专题04 菱形7重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04菱形 目录 A题型建模·专项突破 题型一、利用菱形的性质求线段长及最值…1 题型二、利用菱形的性质求面积. 题型三、利用菱形的性质证明… 8 题型四、菱形中的翻折问题… 15 题型五、菱形中的旋转问题… 16 题型六、证明四边形是菱形 20 题型七、根据菱形的性质与判定求值 30 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用菱形的性质求线段长及最值 1.(24-25八年级下.上海·月考)菱形的一个锐角为60°，边长为20厘米，则此菱形较长的对角线的长等于 厘米. 【答案】20√5 【详解】解：如图，菱形ABCD的边长为20厘米，∠BAD=60°，连接BD交AC于点E, :AB=AD,∠BAD=60°， O E :△ABD是等边三角形， ∴.BD=AB=20厘米， :BE=DE=BD=10厘米， 2 :AC⊥BD, ∠AEB=90°， CE=AE=√AB2-BE2=V202-102=105(厘米)， AC=2AE=20N3厘米， .此菱形较长的对角线的长等于205厘米， 故答案为：20W3. 2.(24-25八年级下.上海期中)菱形的边长为5cm,两条对角线之比为3：4，则菱形一边上的高的长度为 1/58 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 cm. 路1号 【详解】解：如图：菱形ABCD中，BD:AC=3:4, D B 令BD=6xcm,则AC=8xcm, OD-BD=3xcm.04=OC-AC :ABCD为菱形，边长为5cm, .AB=BC=CD AD 5cm,AC L BD, 在Rt△A0B中，AB2=OA2+OB2, 52=(4x)2+(3x)2, 解得x=1或x=-1(负值舍去)， .BD =6cm,AC 8cm, 设菱形ABCD一边上的高的长度为hcm, :菱形ABCD的面积=)4C-BD=5h, 21 2x8×6=5h, 24 解得h= 5’ 即菱形一边上的高的长度为4。 cm, 5 24 故答案为： 3.(22-23八年级下·上海嘉定·期末)两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉摆放，使得重叠部分是一个菱形 ABCD(如图)，那么该菱形的边长m的取值范围是一· D 【答案】2≤m≤1 4 2/58 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：当两矩形纸条垂直时，菱形ABCD是正方形，菱形的边长最小，m=2, D C A B 当两纸条如图摆放时，菱形的边长最大， B :矩形长是8，宽是2， AE=2,EC=8, .ED =8-m, :∠E=90°， AD2=AE2+ED2, m2=22+(8-m2, 4, 2sms 4 散答案为：2≤m≤入 4.(2024八年级下.上海.专题练习)如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，点M是边BC的 中点，点N是边CD上一点，点P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为 A ◇ B M 24 【答案】 【详解】解：作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,连接AC, 3/58 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D :四边形ABCD是菱形， B M AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,AB=BC, 即Q在AB上，AB与CB关于BD成轴对称， :MQ⊥BD,M为BC中点，BM=CM=BC=AB, 2 2 ÷B0=BM=AB, 2 Q为AB中点， N为CD上一动点， :当QW⊥CD时，QN最短，即PM+PN=PQ+PN=QN最短； :四边形ABCD是菱形， Cp-4c=,8n-5D=4 在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5, 由等面积法可得：×6x8=50N, Qv- 三PM+PV的最小值为4 故答案为： 24 5 题型二、利用菱形的性质求面积 5.(23-24八年级下.上海宝山期末)已知菱形的边长是8，一个内角是60°，那么这个菱形的面积是() A.64 B.32 C.645 D.32V3 【答案】D 【详解】解：连接AC,过点A作AE⊥CD交于点E,如图， B 4/58 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :菱形的边长是8，一个内角是60°， ·.△ADC是等边三角形， 1 .DE EC=-DC=4, 2 由勾股定理可得，AE=√AD2-DE2=4V5, :菱形的面积是8×4√5=32√3. 故选：D 6.(24-25八年级下.上海徐汇·月考)若菱形周长为20cm,两对角线之和为12cm,则菱形面积为 【答案】11 【详解】解：：菱形周长为20cm, :.菱形的边长为5cm, 如图所示，菱形ABCD的对角线交于点O,则O1=54C0BBD,ACLBD, B :两对角线之和为12cm, ∴.AC+BD=12cm, .0A+0B=6cm, 设0A=acm,OB=bcm, ∴a+b=6, 在RtaA0B中，由勾股定理得AB2=OA2+OB2, a2+b2=52=25, ∴ah=a+°-(a+b）1n 2 2 Sm=74AC-BD=)2a-2b=1, 2 2 故答案为：11. 7.(24-25八年级下.上海·月考)已知菱形一组对角的和为240°，较短的一条对角线的长度为4，那么这个 菱形的面积为】 【答案】8V3 雀解)解：由题意得，∠BAD=)×240°=120°，AC54 5/58 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是菱形， BA-BC.AD#BC.AC L BD.A0-AC-2.BO-DO-BD LABC=180°-∠BAD=60°， ABC是等边三角形， ∴AB=AC=4, B0=VAB2-A02=V42-22=2V5, BD=2B0=4V5, Ss1BD=号4 ACx BD=×4x4N5=8V5】 故答案为：83· D 8.(24-25八年级下.上海杨浦期末)如图，菱形ABCD的面积为36，点E、F分别在边AB、BC上， AE=BE,如果△BEF的面积为6，那么△DEF的面积为 E F 【答案】15 【详解】解：连接EC, A E AE BE, .S,BEc=S,AED=S菱形HBcD=9, 4 又：△BEF的面积为6， 6/58 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴BF:BC=2:3,即CF:BC=1:3, 1 ·.S,FrCD=。S菱形ABcD=6, 6 ÷SDEr=S菱形BcD-SBEF-SAED-S.Fcn=36-6-9-6=15, 故答案为：15. 9.(23-24八年级下.上海期末)已知菱形ABCD的周长为40，对角线AC、BD相交于点0.如果 A0:B0=4:3,那么菱形ABCD的面积为 【答案】96 【详解】解：如图， B :菱形ABCD的周长是40， AB=40÷4=10,AC1BD, A0:B0=4:3, 设A0=4x,则B0=3x, :A02+B02=AB2,即(4x)2+3x)2=102, 解得：x=2(负值已舍去)， A0=8,B0=6, AC=2A0=16,BD=2B0=12, :菱形ABCD的面积为：AC,BD=x16×12=96, 2 故答案为：96. 10.(24-25八年级下.上海期中)如图，已知线段AC. A 一C (1)请用无刻度直尺和圆规作出菱形ABCD,使得BD=2AC(不写作法和结论，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，如果AC=2,则菱形ABCD的面积为，高为 【详解】(1)解：菱形ABCD即为所作： 7/58 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (2)解：：BD=2AC=4, “菱形ABCD的面积为)ACxBD=)×2x4=4, :ABCD是菱形， .A0=1,B0=2, AB=VA02+B02=VP+22=V5, 美形的西为后5， 故答案为：4， 题型三、利用菱形的性质证明 11.(24-25八年级下.上海期中)如图，在。ABCD中，点E,F分别为AB,CD的中点，BD是对角线， AG∥DB交CB的延长线于G. B (1)求证：DE=BF; (2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论 【详解】(1)：在。ABCD中， AB∥CD,AB=CD :E、F分别为边AB、CD的中点 :.BE=TAB,DF=ICD 2 2 ∴BE=DF 四边形DEBF是平行四边形 8/58 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴DE=BF; (2)矩形，理由如下： :在ABCD中， .AD∥BC :AG∥DB, :四边形AGBD是平行四边形 如图所示，连接DG D F E G :E为边AB的中点 点E在DG上 :四边形BEDF是菱形 ·DE=BE AE=BE,DE=EG ∴AB=DG :.平行四边形AGBD是矩形 12.(23-24八年级下.上海松江·期末)己知四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=4,∠EAF的两边 分别与射线CB、射线DC交于点E、F,点E与点C、点B不重合，LEAF=60°. D B B 图1 图2 备用图 (1)当点E在线段CB上时， ①如图1，求证：BE=CF: ②连接BD交AE于点H,当BE=BH时，求BE的长 (2)当∠BAE=15°时，求BE的长.（直接写出答案） 【详解】(1)①证明：连接AC, 9/58 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， B ∠BAC=∠CAD=∠B=∠ACD=60°， ABC为等边三角形， :AB=AC, :∠EAF=60°=∠BAC, ·∠EAF-LEAC=∠BAC-LEAC,即LBAE=∠CAF, △BAE≌△CAF(ASA), :BE=CF. ②解：连接AC交BD于点G, D G 四边形ABCD是菱形， B E AC⊥BD于点G, :AB=4, ·AD=AB=AC=4,, ·AG=2, BD=2BG=2AB2-AG2=43 BE =BH, ∠AEH=∠BHE, :AD∥BC, ∠DAH=∠BEH, ∠DHA=∠BHE, ·∠DAH=∠DHA, ∴.DH=AD=4, :BE BH BD-DH=43-4. (2)解：①当E在线段CB上时， 作AM⊥BC于点M,作EN⊥AB于点N, 10/58 专题04 菱形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用菱形的性质求线段长及最值 1 题型二、利用菱形的性质求面积 2 题型三、利用菱形的性质证明 2 题型四、菱形中的翻折问题 4 题型五、菱形中的旋转问题 4 题型六、证明四边形是菱形 5 题型七、根据菱形的性质与判定求值 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用菱形的性质求线段长及最值 1．（24-25八年级下·上海·月考）菱形的一个锐角为，边长为20厘米，则此菱形较长的对角线的长等于 厘米． 2．（24-25八年级下·上海·期中）菱形的边长为，两条对角线之比为，则菱形一边上的高的长度为 ． 3．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉摆放，使得重叠部分是一个菱形（如图），那么该菱形的边长m的取值范围是 ． 4．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知菱形的两条对角线分别为6和8，点是边的中点，点是边上一点，点是对角线上一点，则的最小值为 ． 题型二、利用菱形的性质求面积 5．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知菱形的边长是8，一个内角是，那么这个菱形的面积是（    ） A．64 B．32 C． D． 6．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）若菱形周长为，两对角线之和为，则菱形面积为 ． 7．（24-25八年级下·上海·月考）已知菱形一组对角的和为，较短的一条对角线的长度为4，那么这个菱形的面积为 ． 8．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，菱形的面积为36，点、分别在边、上，，如果的面积为6，那么的面积为 ． 9．（23-24八年级下·上海·期末）已知菱形的周长为40，对角线相交于点．如果，那么菱形的面积为 ． 10．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知线段AC． (1)请用无刻度直尺和圆规作出菱形ABCD，使得（不写作法和结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，如果，则菱形ABCD的面积为______，高为____． 题型三、利用菱形的性质证明 11．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 12．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 13．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 题型四、菱形中的翻折问题 14．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，将一张菱形纸片沿所在的直线翻折，使点落在点处，联结交边于点．如果为中点，那么折痕与边的夹角的度数是 ． 15．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．将边沿着过点O的一条直线翻折，点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接，如果点E落在线段上，那么的面积为 ． 题型五、菱形中的旋转问题 16．（24-25八年级下·上海·月考）在边长为6的菱形中，，将菱形绕点旋转，得到菱形，其中点落在的延长线上，那么的面积是 17．（22-23八年级下·上海长宁·期末）如图，菱形的边长为，，连接，将菱形绕点旋转，使点的对应点落在对角线上，连接，那么的面积是 ．    18．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知菱形的边长为，，将菱形绕点按逆时针旋转，得到菱形，其中、、的对应点分别是、、． (1)填空：当旋转角为时，则点、的距离是______； (2)连接，当在的延长线上时，求的大小． 题型六、证明四边形是菱形 19．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，平行四边形中，点E在边上，点F在线段延长线上，且，平分，求证：四边形为菱形． 20．（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 21．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果四边形为矩形，，，求的长． 22．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，已知在平行四边形中，点，分别是，的中点，，与对角线分别相交于点，，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是菱形． 23．（23-24八年级下·上海·期末）已知，如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点O，E，F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的值． 24．（2024八年级下·上海·专题练习）已知：在梯形中，，，，点是的中点，点是的中点，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 25．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，是平行四边形的对角线的垂直平分线，与边、分别交于点、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若为线段的中点，求证：． 26．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，在梯形中，，，E为的中点，联结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是菱形． 27．（2023八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在平行四边形中，点、、、分别在边、、、上，且，，平分． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四边形是菱形． 28．（22-23八年级下·上海松江·期末）已知：如图，是等边三角形，点D在边上，且是等边三角形，边与交于点O．过点E作，分别与线段相交于点F、G、H，联结．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，如果，求证：四边形是菱形． 题型七、根据菱形的性质与判定求值 29．（24-25八年级下·上海闵行·月考）已知平行四边形中，，，且，则平行四边形的周长为 ． 30．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，平行四边形中，，，，点E、F分别是边、边的中点，点M是与的交点，点N是与的交点，则四边形的周长是 ． 31．（2022八年级下·上海·专题练习）已知四边形ABCD是菱形，周长是40，如果AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 ． 32．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，已知，点分别在边上，且四边形是菱形． (1)请使用直尺与圆规确定点E的具体位置，再画出菱形（不用写作法、结论，保留画图痕迹）； (2)如果点M（不与点D重合）在边上，且满足，那么四边形的形状是________； (3)在（2）的条件下，如果，那么四边形的面积是________． 33．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中．    (1)如图1，M、N分别是中点，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，则t的值是______． 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）在菱形中，，则 度． 2．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知菱形的边长和一条对角线的长都为，那么此菱形的面积为 ． 3．（22-23八年级下·上海普陀·期末）如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合）且交于，交于，那么阴影部分的面积是 ．    4．（22-23八年级下·上海宝山·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接、．    (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求的长． 5．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在平行四边形中，E是上一点，且，．      (1)求证：平行四边形是菱形； (2)若，，求对角线的长． 6．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，在菱形中，点E为边中点，连接，．    (1)求的度数； (2)连接，如果，求菱形的面积． 7．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知：在菱形中，，，垂足为、． (1)如图①，如果，求证：； (2)如图②，如果对角线与、交于点、，且，求证：． 8．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）已知：如图，四边形中，，垂足分别为E、F，． (1)求证：四边形为菱形； (2)联结交于点O，联结，求证：． 9．（22-23八年级下·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求证：四边形为矩形． 10．（22-23八年级下·上海闵行·期末）如图，四边形中，，，与相交于点，．      (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作点，垂足为点，连结，求证：． 11．（22-23八年级下·上海普陀·期末）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点O，平分，过点D作分别交、于点E、F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证：． 12．（24-25八年级下·上海静安·期末）平行四边形中，E、F分别在、上，连接、交于点G，连接、交于点H，四边形是矩形． (1)如图1，连接，如果，求证：①；②； (2)如图2，若，且，又，用含a、b的代数式表示的长．请直接写出结果： _______． 13．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，、分别是边、的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作与的延长线交于点，且．求证：四边形是矩形． 14．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过A作交的延长线于点F，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 15．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，在梯形中，，过点作交边于点，连接交点，且是的中点． (1)求证：点是的中点； (2)连接，当时，求证：四边形是菱形． 16．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如图，E、F是对角线上两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 17．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，平分，．    (1)求证：； (2)作，垂足为点E，． ①设，请用含m的代数式表示梯形的面积； ②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 18．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长交于点，联结，请先按要求完善图形，再判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由； (3)填空：联结，如，，则的长为_______．（直接给出结果） 19．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，在矩形中，是边的中点，点在边上，连接并延长，交射线于点，过点作的平行线，分别交边与射线分别于点、． (1)如果点与点重合时，求的值； (2)如果四边形是菱形，求这个菱形的面积； (3)连接、，当时，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $