专项复习三 压轴题（第四单元 比例）八大题型讲练+优选题拔尖练 共44题-苏教版数学六年级下册专项培优讲练

专项复习三 压轴题 （第四单元 比例） 【解析版】 题型讲练 1 题型一：比例的意义 1 题型二：比例的基本性质 4 题型三：解比例 6 题型四：比例的应用 9 题型五：比例尺的意义 11 题型六：比例尺应用 13 题型七：应用比例尺画图 16 题型八：图形的放大与缩小 19 优选题拔尖练 24 题型一：比例的意义 【典例精讲】如图，每个小正方形边长是1厘米。 （1）用数对表示B、C两点所在的位置。B（    ）、C（    ），画出三角形ABC绕A点逆时针旋转90°后的图形。 （2）将三角形ABC以AB为轴旋转一周，形成的图形是（    ），这个图形的体积是（    ）立方厘米。 （3）把长方形按4∶1放大后，画出放大后的图形；请接着在放大后的图形里画一个最大的圆，再画出这个组合图形的所有对称轴。 【答案】（1）（3，6）；（6，4）； （2）圆锥；6π （3） 【思路引导】（1）根据列在前、行在后即可写出此题； （2）根据旋转的特征，这个图形绕点A逆时针针旋转90°后，点A位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可； （3）三角形ABC以AB为轴旋转一周，可以形成一个圆锥，此时圆锥的底面半径＝AC的长度＝3厘米，高＝AB的长度＝2厘米，再根据圆锥的体积＝底面积×高×计算即可； （4）把长方形按4∶1放大，说明长方形的每条边都都比原来扩大4倍，原来长的长2厘米，宽是1厘米，放大后长是8厘米，宽是4厘米；在放大后的图形里画一个最大的圆，说明圆的半径就是长方形的宽，再根据对称轴的特点，据此即可画出此图。 【完整解答】（1）B（3，6）、C（6，4） （2）将三角形ABC以AB为轴旋转一周，形成的图形是圆锥；r＝3厘米，h＝2厘米 v＝π××2×＝6π（立方厘米） 答：形成的图形是圆锥，圆锥的体积是6π立方厘米。 （3） 【考点再现】1、用数对表示位置时，要注意先列后行；2、圆锥的体积＝底面积×高×；3、图形的放大：把图形的每条边都放大，就是把原来的图形按n∶1放大。 【变式训练1】用0.5、4、6三个数与另外一个数组成一个比例，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 48 【思路引导】根据比例的基本性质，两外项的积等于两内项的积，求解即可。 【完整解答】最大：4×6÷0.5＝48 最小：0.5×4÷6＝ 故答案为：48； 【考点再现】从三个数中找出乘积最大的两个数作为内项（或外项），此时求出满足比例的另一个数就是最大的数；同理，找出乘积最小的两个数作为内项（或外项），此时得到的就是所求最大数。 【变式训练2】在12∶7，∶，0.7∶1这三组比中，能与∶组成比例的一组是( )，这个比例的两内项之积是( )。 【答案】 0.7∶1 0.2 【思路引导】分别求出这四组比的比值，根据比例的意义，与∶比值相等的一组比可以与之组成比例；再根据比例的基本性质可求出比例的内项之积。 【完整解答】12∶7＝；∶＝；0.7∶1＝ 因为∶＝，所以能与∶组成比例的一组比是0.7∶1。 这个比例为∶＝0.7∶1，则内项之积是×0.7＝0.2。 故答案为：0.7∶1；0.2 【考点再现】本题考查了比例的意义和比例的基本性质，能够正确的求出四组比的比值是解题的关键，注意计算要认真。 题型二：比例的基本性质 【典例精讲】甲、乙两桶油共重95千克，从甲桶中取出它的，从乙桶中取出它的后，两桶油剩下的一样重。原来两桶油各重多少千克？（油桶的质量忽略不计） 【答案】甲桶油重45千克，乙桶油重50千克 【思路引导】从甲桶中取出它的，还剩下它的1－＝；从乙桶中取出它的后，还剩下它的1－＝。两桶油剩下的一样重，则甲桶油质量×＝乙桶油质量×，根据比例的基本性质可得：甲桶油的质量∶乙桶油的质量＝∶＝9∶10，那么甲桶油的质量占两桶油总质量的，乙桶油的质量占两桶油总质量的。已知两桶油共重95千克，根据乘法的意义，用95分别乘这两个分数，即可求出原来两桶油各重多少千克。 【完整解答】1－＝ 1－＝ 甲桶油质量×＝乙桶油质量×，则甲桶油的质量∶乙桶油的质量＝∶＝9∶10。 甲桶：95× ＝95× ＝45（千克） 乙桶：95× ＝95× ＝50（千克） 答：原来甲桶油重45千克，乙桶油重50千克。 【考点再现】根据比例的基本性质，得出两桶油的质量比是解题的关键。 【变式训练1】用、2和再配上一个数可以组成比例，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 5 【解析】从三个数中任选两个作为比例的外项，那么剩下的一个数和未知数作为比例的内项，根据两外项之积等于两内项之积，求出未知数的可能值，然后求解问题。 【完整解答】 所以这个数最大是5，最小是。 【考点再现】本题考查的是比例的基本性质，虽然这个数只有3种可能，但由于排列顺序不同，组成的比例是非常多的。 【变式训练2】如果 = ，那么= ( )；当=10时，=( )。 【答案】 【思路引导】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。根据比例的基本性质即可求解。 【完整解答】 = ， ＝ ＝ 当=10时，有，得＝10÷＝ 【考点再现】灵活运用比例的基本性质进行计算是解决本题的关键。 题型三：解比例 【典例精讲】解比例。        3∶20＝9∶x       x∶0.8＝2∶0.25        【答案】；x＝60；x＝6.4；x＝0.75 【思路引导】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 （1）先根据比例的基本性质得：，计算出等式右边的得数后，再根据等式的基本性质，等式两边同时除以即可解得； （2）先根据比例的基本性质得：，计算出等式右边的得数后，再根据等式的基本性质，等式两边同时除以3即可解得； （3）先根据比例的基本性质得：，计算出等式右边的得数后，再根据等式的基本性质，等式两边同时除以0.25即可解得； （4）先根据比例的基本性质得：，计算出等式右边的得数后，再根据等式的基本性质，等式两边同时除以3.2即可解得。 【完整解答】      解：                                解： 解： 解： 【变式训练1】解比例。 8∶3＝x∶15                            【答案】；；；。 【思路引导】利用比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，解方程。 【完整解答】    8∶3＝x∶15 解：3x＝8×15    3x＝120      x＝40                                        解：8x＝4×9            8x＝36             解：                          解：         【变式训练2】解方程。 （1）0.8x－8.5×2＝7    （2）    （3） 【答案】（1）x＝30；（2）x＝3.6；（3） 【思路引导】（1）先将方程中可以算的算出得出0.8x－17＝7，再根据等式的基本性质1将等式的两边同时加上17，再根据的等式的性质2将等式的两边同时除以0.8； （2）根据比例的基本性质：内项积等于外项积得出7.5x＝15×1.8，再根据等式的性质2将等式的两边除以7.5； （3）根据乘法的分配律提出x得出，再根据等式的性质2将等式的两边除以，除以一个分数相当于乘这个分数的倒数。 【完整解答】（1）0.8x－8.5×2＝7 解：0.8x－17＝7 0.8x－17＋17＝7＋17 0.8x＝24 0.8x÷0.8＝24÷0.8 x＝30 （2） 解：7.5x＝15×1.8 7.5x＝27 7.5x÷7.5＝27÷7.5 x＝3.6 （3） 解： 题型四：比例的应用 【典例精讲】两袋大米共重440千克，甲袋大米吃掉，乙袋大米吃掉，甲乙两袋中所剩大米重量的比是8∶5。原来甲袋大米重( )千克，乙袋大米重( )千克。 【答案】 240 200 【思路引导】设原来甲袋大米重x千克，则原来乙袋重（440－x）千克，分别将原来甲乙两袋大米的质量看作单位“1”，甲袋大米吃掉，还剩（1－），乙袋大米吃掉，还剩（1－），原来甲袋大米质量×剩下的对应分率＝甲袋剩下的质量，原来乙袋大米质量×剩下的对应分率＝乙袋剩下的质量，根据甲袋剩下的质量∶乙袋剩下的质量＝8∶5，列出比例求出x的值是原来甲袋大米质量，总质量－原来甲袋大米质量＝原来乙袋大米质量。 【完整解答】解：设原来甲袋大米重x千克。 （1－）x∶[（440－x）×（1－）]＝8∶5 x∶[（440－x）] ＝8∶5 x∶[220－x] ＝8∶5 [220－x]×8＝x×5 1760－4x＝x 1760－4x＋4x ＝x＋4x x＝1760 x÷＝1760÷ x＝1760× x＝240 440－240＝200（千克） 原来甲袋大米重240千克，乙袋大米重200千克。 【考点再现】关键是理解分数乘法的意义，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。 【变式训练1】盒子里有黑、白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2∶5，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3∶5。如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是3∶7，那么原来盒子中黑、白棋子的数量之比是（    ）。 A．6∶5 B．5∶6 C．4∶3 D．3∶4 【答案】D 【思路引导】设原来有黑棋子x个，白棋子y个。先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2∶5，黑棋子没有发生改变，则现在的白棋子是黑棋子的，则白棋子有个，则放进白棋子的数量＝现在白棋子的数量－原来白棋子的数量＝个。然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3∶5，白棋子的数量没有发生改变，现在黑棋子的数量是白棋子的，则现在黑棋子的数量为个，那么放进去的黑棋子的数量＝现在黑棋子的数量－原来黑棋子的数量＝个。根据放入的黑棋子和白棋子的数量比是3∶7列出比例，再根据比例的基本性质化简比例得出，根据比例的基本性子，x∶y＝3∶4。 【完整解答】设：原来有黑棋子x个，白棋子y个。 x∶y＝3∶4 原来盒子中黑、白棋子的数量之比是3∶4 故答案为：D 【变式训练2】小明体重的与小华体重的相等。小明体重的比小华体重的轻1.5千克。求小明和小华的体重各是多少千克？ 【答案】小明体重70千克，小华体重42千克 【思路引导】根据小明体重的与小华体重的相等，即小明体重∶小华体重＝∶，化简后得小明的体重等于小华体重的，设小华的体重为x，则小明的体重为x，又因为小明体重的比小华体重的轻1.5千克，据此列方程进行解答即可。 【完整解答】小明体重∶小华体重＝∶＝ 设小华的体重为x，则小明的体重为x 根据题意列方程如下： x－×x＝1.5 x－x＝1.5 x＝42 小明的体重：42×＝70（千克） 答：小明的体重是70千克，小华的体重是42千克。 【考点再现】本题综合考查比例和分数混合运算相关知识，用比例表示出小明和小华的体重关系是解答此题的突破口。 题型五：比例尺的意义 【典例精讲】黄山是安徽旅游的标志，是中国十大风景名胜之一，国家AAAAA级旅游景区。 （1）查询百度地图，合肥市到黄山风景区距离为27.32厘米，比例尺是1∶1000000，合肥市到黄山风景区的实际距离大约是 千米。 （2）笑笑一家去黄山游玩，带回了2大盒、6小盒黄山当地茶叶共1100克，其中大盒茶叶的质量是小盒质量的2.5倍。一大盒茶叶和一小盒茶叶各有多少克？ 【答案】（1）273.2　 （2）一大盒茶叶有250克，一小盒茶叶有100克。 【思路引导】（1）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，最后把单位转化为千米，即可解答。 （2）因为每个大盒茶叶的质量是小盒茶叶质量的2.5倍，所以2个大盒装的质量相当于2×2.5＝5（个）小盒装的质量，所以2个大盒和6个小盒装的总质量等于5＋6＝11（个）小盒装的质量，用总质量除以11就是每个小盒装的质量量，再乘2.5就是每个大盒装茶叶质量。 【完整解答】（1）27.32÷ ＝27.32×1000000 ＝27320000（厘米） 27320000厘米＝273.2（千米） 答：合肥市到黄山风景区的实际距离大约是273.2千米。 （2）小盒：1100÷（2×2.5＋6） ＝1100÷（5＋6） ＝1100÷11 ＝100（克） 大盒：100×2.5＝250（克） 答：一大盒茶叶有250克，一小盒茶叶有100克。 【变式训练1】在比例尺是1∶400000的地图上，量得甲、乙两座城市间的距离是5cm，如果在比例尺是1∶250000的地图上，甲、乙两座城市间的距离是多少厘米？ 【答案】8厘米 【思路引导】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出甲乙两地的实际距离；再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出甲乙两地在比例尺是1∶250000的地图的距离。 【完整解答】甲、乙两地实际距离：5÷＝2000000（厘米） 甲、乙两地在新比例尺中的图上距离：2000000×＝8（厘米） 答：如果在比例尺是1∶250000的地图上，甲、乙两座城市间的距离是8厘米。 【考点再现】本题考查图上距离、实际距离和比例尺三者之间的互相转化，主要灵活运用公式即可。 【变式训练2】一幅地图的比例尺是，改写成数值比例尺是( )。如果测得这幅地图上A市到B市的距离是14厘米，那么A市到B市的实际距离约是( )千米；在比例尺是1∶7000000的地图上，A市到B市的图上距离是( )厘米。 【答案】 1∶3000000/ 420 6 【思路引导】题目中的线段比例尺表示图上1厘米相当于实际距离30千米，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1千米＝100000厘米”，改写成数值比例尺。 已知测得这幅地图上A市到B市的距离是14厘米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出A市到B市的实际距离。 求在比例尺是1∶7000000的地图上，A市到B市的图上距离，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，据此解答。 【完整解答】1厘米∶30千米 ＝1厘米∶（30×100000）厘米 ＝1∶3000000 14÷ ＝14×3000000 ＝42000000（厘米） 42000000厘米＝420千米 42000000×＝6（厘米） 填空如下： 一幅地图的比例尺是，改写成数值比例尺是（1∶3000000）。如果测得这幅地图上A市到B市的距离是14厘米，那么A市到B市的实际距离约是（420）千米；在比例尺是1∶7000000的地图上，A市到B市的图上距离是（6）厘米。 题型六：比例尺应用 【典例精讲】下面方格图中每格都是边长1厘米的正方形。 （1）下图中的1号三角形按( )∶( )缩小后得到2号三角形。 （2）把2号三角形绕点A顺时针旋转90°；点A在点B的( )偏( )( )°方向。 （3）把长方形向下平移4格；点C的位置可以用数对( )表示；如果这幅图的比例尺是1∶2500，则线段CD的实际距离是( )米。 【答案】 1 3 北 西 45 9，3 150 【思路引导】（1）1号三角形底是3厘米，高是6厘米；2号三角形的底是1厘米，高是2厘米。2号三角形的底和高分别相当于1号三角形底和高，可以判断是按1∶3的比例缩小。 （2）把2号三角形绕点A顺时针旋转90°后，点A和点B分别在边长为6厘米的正方形对角线上，根据上北下南左西右东的方向进行确认即可。 （3）把长方形向下平移4格；点C纵坐标是9，横坐标是3，可得数对(9,3)。CD的图上距离是6厘米，用图上距离除以比例尺，可得实际距离。 【完整解答】由分析得： （1）图中的1号三角形按（1）∶（3）缩小后得到2号三角形。 （2）把2号三角形绕点A顺时针旋转90°；点A在点B的（北）偏（西）（ 45）°方向。（答案不唯一） （3）把长方形向下平移4格；点C的位置可以用数对（9，3）表示； 6÷＝15000（厘米）＝150米 线段CD的实际距离是（150）米 【考点再现】本题综合考查了平移、旋转、数对、比例尺等综合知识，对上述知识要充分理解和掌握。 【变式训练1】2021年4月8日扬州世界园艺博览会在仪征枣林湾盛大开幕，共有室外展园64个，其中包括26座国内城市和企业展园，25个国外城市和国际组织展园，以及13个江苏城市展园。 （1）夏明家住南京鼓楼区，在比例尺为的地图上，量得南京鼓楼区到仪征路程为3厘米，夏明上午8时从南京家中出发，上午9时30分到达世博园，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？ （2）哈萨克毡房给夏明留下了深刻的印象，它独具异域风情，由围墙、房杆、顶圈、房毡，门组合而成，如图所示，主体近似圆柱形，高2米，底面周长大约37.68米，上面是一个近似圆锥的屋顶，高1米。这样一个毡房里面的空间大约是多少立方米？ 【答案】（1）50千米；（2）263.76立方米 【思路引导】（1）根据：实际距离＝图上距离÷比例尺，已知图上距离是3厘米，比例尺是，求出夏明家到世博园的距离，夏明上午8时出发，上午9时30分到达世博园，时间是9时30分－8时＝1.5小时，再根据“速度＝距离÷时间”，即可求出这辆汽车每小时行驶的速度。 （2）哈萨克毡房是一个由圆柱和圆锥组成的房子，它们的底面积相等，根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，求出圆柱体积、圆锥体积，它们的和就是这个房子的体积，即可解答。 【完整解答】（1）3÷ ＝3×2500000 ＝7500000（厘米） 7500000厘米＝75千米 9时30分－8时＝1.5小时 75÷1.5＝50（千米） 答：这辆汽车平均每小时行驶50千米。 （2）3.14×（37.68÷3.14÷2）2×2＋3.14×（37.68÷3.14÷2）2×1× ＝3.14×（12÷2）2×2＋3.14×（12÷2）2×1× ＝3.14×36×2＋3.14×36× ＝113.04×2＋113.04× ＝226.08＋37.68 ＝263.76（立方米） 答：这样一个毡房里面的空间大约是263.76立方米。 【考点再现】本题（1）考查比例尺的意义及已知比例尺和图上距离，求实际距离，注意换算单位，再根据：速度＝距离÷时间，解答实际问题。（2）熟练运用圆柱体的体积公式和圆锥体的体积公式的解决实际问题。 【变式训练2】学校有一块长10米、宽8米的空地，打算把它改造成花圃，并铺上草皮，要使花和草皮面积各占，怎样设计更美观？请选择合适的比例尺画出示意图。 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】图案的设计就是指运用三种基本的变换图形的方法，或是综合运用其中的两种，对图形进行变换，设计出美丽的图案。 【完整解答】10×8＝80（平方米） 花和草皮各占80×＝20（平方米） 设计图形如下： （答案不唯一） 【考点再现】本题主要考查学生的设计能力，设计时注意草皮和花的面积。 题型七：应用比例尺画图 【典例精讲】法制广场要建一个外圆直径是12米，内圆直径是9米的圆环喷水池。请在下图中画出圆环喷水池的平面图。（比例尺1∶300） 这个圆环喷水池的实际面积是（           ）平方米。 【答案】见详解；49.455 【思路引导】根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，分别求出外圆直径、内圆直径的图上距离，再除以2，求出它们的图上半径，据此画出这个圆环的平面图。 根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算即可求出这个圆环喷水池的实际面积。 【完整解答】12米＝1200厘米 1200×＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米） 9米＝900厘米 900×＝3（厘米） 3÷2＝1.5（厘米） 图上外圆半径是2厘米，内圆半径是1.5厘米。 如图： 12÷2＝6（米） 9÷2＝4.5（米） 3.14×（62－4.52） ＝3.14×（36－20.25） ＝3.14×15.75 ＝49.455（平方米） 这个圆环喷水池的实际面积是49.455平方米。 【考点再现】本题考查比例尺的应用、根据比例尺画图以及圆环的面积计算方法。 【变式训练1】某设计者用比例是的比例尺将一广场画在图纸上，如图所示，广场是由一个正方形和4个半圆组成的。（π取3.14） （1）该广场的实际面积是多少平方米？ （2）如果小东每天绕广场边沿跑2圈，那么他每天跑多少米？ 【答案】（1）102800平方米 （2）2512米 【思路引导】（1）首先根据买际距离＝图上距离÷比例尺，求出正方形的实际边长，再根据正方形的面积公式、圆的面积公式：，把数据分别代入公式解答。 （2）小东跑一圈的长度等于两个圆的周长，根据圆的周长公式：，求出跑一圈的距离，再乘2即可。 【完整解答】（1） （厘米） （米 （平方米） 答：该广场的实际面积是102800平方米。 （2） （米） 答：小东每天跑2512米。 【考点再现】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，以及正方形的面积公式、圆的面积公式、圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【变式训练2】以学校为观测点，量一量，填一填，画一画。 （1）科技馆在学校的（    ）方向（    ）米处；书店在学校的（    ）方向（    ）米处。 （2）博物馆在学校的南偏西60°方向300米处，体育馆在学校的南偏东45°方向200米处。在图中标出它们的位置。 【答案】（1）北偏西55°（或西偏北35°）；300；北偏东30°（或东偏北60°）；250 （2）见详解 【思路引导】（1）先确定观测点，再根据上北下南，左西右东确定方向和角度，再根据线段比例尺的意义，用图上1厘米表示实际距离100米，用100乘量出的图上距离可确定实际距离。据此解答。 （2）先确定观测点，再根据上北下南，左西右东确定方向和角度，再根据线段比例尺的意义，用图上1厘米表示实际距离100米，用实际距离除以100可确定图上距离。据此作图。 【完整解答】（1）量得科技馆到学校的图上距离是3厘米，书店到学校的图上距离是2.5厘米 （米） （米） 科技馆在学校的北偏西55°（或西偏北35°）方向300米处；书店在学校的北偏东30°（或东偏北60°）方向250米处。 （2）（厘米） （厘米） 作图如下： 题型八：图形的放大与缩小 【典例精讲】下面的方格图，每小格边长表示1厘米，请按要求操作。 （1）画出图形A按2∶1放大后的图形。 （2）如果以图形A的一条直角边为轴旋转一周，形成一个（      ），它的体积是（                ）立方厘米。 【答案】（1）见详解 （2）圆锥；18.84或12.56 【思路引导】（1）图A是一个底为3厘米，高为2厘米的三角形，按2∶1放大，放大后的三角形的底和高都要乘2，据此画出放大后的三角形。 （2）图A是一个直角三角形，直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，形成的立体图形是圆锥，有两种不同的旋转方法，形成两种不同的圆锥： 情况一：以短直角边2厘米为轴旋转，那么形成的圆锥高是2厘米，底面半径是3厘米； 情况二：以长直角边3厘米为轴旋转，那么形成的圆锥高是3厘米，底面半径是2厘米； 然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，分别求出两种圆锥的体积即可。 【完整解答】（1）放大后三角形的底：3×2＝6（厘米） 放大后三角形的高：2×2＝4（厘米） 如图： （2）情况一：以图形A较短的直角边为轴旋转； ×3.14×32×2 ＝×3.14×9×2 ＝18.84（立方厘米） 情况二：以图形A较长的直角边为轴旋转； ×3.14×22×3 ＝×3.14×4×3 ＝12.56（立方厘米） 如果以图形A的一条直角边为轴旋转一周，形成一个圆锥，它的体积是18.84或12.56立方厘米。 【考点再现】（1）掌握作放大后图形的作图方法是解题的关键，明确放大或缩小图形，只改变图形的大小，不改变图形的形状。 （2）掌握圆锥的特征，明确以一个直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周，那么这条直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径，利用圆锥的体积公式列式计算。 【变式训练1】（1）用数对表示长方形ABCD四个顶点的位置。 A（    ），B（    ），C（    ），D（ ）。 （2）画出长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°后的图形①。 （3）按1∶3画出长方形ABCD缩小后的图形②。 （4）在长方形ABCD内画一个最大的半圆；若每个小方格的边长为1m，请计算出半圆的面积。 【答案】（1）（2，3）；（8，3）；（8，6）；D（2，6） （4）14.13平方米 （2）（3）（4）作图见详解 【思路引导】（1）数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可标出四个顶点的位置； （2）根据旋转的特征，这个图形绕点B顺时针旋转90°后，点B位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形①； （3）长方形ABCD的长是6格，宽是3格，根据图形放大与缩小的意义，按1∶3缩小后的长方形长是2格，宽是1格，据此画出图形②； （4）长方形ABCD中画一个最大的半圆，长方形中最大的半圆的直径应等于长方形的长，圆心为线段AB的中点，画半圆，根据圆的面积公式求出圆的面积，再除以2即为半圆的面积。 【完整解答】（1）A（2，3），B（8，3），C（8，6），D（2，6）。 （4）3.14×（6÷2）2÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方米） 【考点再现】主要考查了数对，图形的旋转，长方形内最大半圆的画法，圆的面积，学生应掌握。 【变式训练2】画一画，填一填。 （1）把图①绕M点逆时针旋转90°（面出图形），旋转后P点的位置用数对表示是（    ）。 （2）图②有（    ）条对称轴，把它按2∶1的比放大（画出图形），放大后的图形与原来图形的面积比（    ）。 （③）图③中O点是圈心，BC是圆的直径，。如果每个小方格表示边长为1分米的正方形，那么A点在O点的（    ）偏（    ）（    ）°方向（    ）分米处。 （4）D点在O点南偏西60"方向且在以O为圆心的圈上，请在图中标出D点位置。（保留作图痕迹） 【答案】 （1）作图见详解；旋转后P的位置：P（4，2）； （2）4；作图见详解；4∶1； （3）东；北；60°；3； （4）作图见详解 【思路引导】（1）根据图形旋转的方法，先画出图①绕点M逆时针旋转90度后的图形，再利用数对表示位置的方法标出P点旋转后的位置； （2）图②是正方形，正方形有4条对称轴；原正方形的边长是2，则放大后的正方形的边长是2×2＝4，据此即可即可画出放大后的正方形，再利用正方形的面积公式分别计算出放大前后的面积即可解答； （3）观察图形可知，因为O是圆心，AO＝AC，则三角形AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，据此即可确定点A的位置； （4）根据平面图上的方向和角度，再以O为起点，向圆上画线段，在圆上的端点就是D点。 【完整解答】 （1）观察图形可知：把图①逆时针旋转90度后，点P的位置是（4，2）； （2）图②是正方形，它有4条对称轴，它的面积是2×2＝4，把它按2∶1的比放大（如图所示），放大后的边长是2×2＝4，面积是4×4＝16，放大后的图形与原来图形的面积比是16∶4＝4∶1。 （3）根据题干分析可得，三角形AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，则A点在O点东偏北60°方向，3分米处； （4）作图见上图。 【考点再现】此题主要考查图形的旋转、放大与缩小的方法、用数对表示位置的方法以及利用方向与距离确定物体位置的方法的综合应用。 1．我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设乙每年缴纳养老保险为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x＋0.2）万元，根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金18万元和12万元可知，18比上（x＋0.2）万元等于12比上x万元。 【完整解答】根据题意可列出比例为。 故答案为：B 2．两筐苹果，第一筐卖出，第二筐卖出，剩下的苹果重量刚好相等。原来这两筐的重量比是（    ）。 A．7∶9 B．9∶7 C．3∶5 D．5∶3 【答案】A 【思路引导】根据题意，把第一筐中原有的苹果重量看作单位“1”，卖出，还剩1－，用第一筐原来的苹果重量乘（1－），假设第一筐中原有的苹果重量为x，表示出第一筐中还剩的苹果重量； 把第二筐中原有苹果重量看作单位“1”，卖出，还剩1－，用第二筐原来的苹果重量乘（1－），假设第二筐中原有的苹果重量为y，表示出第二筐中还剩的苹果重量； 两筐剩下的苹果重量相等，可列出方程，根据比例的基本性质求解即可。 【完整解答】解：设第一筐中原有的苹果重量为x，第二筐中原有的苹果重量为y。 x×（1－）＝y×（1－） x∶y＝（1－）∶（1－） x∶y＝∶ x∶y＝（×63）∶（×63） x∶y＝7∶9 所以原来这两筐的重量比是7∶9。 故答案为：A 【考点再现】此题的解题关键是找到等量关系，通过列方程解含有两个未知数的问题，再利用比例的基本性质，解决问题。 3．小马从A地到B地自驾游，如果驾驶原来的燃油汽车所需油费为108元；驾驶新购买的纯电动汽车所需电费为27元。已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，从A地到B地的路程是（    ）千米。 A．100 B．150 C．180 D．200 【答案】B 【思路引导】设新购买的电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则原来的燃油汽车所需的油费为（x＋0.54）元，根据驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费为27元，所行的路程相等，由此即可列出方程，即：＝，转换成比例的形式，再根据比例的基本性质以及等式的性质解方程即可得出纯电动车每行驶1千米所需的电费，再用27除以纯电动车每千米行驶所需电费即可求出A到B的距离。 【完整解答】解：设新购买纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则原来的燃油汽车所需的油费为（x＋0.54）元。 ＝ 108∶（x＋0.54）＝27∶x 27×（x＋0.54）＝108x 27x＋0.54×27＝108x 108x－27x＝14.58 81x＝14.58 x＝14.58÷81 x＝0.18 27÷0.18＝150（千米） 故答案为：B 【考点再现】解答本题的关键利用所行驶的路程相等，找出路程相关的量，设出未知数，列出方程，解方程。 4．甲数的15倍与乙数的14倍相等，甲数的25倍与丙数的20倍相等，比较甲、乙、丙三个数的大小，下列结果正确的是哪一个（    ）。 A．甲＞乙＞丙 B．丙＞乙＞甲 C．甲＞丙＞乙 D．乙＞甲＞丙 【答案】B 【思路引导】根据题意可知，甲数×15＝乙数×14；甲数×25＝丙数×20，运用比例的基本性质，写出甲、乙两数之比，甲、丙两数之比，进而写出三个数的比。选择即可。 【完整解答】甲数×15＝乙数×14，则甲数∶乙数＝14∶15； 甲数×25＝丙数×20，则甲数∶丙数＝20∶25，化简得4∶5。 由此可知，甲∶乙∶丙＝28∶30∶35。 所以丙＞乙＞甲。 故选择：B 【考点再现】此题考查了比例的基本性质的灵活运用。明确比例的两内项积等于两外项积。 5．当一个女性的下肢长与身高比的比值接近0.618时，看上去她的身材最美。明明妈妈的上身长65厘米，下肢长100厘米明明妈妈总觉得她的下肢短了些，因而她外出总是穿高跟鞋。明明妈妈穿的高跟鞋高度约是（ ）时，看上去身材最美。 A．2厘米 B．5厘米 C．10厘米 D．8厘米 【答案】B 【解析】高跟鞋的高度也是要算在下肢长里面，也要算在身高里面，可以设高跟鞋的高度为未知数，表示出下肢长和身高，根据下肢长与身高的比是0.618求解。 【完整解答】解：设高跟鞋的高度为x； 高跟鞋高度约是5厘米，故答案选B。 【考点再现】由于穿上高跟鞋后，下肢长和身高都是发生变化的，用比例方程求解相对容易一些。 6．如图，圆中涂色部分的面积占圆的面积的，占长方形面积的，三角形中涂色部分的面积占三角形面积的，占长方形面积的。圆、长方形和三角形的面积比为( )。 【答案】24∶20∶45 【思路引导】圆中涂色部分的面积占圆的面积的，占长方形面积的，由此可得圆的面积×＝长方形的面积×，假设圆中涂色部分的面积为1，据此可知圆和长方形的面积比； 三角形中涂色部分的面积占三角形面积的，占长方形面积的，由此可得三角形的面积×＝长方形的面积×，假设三角形中涂色部分的面积为1，据此可知三角形和长方形的面积比； 最后再利用比的基本性质将单比化成连比，据此解答。 【完整解答】圆的面积×＝长方形的面积×，假设圆中涂色部分的面积为1，则圆的面积：，长方形的面积：，可知圆的面积：长方形的面积＝6：5； 三角形的面积×＝长方形的面积×，假设三角形中涂色部分的面积为1，则三角形的面积，长方形的面积：，可知三角形的面积：长方形的面积＝9：4； 圆的面积：长方形的面积＝6：5＝24：20，三角形的面积：长方形的面积＝9：4＝45：20 因此，圆的面积：长方形的面积：三角形的面积＝24：20：45 【考点再现】本题关键是找到涂色部分占整个图形面积的几分之几，再假设涂色部分为1，可分别求出整个图形的面积，据此计算出图形之间的面积比。 7．在一个比例式中两个比的比值等于，而这两个比例的两个外项是10以内的相邻的两个合数，这个比例是( )和( )。 【答案】 8∶3.2＝22.5∶9 9∶3.6＝25∶10 【思路引导】10以内的相邻的两个合数分别是8和9、9和10，再根据题意，可知组成比例的两个比，前一个比缺少后项，后一个比缺少前项，进而根据比各部分之间的关系，分别求出两个比的后项或前项，再写出比例得解。 【完整解答】当两个外项分别是8和9时， 前一个比的后项：8÷ ＝8× ＝3.2 后一个比的前项：×9＝22.5 这个比例是8∶3.2＝22.5∶9 当两个外项分别是9和10时， 前一个比的后项：9÷ ＝9× ＝3.6 后一个比的前项： ×10＝25 这个比例是9∶3.6＝25∶10 在一个比例式中两个比的比值等于，而这两个比例的两个外项是10以内的相邻的两个合数，这个比例是8∶3.2＝22.5∶9和9∶3.6＝25∶10。 【考点再现】此题主要考查比的前项＝比值×比的后项，比的前项÷比的后项＝比值的运用；也考查了合数的意义及比例的意义。 8．甲乙丙共有80元钱，丙比甲少18元，甲乙之和与乙丙之和的比是7∶5，甲有( )元，乙有( )元，丙有( )元。 【答案】 35 28 17 【思路引导】设丙有x元，那么甲有x＋18（元），乙有80－x－（x＋18）＝62－2x（元），等量关系为：甲乙之和∶乙丙之和＝7∶5，据此列比例解答求出丙有的钱，进而求出甲有的钱，乙有的钱。 【完整解答】解：设丙有x元，那么甲有x＋18（元），乙有80－x－（x＋18）＝62－2x（元）， （80－x）∶（62－2x＋x）＝ 7∶5 （80－x）∶（62－x）＝ 7∶5 5（80－x）＝7（62－x） 400－5x＝434－7x 7x－5x＝434－400 2x＝34 x＝17 甲：18＋17＝35 乙：62－2×17 ＝62－34 ＝28 【考点再现】考查了学生列比例解答问题的能力，解题的关键是设出未知数，根据等量关系列出比例。 9．a与b的比是3∶4，b是c的，则（    ），a比c少。 【答案】3∶10； 【思路引导】b是c的，即b＝c，又a与b的比是3∶4，将b用c进行等量代换，所以a∶c＝3∶4，化简即可得a∶c的值；求a比c少几分之几，先求出（c－a），再除以c即可。 【完整解答】因为b＝c，a∶b＝3∶4，所以 a∶c＝3∶4 c＝4a a∶c＝3∶10 a为3份，c为10份 则a比c少几分之几列式为： （10－3）÷10 ＝7÷10 ＝ 【考点再现】本题属于求多个数的连比和一个数比另一个数少几分之几的问题，要掌握等量代换的方法。 10．甲、乙、丙三人都做同样的零件20个，同时开始做，甲做完时乙做了16个，丙做了12个，乙做完时丙还有( )个没有做。 【答案】5 【思路引导】乙做了16个时，丙做了12个，由此可知乙、丙的工作效率之比，根据比的应用，求出当乙做完20个时，丙做的个数，进而求出丙还没有做的个数。 【完整解答】乙、丙的效率之比：16∶12，化简得4∶3。 当乙做完20个时，丙的个数为：20÷4×3＝15（个）。 20－15＝5（个），乙做完时丙还有5个没有做。 【考点再现】此题考查了比的应用，求出乙、丙的效率之比是解题关键。 11．请按要求填一填，画一画。 （1）如图，点A在点B的（    ）偏（    ）（    ）°方向。 （2）想象将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后的位置，然后画出点A在旋转过程中经过的路线。旋转后，点A对应的位置用数对表示为 。 （3）画出将三角形ABC按1∶2缩小后的三角形。 （4）图中有一张长6厘米、宽5厘米的长方形纸，想用它做直角三角形的小旗，两条直角边分别是2厘米和3厘米。最多能做（    ）面这样的小旗。（请在图中画一画） 【答案】（1）西；北；45 （2）图见详解；（8，2） （3）见详解 （4）见详解；10 【思路引导】（1）从图中可以看出，三角形ABC是一个等腰直角三角形，所以∠A和∠B都是45°。 以图上的“上北下南，左西右东”为准，以点B为观测点，根据图上的方向和角度得出点A与点B的位置关系。 （2）根据旋转的特征，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，点C的位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，据此画出点A在旋转过程中经过的路线。 根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示点A绕点C顺时针旋转90°后的位置。 （3）从图中可知，三角形ABC的底和高都是4厘米，按1∶2缩小，则三角形ABC的底和高都是除以2，即是缩小后三角形的底和高，据此画出缩小后的三角形。 （4）两个直角边分别是2厘米和3厘米的直角三角形小旗可以拼成一个小长方形；先把长6厘米、宽5厘米的长方形纸分成两部分，一个是“6×3”的长方形，另一个是“6×2”的长方形；先在“6×3”的长方形上画出3个“3×2”的小长方形，再在“6×2”的长方形上画出2个“3×2”的小长方形，这样一共画了5个小长方形；因为每个小长方形里有2个直角三角形，所以最多做10面直角三角形小旗。 【完整解答】（1）如图，点A在点B的西偏北45°方向。 （2）旋转后，点A对应的位置用数对表示为（8，2）。 （3）缩小后三角形的底和高都是：4÷2＝2（厘米） 缩小后的三角形如下图。 （4）如图，最多能做10面这样的小旗。（画法不唯一） 【考点再现】（1）本题考查方向与位置的知识，找准观测点，根据方向、角度和距离确定物体的位置。 （2）掌握作旋转图形的作图方法以及用数对表示位置的方法是解题的关键。 （3）掌握作缩小后图形的作图方法是解题的关键。 （4）关键是把2个直角三角形小旗看作一个小长方形，先画出小长方形的数量，进而得出直角三角形小旗的数量。 12．有三堆围棋子，每堆围棋子都相等，其中第一堆的白子与第二堆的黑子同样多。第三堆白子与黑子的数量比是5∶2，已知三堆围棋子中黑子有72枚，三堆围棋子共有多少枚？ 【答案】168枚 【思路引导】根据题意，第一堆的白子与第二堆的黑子同样多，说明第一堆的白子加上第二堆的白子＝第一堆的黑子＋第二堆的黑子，也可以说是第一堆全是白子，第二堆全是黑子；每堆围棋子都相等，即每堆围棋子占三堆围棋子的；设三堆围棋子共有x枚，则每堆围棋子有x枚；用（72－x），求出第三堆围棋子中黑子的数量；第三堆围棋子中白子有（x－72－x）枚；根据第三堆白子与黑子的数量比是5∶2，列比例：（x－72－x）∶（72－x）＝5∶2，解比例，即可解答。 【完整解答】解：设三堆围棋子共有x枚，则每堆有围棋子x枚。 （x－72－x）∶（72－x）＝5∶2 2×（x－72－x）＝5×（72－x） 2×（x－72）＝5×72－x 2×x－72×2＝360－x x＋－144＝360 x＝360＋144 3x＝504 x＝504÷3 x＝168 答：三堆围棋子共有168枚。 【考点再现】明确第一堆和第二堆白子与黑子的关系，是解答本题的关键。 13．盒子里有一些黑棋子和白棋子，白棋子和黑棋子的比是2∶3，如果从盒子中取出6枚黑棋子，盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6，盒子里原有多少枚黑棋子？ 【答案】30枚 【思路引导】根据原来白棋子和黑棋子的比是2∶3，假设盒子里原来白棋子有2x枚，黑棋子有3x枚，取出6枚黑棋子后，白棋子数量不变，黑棋子变为（3x－6）枚，这时盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6，据此可列出比例式，解比例即可求出盒子里原有多少枚黑棋子。 【完整解答】解：设盒子里原来白棋子有2x枚，黑棋子有3x枚， 2x∶（3x－6）＝5∶6 5×（3x－6）＝2x×6 15x－30＝12x 15x－12x＝30 3x＝30 x＝30÷3 x＝10 3×10＝30（枚） 答：盒子里原有30枚黑棋子。 【考点再现】此题通过题目中的数量关系，巧设未知数，列出比例式，结合比的应用，解决问题。 14．（1）画出图①的另一半，使它成为一个轴对称图形。再将画好的完整图形先向右平移8格，再向下平移1格。 （2）图中圆的圆心的位置用数对表示是（        ）。将圆按3∶1的比放大，并以O点为圆心画出放大后的圆。原来圆的面积和放大后圆面积的比是（        ）。 （3）请将图②绕A点顺时针旋转90度，画出旋转后的图形。 【答案】（1）见详解 （2）（3，3）；见详解；1∶9 （3）见详解 【思路引导】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图形①的各顶点关于对称轴的对称点后，依次连接各点得到轴对称图形； 根据平移的特征，将轴对称图形的各顶点分别向右平移8格，再向下平移1格，依次连接即可得到平移后的图形。 （2）用数对表示位置，数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；圆心在第3列第3行，用数对表示圆心的位置。 将圆按3∶1的比放大，那么圆的半径扩大到原来的3倍，进而得出放大后的圆的半径，并以O点为圆心画出放大后的圆。 根据圆的面积公式S＝πr2可知，原来圆的面积和放大后圆的面积之比等于它们的半径的平方比；根据比的意义，求出原来圆的面积和放大后圆面积的比。 （3）根据旋转的特征，将图②绕A点顺时针旋转90度，点A位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 【完整解答】（1）画出图①的另一半，如图中绿色部分，使它成为一个轴对称图形； 平移后的图形如图中红色部分。 （2）放大后圆的半径是：1×3＝3 原来圆的面积和放大后圆面积的比是12∶32＝1∶9。 放大后的圆如图中蓝色部分。 （3）旋转后的图形如图中黄色部分。 如图： 【考点再现】掌握补全轴对称图形、作平移后的图形、作放大后的图形、画圆、作旋转后的图形的作图方法以及比的意义是解题的关键。 15．小明用240毫升的酸梅原汁加水调制了600毫升酸梅汤，妈妈说，当酸梅汤原汁和水的比是3：7时，口感最佳。为了使调制的酸梅汤口感最佳，小明应再往酸梅汤中加水多少毫升？ 【答案】200毫升 【思路引导】根据酸梅汤原汁和水的比是3∶7，可设需要加水x毫升，列出比例240∶（600－240＋x）＝3∶7计算求解即可。 【完整解答】解：设需要加水x毫升， 240∶（600－240＋x）＝3∶7 （360＋x）×3＝240×7 1080＋3x＝1680 1080＋3x－1080＝1680－1080 3x＝600 3x÷3＝600÷3 x＝200； 答：小明应再往酸梅汤中加水200毫升。 【考点再现】当酸梅汤原汁和水的比是3∶7时，关键为“酸梅原汁的质量不变”，只是改变水的质量。 16．（1）下图中B点的位置是 。 （2）画出梯形ABCD绕B点逆时针旋转90°后的图形，并画出旋转后图形的一条对称轴、一条高。 （3）画出梯形ABCD先向下平移7格，再向右平移2格后的图形。 （4）在方格纸上按1∶2画出梯形ABCD缩小后的图形，原梯形与缩小后梯形的面积的最简比是（    ）。 【答案】（1）（8，8） （2）见详解 （3）见详解 （4）4∶1 【思路引导】（1）用数对表示位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行。 （2）根据旋转的特征，将梯形ABCD绕B点逆时针旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形； 轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴；据此画出旋转后的梯形的对称轴； 梯形的高是上底与下底之间的距离，即上底所在直线上的任意一点到下底所在直线的距离，所以梯形的高有无数条，任意画一条即可。 （3）根据平移的特征，将梯形ABCD的各顶点分别向下平移7格，再向右平移2格，依次连结即可得到平移后的图形。 （4）把梯形ABCD按1∶2缩小，即梯形的每一条边缩小到原来的，原梯形的上底、下底和高分别除以2，得出缩小后梯形的上底、下底和高，据此画出缩小后的图形。 根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出原梯形和缩小后梯形的面积，再求两者的面积比，并化简比。 【完整解答】（1）B点在第8列第8行，用数对表示为（8，8）； （2）梯形ABCD绕B点逆时针旋转90°后的图形如下图，并画出旋转后图形的一条对称轴（图中的虚线），以及一条高h。（高的画法不唯一） （3）平移后的梯形如图所示。 （4）原梯形的上底是4格，缩小后梯形的上底是4÷2＝2（格）； 原梯形的下底是6格，缩小后梯形的下底是6÷2＝3（格）； 原梯形的高是4格，缩小后梯形的高是4÷2＝2（格）； 据此画出缩小后的梯形如下图。 原梯形的面积： （4＋6）×4÷2 ＝10×4÷2 ＝40÷2 ＝20 缩小后梯形的面积： （2＋3）×2÷2 ＝5×2÷2 ＝10÷2 ＝5 原梯形与缩小后梯形的面积的比是： 20∶5 ＝（20÷5）∶（5÷5） ＝4∶1 【考点再现】掌握作旋转后的图形、作平移后的图形、作缩小后的图形、对称轴、梯形的高的作图方法是解题的关键；明确图形的缩小是指图形各边按比例缩小，但形状不变；掌握用数对表示位置，运用梯形的面积公式以及化简比求出缩小前后梯形的面积比。 17．按要求完成下面各题。 ①在方格图中有一个直角三角形，其中两个锐角的顶点分别在A（5，7）和B（1，3），那么直角的顶点C的位置可以是（    ）。 ②把三角形绕点A按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。 ③把三角形按1∶2的比缩小，在合适的位置画出缩小后的图形。缩小后三角形的面积是原来面积的。 【答案】①（5或1，3或7）； ②见详解 ③ 【思路引导】①根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可在网格图中描出点A（5，7）和点B（1，3）的位置；根据直角三角形的特征，即可确定直角顶点C所在列与行，然后用数对表示出来。 ②根据旋转的特征，三角形ABC绕点A逆时针旋转90°，点A的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 ③根据图形放大与缩小的意义，把三角形ABC的两直角边均缩小到原来的，所得到的三角形就是原三角形按1∶2缩小后的图形。根据三角形面积计算公式“S＝ah÷2”即可分别计算出缩小后三角形的面积、原三角形的面积，再用缩小后三角形的面积除以原三角形的面积。 【完整解答】①在方格图中两一个直角三角形，其中两个锐角的顶点分别在A（5，7）和B（1，3），那么直角的顶点C的位置可以是（5或1，3或7）（下图红色部分）。 ②把三角形绕点A按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图形（下图绿色部分）。 ③把三角形按1∶2的比缩小，在合适的位置画出缩小后的图形（下图蓝色部分）。缩小后三角形的面积是原来面积的： （2×2÷2）÷（4×4÷2） ＝2÷8 ＝ 或 【考点再现】此题考查的知识点：数对与位置、作旋转一定度数后的图形、图形的放大与缩小、三角形面积的计算等。 18．抗击新冠肺炎期间，爷爷需要配制75%的酒精消毒，然而家里只有95%的酒精2400ml。小明利用本学期刚学过的相关知识，决心帮爷爷把家里95%的酒精稀释成75%，需要加水多少毫升的问题。 小明操作如下： （1）把75%的酒精转化为：酒精与酒精溶液的比是3∶4。 （2）把95%的酒精转化为：酒精与酒精溶液的比19∶20。 接下来，请你帮小明算一算，需要加水多少毫升？ 【答案】640毫升 【思路引导】用酒精的含量∶酒精溶液＝19∶20，即酒精的含量∶2400＝19∶20，求出酒精的含量；根据题意可知，酒精的含量不变，再用求出的酒精的含量：酒精溶液＝3∶4，求出配制75%的酒精时的酒精溶液量，再减去原来的2400毫升即可求出加水量。 【完整解答】解：设酒精的含量为x毫升；设配制75%的酒精时的酒精溶液量为y毫升； x∶2400＝19∶20 20 x＝2400×19 x＝2280； 2280∶y＝3∶4 3y＝2280×4 y＝3040； 3040－2400＝640（毫升） 答：需要加水640毫升。 【考点再现】明确酒精的含量不变是解答本题的关键，进而求出配制75%的酒精时的酒精溶液量，再进一步解答。 19．按要求画面、填填。 （1）在长方形ABCD中画一个最大的圆，再画出圆和长方形组合图形的1条对称轴。 （2）把长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°。 （3）在图中，按1∶2的比画出长方形ABCD缩小后的图形。 （4）运用所学知识，在图中画出点M的位置，再连接EM和FM，使三角形EFM成为一个等边三角形。点M的位置在点B的（    ）方向。 【答案】见详解 【思路引导】（1）以长方形ABCD的对角线交点为圆心、AD的长为直径画圆，然后过AD、BC的中点画直线，就是组合图形的对称轴； （2）根据旋转的意义，找出图中长方形ABCD的4个关键点，再画出绕D按顺时针方向旋转90度后的形状即可； （3）按1∶2的比例画出长方形缩小后的图形，就是把原长方形的长和宽都缩小到原来的，原长方形的长和宽分别是4格和2格，缩小后的长方形的长和宽分别是2格和1格。 （4）分别以E、F为圆心，以EF的长为半径画弧，交与M点，连接EM、MF，三角形EFM就是等边三角形，根据图上确定方向的方法确定M点与B的相对位置即可。 【完整解答】（1）（2）（3）（4）如图： （4）点M的位置在点B的东南方向。 【考点再现】本题是考查图形的放大与缩小、旋转变换，使学生在观察、比较、思考和交流等活动中，感受图形放大、缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。 20．甲粮仓装43吨面粉，乙粮仓装37吨面粉，如果把乙粮仓的面粉装入甲粮仓，那么甲粮仓装满后，乙粮仓里剩下的面粉占乙粮仓容量的；如果把甲粮仓的面粉装入乙粮仓，那么乙粮仓装满后，甲粮仓里剩下的面粉占甲粮仓容量的，每个粮仓各可以装面粉多少吨？ 【答案】甲粮仓48吨；乙粮仓64吨 【思路引导】 如果把乙粮仓的面粉装入甲粮仓，那么甲粮仓装满后，乙粮仓里剩下的面粉占乙粮仓容量的，说明乙粮仓容量×＋甲粮仓容量＝（43＋37）吨。如果把甲粮仓的面粉装入乙粮仓，那么乙粮仓装满后，甲粮仓里剩下的面粉占甲粮仓容量的，说明甲粮仓容量×＋乙粮仓容量＝（43＋37）吨。如图：。因为不管怎么运，面粉的质量没有减少，说明乙粮仓容量的＝甲粮仓容量的（1－）。据此求出甲和乙的容量比，再按比例分配求出甲、乙粮仓容量。 【完整解答】∶（1－） ＝∶ ＝3∶4 43＋37＝80（吨） 80÷（3＋4×）×3 ＝80÷5×3 ＝16×3 ＝48（吨） 80÷（3＋4×）×4 ＝80÷5×4 ＝16×4 ＝64（吨） 答：甲粮仓可以装面粉48吨，乙粮仓可以装面粉64吨。 【考点再现】解题关键是求出甲、乙粮仓的容量比。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项复习三 压轴题 （第四单元 比例） 【原卷版】 题型讲练 1 题型一：比例的意义 1 题型二：比例的基本性质 2 题型三：解比例 2 题型四：比例的应用 3 题型五：比例尺的意义 3 题型六：比例尺应用 4 题型七：应用比例尺画图 5 题型八：图形的放大与缩小 7 优选题拔尖练 8 题型一：比例的意义 【典例精讲】如图，每个小正方形边长是1厘米。 （1）用数对表示B、C两点所在的位置。B（    ）、C（    ），画出三角形ABC绕A点逆时针旋转90°后的图形。 （2）将三角形ABC以AB为轴旋转一周，形成的图形是（    ），这个图形的体积是（    ）立方厘米。 （3）把长方形按4∶1放大后，画出放大后的图形；请接着在放大后的图形里画一个最大的圆，再画出这个组合图形的所有对称轴。 【变式训练1】用0.5、4、6三个数与另外一个数组成一个比例，这个数最大是( )，最小是( )。 【变式训练2】在12∶7，∶，0.7∶1这三组比中，能与∶组成比例的一组是( )，这个比例的两内项之积是( )。 题型二：比例的基本性质 【典例精讲】甲、乙两桶油共重95千克，从甲桶中取出它的，从乙桶中取出它的后，两桶油剩下的一样重。原来两桶油各重多少千克？（油桶的质量忽略不计） 【变式训练1】用、2和再配上一个数可以组成比例，这个数最大是( )，最小是( )。 【变式训练2】如果 = ，那么= ( )；当=10时，=( )。 题型三：解比例 【典例精讲】解比例。        3∶20＝9∶x       x∶0.8＝2∶0.25        【变式训练1】解比例。 8∶3＝x∶15                            【变式训练2】解方程。 （1）0.8x－8.5×2＝7    （2）    （3） 题型四：比例的应用 【典例精讲】两袋大米共重440千克，甲袋大米吃掉，乙袋大米吃掉，甲乙两袋中所剩大米重量的比是8∶5。原来甲袋大米重( )千克，乙袋大米重( )千克。 【变式训练1】盒子里有黑、白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2∶5，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3∶5。如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是3∶7，那么原来盒子中黑、白棋子的数量之比是（    ）。 A．6∶5 B．5∶6 C．4∶3 D．3∶4 【变式训练2】小明体重的与小华体重的相等。小明体重的比小华体重的轻1.5千克。求小明和小华的体重各是多少千克？ 题型五：比例尺的意义 【典例精讲】黄山是安徽旅游的标志，是中国十大风景名胜之一，国家AAAAA级旅游景区。 （1）查询百度地图，合肥市到黄山风景区距离为27.32厘米，比例尺是1∶1000000，合肥市到黄山风景区的实际距离大约是 千米。 （2）笑笑一家去黄山游玩，带回了2大盒、6小盒黄山当地茶叶共1100克，其中大盒茶叶的质量是小盒质量的2.5倍。一大盒茶叶和一小盒茶叶各有多少克？ 【变式训练1】在比例尺是1∶400000的地图上，量得甲、乙两座城市间的距离是5cm，如果在比例尺是1∶250000的地图上，甲、乙两座城市间的距离是多少厘米？ 【变式训练2】一幅地图的比例尺是，改写成数值比例尺是( )。如果测得这幅地图上A市到B市的距离是14厘米，那么A市到B市的实际距离约是( )千米；在比例尺是1∶7000000的地图上，A市到B市的图上距离是( )厘米。 题型六：比例尺应用 【典例精讲】下面方格图中每格都是边长1厘米的正方形。 （1）下图中的1号三角形按( )∶( )缩小后得到2号三角形。 （2）把2号三角形绕点A顺时针旋转90°；点A在点B的( )偏( )( )°方向。 （3）把长方形向下平移4格；点C的位置可以用数对( )表示；如果这幅图的比例尺是1∶2500，则线段CD的实际距离是( )米。 【变式训练1】2021年4月8日扬州世界园艺博览会在仪征枣林湾盛大开幕，共有室外展园64个，其中包括26座国内城市和企业展园，25个国外城市和国际组织展园，以及13个江苏城市展园。 （1）夏明家住南京鼓楼区，在比例尺为的地图上，量得南京鼓楼区到仪征路程为3厘米，夏明上午8时从南京家中出发，上午9时30分到达世博园，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？ （2）哈萨克毡房给夏明留下了深刻的印象，它独具异域风情，由围墙、房杆、顶圈、房毡，门组合而成，如图所示，主体近似圆柱形，高2米，底面周长大约37.68米，上面是一个近似圆锥的屋顶，高1米。这样一个毡房里面的空间大约是多少立方米？ 【变式训练2】学校有一块长10米、宽8米的空地，打算把它改造成花圃，并铺上草皮，要使花和草皮面积各占，怎样设计更美观？请选择合适的比例尺画出示意图。 题型七：应用比例尺画图 【典例精讲】法制广场要建一个外圆直径是12米，内圆直径是9米的圆环喷水池。请在下图中画出圆环喷水池的平面图。（比例尺1∶300） 这个圆环喷水池的实际面积是（           ）平方米。 【变式训练1】某设计者用比例是的比例尺将一广场画在图纸上，如图所示，广场是由一个正方形和4个半圆组成的。（π取3.14） （1）该广场的实际面积是多少平方米？ （2）如果小东每天绕广场边沿跑2圈，那么他每天跑多少米？ 【变式训练2】以学校为观测点，量一量，填一填，画一画。 （1）科技馆在学校的（    ）方向（    ）米处；书店在学校的（    ）方向（    ）米处。 （2）博物馆在学校的南偏西60°方向300米处，体育馆在学校的南偏东45°方向200米处。在图中标出它们的位置。 题型八：图形的放大与缩小 【典例精讲】下面的方格图，每小格边长表示1厘米，请按要求操作。 （1）画出图形A按2∶1放大后的图形。 （2）如果以图形A的一条直角边为轴旋转一周，形成一个（      ），它的体积是（                ）立方厘米。 【变式训练1】（1）用数对表示长方形ABCD四个顶点的位置。 A（    ），B（    ），C（    ），D（ ）。 （2）画出长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°后的图形①。 （3）按1∶3画出长方形ABCD缩小后的图形②。 （4）在长方形ABCD内画一个最大的半圆；若每个小方格的边长为1m，请计算出半圆的面积。 【变式训练2】画一画，填一填。 （1）把图①绕M点逆时针旋转90°（面出图形），旋转后P点的位置用数对表示是（    ）。 （2）图②有（    ）条对称轴，把它按2∶1的比放大（画出图形），放大后的图形与原来图形的面积比（    ）。 （③）图③中O点是圈心，BC是圆的直径，。如果每个小方格表示边长为1分米的正方形，那么A点在O点的（    ）偏（    ）（    ）°方向（    ）分米处。 （4）D点在O点南偏西60"方向且在以O为圆心的圈上，请在图中标出D点位置。（保留作图痕迹） 1．我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 2．两筐苹果，第一筐卖出，第二筐卖出，剩下的苹果重量刚好相等。原来这两筐的重量比是（    ）。 A．7∶9 B．9∶7 C．3∶5 D．5∶3 3．小马从A地到B地自驾游，如果驾驶原来的燃油汽车所需油费为108元；驾驶新购买的纯电动汽车所需电费为27元。已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，从A地到B地的路程是（    ）千米。 A．100 B．150 C．180 D．200 4．甲数的15倍与乙数的14倍相等，甲数的25倍与丙数的20倍相等，比较甲、乙、丙三个数的大小，下列结果正确的是哪一个（    ）。 A．甲＞乙＞丙 B．丙＞乙＞甲 C．甲＞丙＞乙 D．乙＞甲＞丙 5．当一个女性的下肢长与身高比的比值接近0.618时，看上去她的身材最美。明明妈妈的上身长65厘米，下肢长100厘米明明妈妈总觉得她的下肢短了些，因而她外出总是穿高跟鞋。明明妈妈穿的高跟鞋高度约是（ ）时，看上去身材最美。 A．2厘米 B．5厘米 C．10厘米 D．8厘米 6．如图，圆中涂色部分的面积占圆的面积的，占长方形面积的，三角形中涂色部分的面积占三角形面积的，占长方形面积的。圆、长方形和三角形的面积比为( )。 7．在一个比例式中两个比的比值等于，而这两个比例的两个外项是10以内的相邻的两个合数，这个比例是( )和( )。 8．甲乙丙共有80元钱，丙比甲少18元，甲乙之和与乙丙之和的比是7∶5，甲有( )元，乙有( )元，丙有( )元。 9．a与b的比是3∶4，b是c的，则（    ），a比c少。 10．甲、乙、丙三人都做同样的零件20个，同时开始做，甲做完时乙做了16个，丙做了12个，乙做完时丙还有( )个没有做。 11．请按要求填一填，画一画。 （1）如图，点A在点B的（    ）偏（    ）（    ）°方向。 （2）想象将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后的位置，然后画出点A在旋转过程中经过的路线。旋转后，点A对应的位置用数对表示为 。 （3）画出将三角形ABC按1∶2缩小后的三角形。 （4）图中有一张长6厘米、宽5厘米的长方形纸，想用它做直角三角形的小旗，两条直角边分别是2厘米和3厘米。最多能做（    ）面这样的小旗。（请在图中画一画） 12．有三堆围棋子，每堆围棋子都相等，其中第一堆的白子与第二堆的黑子同样多。第三堆白子与黑子的数量比是5∶2，已知三堆围棋子中黑子有72枚，三堆围棋子共有多少枚？ 13．盒子里有一些黑棋子和白棋子，白棋子和黑棋子的比是2∶3，如果从盒子中取出6枚黑棋子，盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6，盒子里原有多少枚黑棋子？ 14．（1）画出图①的另一半，使它成为一个轴对称图形。再将画好的完整图形先向右平移8格，再向下平移1格。 （2）图中圆的圆心的位置用数对表示是（        ）。将圆按3∶1的比放大，并以O点为圆心画出放大后的圆。原来圆的面积和放大后圆面积的比是（        ）。 （3）请将图②绕A点顺时针旋转90度，画出旋转后的图形。 15．小明用240毫升的酸梅原汁加水调制了600毫升酸梅汤，妈妈说，当酸梅汤原汁和水的比是3：7时，口感最佳。为了使调制的酸梅汤口感最佳，小明应再往酸梅汤中加水多少毫升？ 16．（1）下图中B点的位置是 。 （2）画出梯形ABCD绕B点逆时针旋转90°后的图形，并画出旋转后图形的一条对称轴、一条高。 （3）画出梯形ABCD先向下平移7格，再向右平移2格后的图形。 （4）在方格纸上按1∶2画出梯形ABCD缩小后的图形，原梯形与缩小后梯形的面积的最简比是（    ）。 17．按要求完成下面各题。 ①在方格图中有一个直角三角形，其中两个锐角的顶点分别在A（5，7）和B（1，3），那么直角的顶点C的位置可以是（    ）。 ②把三角形绕点A按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。 ③把三角形按1∶2的比缩小，在合适的位置画出缩小后的图形。缩小后三角形的面积是原来面积的。 18．抗击新冠肺炎期间，爷爷需要配制75%的酒精消毒，然而家里只有95%的酒精2400ml。小明利用本学期刚学过的相关知识，决心帮爷爷把家里95%的酒精稀释成75%，需要加水多少毫升的问题。 小明操作如下： （1）把75%的酒精转化为：酒精与酒精溶液的比是3∶4。 （2）把95%的酒精转化为：酒精与酒精溶液的比19∶20。 接下来，请你帮小明算一算，需要加水多少毫升？ 19．按要求画面、填填。 （1）在长方形ABCD中画一个最大的圆，再画出圆和长方形组合图形的1条对称轴。 （2）把长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°。 （3）在图中，按1∶2的比画出长方形ABCD缩小后的图形。 （4）运用所学知识，在图中画出点M的位置，再连接EM和FM，使三角形EFM成为一个等边三角形。点M的位置在点B的（    ）方向。 20．甲粮仓装43吨面粉，乙粮仓装37吨面粉，如果把乙粮仓的面粉装入甲粮仓，那么甲粮仓装满后，乙粮仓里剩下的面粉占乙粮仓容量的；如果把甲粮仓的面粉装入乙粮仓，那么乙粮仓装满后，甲粮仓里剩下的面粉占甲粮仓容量的，每个粮仓各可以装面粉多少吨？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $