 2m﹣mx＞x﹣2， ﹣mx﹣x＞﹣2﹣2m， （m+1）x＜2m+2， 所以当m+1≠0，即m≠﹣1时，该不等式有解． 当m＞﹣1时， 不等式的解集为x＜2； 当m＜﹣1时， 不等式的解集为x＞2． 5．已知不等式5﹣3x≤﹣1的最小整数解也是关于x的不等式3（x﹣4）﹣6k＞0的解，求k的取值范围． 【解答】解：解不等式5﹣3x≤﹣1得x≥2， ∴不等式5﹣3x≤﹣1的最小整数解是2， 解关于x的不等式3（x﹣4）﹣6k＞0得x＞2k+4， 由题意可知2k+4＜2， 解得k＜﹣1． 6．已知不等式mx﹣3＞2x+m． （1）若它的解集是x，求m的取值范围； （2）若它的解集与不等式2x﹣1＞3﹣x的解集相同，求m的值． 【解答】解：mx﹣3＞2x+m， mx﹣2x＞m+3， （m﹣2）x＞m+3， （1）∵它的解集是x， ∴m﹣2＜0， 解得m＜2； （2）2x﹣1＞3﹣x， 解得：x， ∵它的解集是x， ∴，且m﹣2＞0， 解得m＝17． 7．已知a，b为有理数，不等式（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0的解集是x，求不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＞0的解集． 【解答】解：∵不等式（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0的解集是x， ∴2a﹣b＜0且， ∴ab， 将ab代入2a﹣b＜0得，2b﹣b＜0， 即b＜0， 故b＜0， ∴关于x的不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＞0可化为 bxb． ∵b＜0， ∴b＞0， ∴x． 8．已知关于x的不等式4（x+2）﹣2＞5+3a的解都能使不等式成立，求a取值范围． 【解答】解：解不等式4（x+2）﹣2＞5+3a得：x， ∵， 解得：x ∴ 解得：a． 9．已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集是x，求关于x的不等式（a﹣3b）x＞2a﹣b的解集． 【解答】解：∵不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集是x， ∴x， ∴，解得a＝2b； 把a＝2b代入（a﹣3b）x＞2a﹣b得，﹣bx＞3b， ∵a+b＞0，a＝2b， ∴a＞0，b＞0， ∴x＜﹣3． 10．已知关于x的不等式（x﹣5）（ax﹣3a+4）≤0． （1）若x＝2是该不等式的解，求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，且x＝1不是该不等式的解，求a的范围． 【解答】解：（1）由题意可得：（2﹣5）（2a﹣3a+4）≤0， ∴﹣3（4﹣a）≤0， ∴4﹣a≥0， ∴a≤4； （2）∵x＝1不是关于x的不等式（x﹣5）（ax﹣3a+4）≤0的解， ∴（1﹣5）（a﹣3a+4）＞0， ∴﹣4（4﹣2a）＞0， ∴4﹣2a＜0， ∴a＞2， ∴2＜a≤4． 训练4 方程（组）与一元一次不等式 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知关于x的方程的解是非负数，求a的最小整数解． 【解答】解：∵a， ∴． ∵关于x的方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∴a的最小整数解为1． 2．若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式x+2y≥5，求a的取值范围．并在数轴上表示出a的取值范围． 【解答】解：， ①+②得，3x＝6a+3， 解得x＝2a+1； ①×2﹣②得，﹣3y＝6﹣3a， 解得y＝a﹣2， ∵x+2y≥5， ∴2a+1+2（a﹣2）≥5， 解得a≥2． 在数轴上表示为： ． 3．已知关于x的方程3（x+m）﹣2（x﹣m）＝4的解不小于1，且m是一个非负整数，试确定x的值． 【解答】解：3（x+m）﹣2（x﹣m）＝4， 解得x＝4﹣5m， ∵原方程的解不小于1，即x≥1， ∴4﹣5m≥1， 解得m． ∵m是一个非负整数， ∴m＝0，x＝4， 即x的值为4． 4．已知关于x、y的方程组，若方程组的解满足x﹣2y＜9，求m的最大整数值． 【解答】解：， ①+②得，2x＝﹣2m+6，即x＝﹣m+3， ②﹣①得：2y＝﹣4m+8，即y＝﹣2m+4， ∵x﹣2y＜9， ∴﹣m+3﹣2（﹣2m+4）＜9， 解得：m， ∴m的最大整数值为4． 5．关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞5m+2，求m的取值范围，并写出m的最大负整数值． 【解答】解：解方程组得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞5m+2， ∴2﹣m+1﹣3m＞5m+2， 解得m． 故m的最大负整数解是﹣1． 6．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＜0． （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式（2k+1）x﹣2k＜1的解集为x＞1，请写出符合条件的k的整数值． 【解答】解：， ①﹣②，得x﹣y＝﹣2﹣k， ∵x﹣y＜0， ∴﹣2﹣k＜0， 解得，k＞﹣2； （2）不等式（2k+1）x﹣2k＜1移项得：（2k+1）x＜2k+1， ∵不等式（2k+1）x﹣2k＜1的解集为x＞1， ∴2k+1＜0， 解得：k， 又∵k＞﹣2， ∴k的取值范围为﹣2＜k， 整数k的值为﹣1． 7．已知关于x，y的方程组的解满足不等式x+y＜12． （1）求实数a的取值范围； （2）当a为正整数时，求不等式3x﹣ax＞2a﹣6的负整数解． 【解答】解：（1）， ①+②，得：2x＝4a+2，即x＝2a+1， 将x＝2a+1代入①，得：y﹣2a﹣1＝2， 解得：y＝2a+3， 关于x，y的方程组的解满足不等式x+y＜12． ∴2a+1+（2a+3）＜12， 解得：a＜2． （2）由（1）可知a＜2， ∵a为正整数， ∴a＝1， ∴3x﹣x＞2﹣6， 2x＞﹣4， x＞﹣2， ∴不等式3x﹣ax＞2a﹣6的负整数解为﹣1． 8．已知关于x，y的方程组的解满足2y﹣x≤1． （1）求a的取值范围； （2）已知a+b＝2，且k＝a+3b，求k的取值范围． 【解答】解：（1） ∴②﹣①，得出2y﹣x＝4a﹣3， ∵2y﹣x≤1， ∴4a﹣3≤1， 解得a≤1， （2）∵a+b＝2， ∴b＝2﹣a， ∵k＝a+3b， ∴k＝a+3×（2﹣a）＝﹣2a+6， ∵a≤1， ∴﹣2a≥﹣2， ∴﹣2a+6≥4， 即k≥4． 9．已知关于a、b的方程组中，a为负数，b为非正数． （1）求m的取值范围； （2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1． 【解答】解：（1）， （①+②）÷2得：a＝m﹣3③， 将③代入②得：﹣3+m+b＝﹣7﹣m， 解得：b＝﹣2m﹣4， ∴方程组的解为． ∵a为负数，b为非正数， ∴， 解得：﹣2≤m＜3， ∴m的取值范围为﹣2≤m＜3； （2）∵2mx+x＜2m+1， ∴（2m+1）x＜2m+1． ∵不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1， ∴2m+1＜0， ∴m， ∵﹣2≤m＜3， ∴﹣2≤m， ∴m＝﹣1或m＝﹣2， ∴当m为﹣2或﹣1时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1． 10．已知关于x，y的方程组满足x﹣2y为负数． （1）求出x，y的值（用含m的代数式表示）； （2）求出m的取值范围； （3）当m为何正整数时，求s＝2x﹣3y+m的最大值？ 【解答】解：（1）， 2×②﹣①得，x＝m﹣4， 将x＝m﹣4代入②得，2（m﹣4）+y＝m﹣1， 解得，y＝﹣m+7， ∴； （2）∵x﹣2y为负数， ∴m﹣4﹣2（﹣m+7）＜0， 解得，m＜6， ∴m的取值范围为m＜6； （3）由题意知，s＝2x﹣3y+m＝2（m﹣4）﹣3（﹣m+7）+m＝6m﹣29， ∵m＜6， ∴当m＝5时，s＝2x﹣3y+m有最大值，最大值为1． 训练5 一元一次不等式新定义问题 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知有理数m、n，定义一种新运算“*”，规定：m*n＝am﹣bn+5（a、b均不为零）．等式右边的运算是通常的四则运算，例如3*4＝3a﹣4b+5．已知2*3＝1，3*（﹣1）＝10． （1）求a，b的值． （2）求x*（2x﹣3）＜5的最小整数解． 【解答】解：（1）∵3*（﹣1）＝10，2*3＝1， ∴3a﹣（﹣b）+5＝10，﹣3b+5＝1， 即， 解得a＝1，b＝2． （2）∵x*（2x﹣3）＜5， ∴ax﹣b（2x﹣3）+5＝﹣3x+11＜5， 解得x＞2， ∴不等式的最小整数解为3． 2．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b＝2a﹣b，例如：5@3＝2×5﹣3＝10﹣3＝7，（﹣3）@5＝2×（﹣3）﹣5＝﹣6﹣5＝﹣11． （1）若x@3＜5，求x的取值范围； （2）已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+1的解满足x@a＜5，求a的最小整数解． 【解答】解：（1）∵x@3＜5， ∴2x﹣3＜5， 2x＜5+3， 2x＜8， x＜4； （2）2（2x﹣1）＝x+1， 4x﹣2＝x+1， 4x﹣x＝1+2， 3x＝3， x＝1， ∵x@a＜5， ∴1@a＜5， ∴2﹣a＜5， 解得：a＞﹣3， ∴a的最小整数解是﹣2． 3．在实数范围内定义一种新运算“△”，其运算规则为a△b＝3a﹣ab，如（﹣1）△3＝3×（﹣1）﹣（﹣1）×3＝0．根据这个规则，解决下列问题． （1）（﹣5）△（﹣2）＝　 　 ． （2）解不等式：x△6＞3． （3）求不等式的最大整数解． 【解答】解：（1）由题意得： （﹣5）△（﹣2） ＝3×（﹣5）﹣（﹣5）×（﹣2） ＝﹣25， 故答案为：﹣25； （2）∵新定义a△b＝3a﹣ab， ∴x△6＞3为：3x﹣6x＞3， 解得：x＜﹣1； （3）∵新定义a△b＝3a﹣ab， ∴不等式为：， 解得： ∴不等式的最大整数解为3． 4．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． （1）下列不等式与x＜2互为“和谐不等式”是　 　 （只填序号）； ①x≥1 ② ③x＞3 （2）若关于x的不等式x+m＞0是3x﹣1＜2x+5的“和谐不等式”，求m的取值范围； （3）若，关于x的不等式x+3＞n与不等式2nx﹣1≤2n﹣x互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【解答】解：（1）∵①不等式x≥1与x＜2有公共整数解1，②不等式 与x＜2没有公共整数解，③x＞3与x＜2没有公共整数解， ∴与x＜2互为“和谐不等式”是①， 故答案为：①； （2）不等式x+m＞0， 解得x＞﹣m， 不等式3x﹣1＜2x+5， 解得x＜6， ∵关于x的不等式x+m＞0是3x﹣1＜2x+5的“和谐不等式”， ∴﹣m＜5， ∴m＞﹣5； （3）不等式x+3＞n， 解得x＞n﹣3， 不等式2nx﹣1≤2n﹣x， 整理得（2n+1）x≤2n+1， ①当2n+1＞0，即n时，x≤1， ∵关于x的不等式x+3＞n与不等式2nx﹣1≤2n﹣x互为“和谐不等式”， ∴n﹣3＜1， ∴n＜4； ②当2n+1＜0，即n时，x≥1， ∵x＞n﹣3， ∴两个一元一次不等式有公共整数解， 此时关于x的不等式x+3＞n与不等式2nx﹣1≤2n﹣x互为“和谐不等式”， 综上所述，n的取值范围为n或n＜4． 5．新定义型阅读理解题：已知任意实数a，b，定义min{a，b}的含义为当a≥b时，min{a，b}＝b，当a＜b时，min{a，b}＝a． （1）若，求x的取值范围； （2）求min{2x﹣1，﹣x+5}的最大值． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴x≥﹣3； （2）①当2x﹣1≥﹣x+5时，解得x≥2， min{2x﹣1，﹣x+5}＝﹣x+5≤3， ②当2x﹣1＜﹣x+5时，解得x＜2， ∴min{2x﹣1，﹣x+5}＝2x﹣1＜3， ∴min{2x﹣1，﹣x+5}≤3， 综上所述，min{2x﹣1，﹣x+5}的最大值为3． 6．定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式“有整数交集”；反之，如果两个一元一次不等式没有公共整数解，那么称这两个不等式为“没有整数交集”． （1）不等式x＞1.5与x≤2 　 　 “整数交集”；（填“有”或“没有”）； （2）关于x的不等式x+2＞a与不等式x﹣2≤1﹣2x“有整数交集”，求a的取值范围； （3）若关于x的不等式x≥m与2x﹣1＜x+1“没有整数交集”，则m的取值范围是 　 ． 【解答】解：（1）∵不等式x＞1.5和不等式x≤2有公共整数解2， ∴不等式x＞1.5与x≤2 有“整数交集”， 故答案为：有； （2）当x+2＞a时，即x＞﹣2+a时，x﹣2≤1﹣2x，即x≤1， 依题意有﹣2+a＜1，即a＜3； （3）解不等式x≥m， 解不等式2x﹣1＜x+1得x＜2， ∵关于x的不等式x≥m与2x﹣1＜x+1“没有整数交集”， ∴m＞1， 故答案为：m＞1． 7．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，如果两个不等式的解集相同，则称不等式A与B为同解不等式． （1）若关于x的不等式A：3﹣2x＞0，不等式B：是同解不等式，求a的值； （2）若关于x的不等式C：x﹣2＞mn，不等式D：x﹣4＞0是同解不等式，其中m，n是整数，试求m，n的值． 【解答】解：（1）∵3﹣2x＞0， ∴﹣2x＞﹣3， ∴x＜1.5， ∵， ∴2x﹣a＜6， ∴2x＜6+a， ∴x， ∵不等式A：3﹣2x＞0，不等式B：是同解不等式， ∴1.5， 解得：a＝﹣3， ∴a的值为﹣3； （2）∵x﹣2＞mn， ∴x＞2+mn， ∵x﹣4＞0， ∴x＞4， ∵不等式C：x﹣2＞mn，不等式D：x﹣4＞0是同解不等式， ∴2+mn＝4， ∴mn＝2， ∵m，n是整数， ∴m＝1，n＝2或m＝﹣1，n＝﹣2或m＝2，n＝1或m＝﹣2，n＝﹣1． 8．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． （1）在不等式：①2x﹣6＜0，②x≤2，③x﹣（3x+1）＞﹣1中，不等式x≥2的“云不等式”是 　 　 （填序号）； （2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣6＜x+m的“云不等式”，求m的取值范围； （3）若关于x的不等式x﹣2a≥0与不等式1﹣2x＞x﹣11互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 【解答】解：（1）解不等式2x﹣6＜0得x＜3，解不等式x﹣（3x+1）＞﹣1得x＜0， 不等式2x﹣6＜0和不等式x≥2有公共解，故①是不等式x≥2的“云不等式”； 不等式x≤2和不等式x≥2有公共解，故②是不等式x≥2的“云不等式”； 不等式x﹣（3x+1）＞﹣1和不等式x≥2没有公共解，故③不是不等式x≥2的“云不等式”； 故答案为：①②； （2）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m， 解不等式2x﹣6＜x+m得x＜m+6， ∵关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣6＜x+m的“云不等式”， ∴﹣2m≥m+6， 解得m≤﹣2， 故m的取值范围是m≤﹣2； （3）解不等式x﹣2a≥0可得x≥2a， 解不等式1﹣2x＞x﹣11得x＜4， ∵关于x的不等式x﹣2a≥0与不等式1﹣2x＞x﹣11互为“云不等式”且有2个公共的整数解， ∴1＜2a≤2， 解得， 故a的取值范围是． 9．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式的“友好解”．例如：方程2x﹣1＝0的解是，同时也是不等式x+1＞0的解，则方程2x﹣1＝0的解是不等式x+1＞0的“友好解”． （1）方程的解　 　 不等式的“友好解”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x、y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围． 【解答】解：（1）解方程得， 解不等式得：x＞﹣3， 所以方程的解是不等式的“友好解”； 故答案为：是； （2）解方程组得：， ∵方程组的解是不等式的“友好解”， ∴， 解得k＜﹣21． 10．对实数x，y，我们定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by（其中a，b为常数）．例如：F（2，3）＝2a+3b，F（2，﹣3）＝2a﹣3b．已知F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程F（x，3y）＝8的解． （3）若关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，且m为非负整数，求m的值． 【解答】解：（1）由题意得， 解得：， 故答案为：2；1； （2）由（1）得F（x，y）＝2x+y（其中a，b为常数）， ∵F（x，3y）＝8， ∴2x+3y＝8， ∵x，y为非负整数， ∴或； （3）已知关于x，y的方程组， 则， 将两个方程相加得：3x+3y＝5﹣2m， ∵x+y＞0， ∴5﹣2m＞0， 解得：m＜2.5， ∵m为非负整数， ∴m＝0或1或2． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $