第12讲 复数的四则运算（2大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）讲义（寒假衔接课堂）-2026年高一数学寒假衔接讲义（人教A版必修第二册）

第12讲 复数的四则运算（2大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 复数加减法的代数运算 典型例题二 复数加减法几何意义的运用 典型例题三 复数代数形式的乘法运算 典型例题四 复数的乘方 典型例题五 复数范围内方程的根 典型例题六 复数的除法运算 典型例题七 根据复数乘法运算结果求复数的特征 典型例题八 共轭复数的概念及计算 典型例题九 复数的平方根与立方根 典型例题十 复数的三角表示 典型例题十一 复数乘、除运算的三角表示 知识点一：复数的加、减法 1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. 2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． 4、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 5、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线， 以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 6、复数的减法是加法的逆运算，如图2， 复数与向量等于）对应， 这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 【即时训练】 1．（24-25高一下·安徽·月考）若，则|z|=（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出复数，再根据复数的模的计算公式求出. 【详解】已知，可得. 因为，所以. . 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在复平面上的中，对应的复数为，对应的复数为，则向量对应的复数为 . 【答案】 【解析】表示为，代入相对应的复数即可得解. 【详解】设的对角线与相交于点P，由向量加减法的几何意义可得，所以对应的复数为. 故答案为： 【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题. 知识点二：复数的乘、除法 1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． 2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 （1）z1·z2＝z2·z1(交换律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； （3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立． 3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． 4、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 5、规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 【即时训练】 1．（24-25高三上·江苏·期末）已知复数，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出，再利用复数乘方及复数模的意义求得答案. 【详解】依题意，复数， 所以. 故选：C 2．（2025·湖南·一模）已知（为虚数单位，），则的值为 ． 【答案】 【分析】根据复数的乘方运算和复数相等的条件即可得到答案. 【详解】因为，由复数相等的充要条件得， 所以． 故答案为：. 【典型例题一 复数加减法的代数运算】 1．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）为虚数单位，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数的模的运算得到答案. 【详解】，所以， 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用复数的四则运算法则求解即可. （2）利用复数的四则运算法则求解即可. （3）利用复数的四则运算法则求解即可. 【详解】（1） . （2） . （3） . 1．（24-25高一下·山东济宁·月考）设复数，满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】用参数设出两个复数，根据复数模长的计算公式，用参数表示出所有模长，求出结果. 【详解】设，， 因为，所以， 由可得， 带入解得， 则. 故选：C. 2．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知复数满足，当的虚部取最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用复数的模长公式可得出，求出的取值范围，可得出的最小值，进而可得出的值，由此可得出复数的值. 【详解】设，则， 所以，，即， 所以，，可得，解得， 当的虚部取最小值时，即当时，则，解得， 故， 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的减法运算和模长计算公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 4．（24-25高一·上海·课堂例题）若复数和复数满足，，，求． 【答案】5 【分析】利用复数模的公式计算即可 【详解】设， 则， ， 由，得， 由，得， 由，得， 即， 解得， 所以， 所以. 【典型例题二 复数加减法几何意义的运用】 1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】确定表示复数的几何意义，再结合的几何意义求解作答. 【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，半径的圆上， 表示复数对应的点到的距离， 点到点的距离， 所以的最大值为. 故选：C. 2．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知复数满足，且，求. 【答案】 【分析】设对应的复数为，对应的复数为，利用向量运算和复数的向量表示可解. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且， 所以为等腰直角三角形，且.    作正方形AOBC，如图所示， 则对应的复数为，故. 1．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 2．（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】先根据复数几何意义得坐标，再根据对称得到坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点间距离公式得结果. 【详解】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是 . 【答案】1+i 【分析】，代入条件求解即可. 【详解】由已知. 故答案为： 4．（2024高一下·全国·专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. （2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离： ①； ②. 【答案】（1）（2）①；②5 【分析】（1）利用复数的几何意义化简，找到对应向量，求解向量的模即可. （2）找到对应的点坐标，再利用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）因为复平面内的点， 对应的复数分别为，， 所以点，之间的距离为 . （2）①易知对应的坐标为，对应的坐标为，设两点间距离为， 由两点间距离公式得； ②易知对应的坐标为，对应的坐标为，设两点间距离为， 由两点间距离公式得. 【典型例题三 复数代数形式的乘法运算】 1．（2026·四川宜宾·一模）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的四则运算求解即可. 【详解】已知为虚数单位，则, 故选：D 2．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）（1）计算复数，并将结果表示为的形式（其中为实数）； （2）已知复数，求的模. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据复数的乘法运算法则可求解； （2）根据复数模的计算公式可求解. 【详解】（1） （2）因为， 所以 . 1．（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义和代数运算求解. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以， 计算， 故选：A. 2．（24-25高一下·江西南昌·期末）设复数z满足，则（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据复数乘法化简，再根据复数模的定义求解. 【详解】因为，所以， 故选：A. 3．（24-25高一下·四川雅安·月考）复数的虚部为 ． 【答案】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，即可判断. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故答案为： 4．（24-25高一下·浙江·期中）在复平面内复数，其所对应的点分别为为坐标原点，是虚数单位. (1)求； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要先计算和，再求它们差的模； （2）设出实根，代入方程，根据复数相等的条件求解. 【详解】（1） （2）设是二次方程的一个实根，将 代入方程得： 由复数相等的意义得：，解得： 所以当时，原方程有一实根 【典型例题四 复数的乘方】 1．（2025·河北邯郸·一模）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数乘法规则依次计算即可得解. 【详解】由题可得， 所以. 故选：A 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）利用复数的除法运算可得答案； （2）利用复数的除法运算可得答案； （3）利用复数的除法运算、乘方运算可得答案；. 【详解】（1）； （2） ； （3）. 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）若复数满足，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由立方差公式得到，从而得到. 【详解】因为，所以， 故， 因为，所以， 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设各选项的一一计算各项所得到的列值，再结合收敛点的定义即可判断. 【详解】对A，由可得列值，，，…不合题意，故A错误； 对B，由可得列值，，，…不满足题意，故B错误； 对C，由可得列值，，，…不满足题意，故C错误； 对D，由可得列值… 因为， 存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确； 故选：D 3．（2025高一下·宁夏内蒙古·专题练习）已知复数，则 ． 【答案】 【分析】首先根据和的计算，发现的计算周期，即可求解. 【详解】复数 所以 ，所以， 所以的周期为3， 由，所以， 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）在一次练习中，有位同学在判断一道多选题的某个选项“已知复数，且，则”是否正确时，他在草稿纸上写的解法如下：因为，所以，那么．请判断一下这位同学的解答是否正确，若不正确，请指出推理过程中的错误． 【答案】不正确，答案见解析 【分析】代入参数，表示，以此判断是否等价. 【详解】不正确，判断过程如下： 设，， ，，， 即； 而，， 仅无法确定， 由此可知这位同学混淆了复数模的平方与复数的平方，二者并不相等， 故不正确. 【典型例题五 复数范围内方程的根】 1．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）若复数是关于x的方程，（a，）的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程化简，然后根据复数相等的条件列出方程组，求解即可得出答案. 【详解】由题意得， 则，得，所以． 故选：A. 2．（24-25高一下·上海·月考）关于x的方程的两根分别为， (1)若，求实数p的值； (2)若，求实数p的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入方程可求得p值； （2）根据方程中进行讨论结合可求得p值． 【详解】（1）把代入关于x的方程得：， 解得：，的值为 （2）关于x的方程的两根分别为、， ，， 当即或时， 由得：，解得：； 当即时，方程解为， 又，，解得： 故p的值为：或 1．（24-25高一下·山东·月考）已知是关于x的方程的根，则（   ） A．-9 B．-1 C．9 D．1 【答案】D 【分析】将复数代入方程，利用复数相等，建立方程，可得答案. 【详解】由， 可得，解得，则． 故选：D. 2．（24-25高一下·云南大理·月考）若是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用韦达定理可得答案. 【详解】由题意可得关于的方程的另一个根为， 则，解得． 故选：D. 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知复数为方程的根，则 . 【答案】 【分析】设复数，代入方程中，根据复数的运算及复数相等概念列方程组解的值，从而可得复数. 【详解】设复数，若复数是方程的根， 则，整理得 所以， 若，则，，则在实数范围内无解，不符合题意， 故，从而解得， 所以复数， 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是实系数一元二次方程的一个根，则是另一个根，利用韦达定理即可求解； （2）根据题意得方程的一个实数根为，代入得，进而求解. 【详解】（1）若是实系数一元二次方程的一个根，则也是实系数一元二次方程的另一个根， 根据韦达定理得， 解得； （2）由有， 所以，所以， 所以， 当时，原方程有一个实根为. 【典型例题六 复数的除法运算】 1．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法，可得答案. 【详解】. 故选：D. 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数. (1)求复数； (2)若，求实数a，b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的乘方法则和除法法则求解即可. （2）根据复数相等列方程求解即可. 【详解】（1）. （2），则， 解得. 1．（25-26高三上·山东聊城·月考）复数z满足（i是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则计算. 【详解】由得， 故选：A. 2．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）若则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的乘法及除法计算求解. 【详解】因为 所以，即得， 所以. 故选：C. 3．（24-25高三上·四川成都·期中）若复数满足，则 . 【答案】 【分析】先根据复数的除法运算化简得出，再应用复数的模长公式计算即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知是关于x的方程的一个根，其中i为虚数单位. (1)求p，q的值； (2)记复数，求复数. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入方程，根据复数相等的条件求解即可； （2）由（1），再根据复数的除法求解即可. 【详解】（1）已知是关于x的方程的一个根， 所以， 整理得， 所以，解得. （2）由（1）得复数， 所以. 【典型例题七 根据复数乘法运算结果求复数的特征】 1．（2025·河南郑州·一模）已知是虚数单位，若复数的实部为1，，则复数的虚部为（    ） A．或 B．或 C．或1 D．或 【答案】A 【分析】设，则，由，列出方程求解即可. 【详解】由题意，设，则， 所以， 即，所以或， 即或， 所以复数的虚部为或. 故选：A. 2．（24-25高一·上海·课堂例题）已知是实系数一元二次方程一个根，求b、c的值． 【答案】，. 【分析】将代入方程计算即可. 【详解】将代入方程得：， ， 所以，解得． 故，. 1．（24-25高三下·广东惠州·月考）已知是关于的方程的一个根，为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入原方程并化简，进而解出p,q，最后求得答案. 【详解】根据题意，，所以，所以. 故选：C. 2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知复数，（，，是虚数单位）满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算直接可得与，进而可得. 【详解】由， 可得，解得 ， ， 故选：C. 3．（24-25高三下·天津河西·月考）已知，则的虚部为 . 【答案】 【分析】令，将其代入化简得，列方程组即可求得. 【详解】令，则， 因，则， 即，则， 解得，则，故的虚部为. 故答案为： 4．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知复数为虚数单位. (1)若，求； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的除法进行计算即可； （2）方法一，把直接代入方程，求得，再进行复数的乘法运算. 方法二，由是关于的实系数方程的一个复数根，得是此方程的另一个复数根，根据根与系数关系求得，再进行复数的乘法运算. 【详解】（1）若，则， 所以. （2）方法1：由题得， 所以又，故可解得，即. 则. 方法2：因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是方程的另一个复数根，则， 即，又，故可得.. 则. 【典型例题八 共轭复数的概念及计算】 1．（25-26高三上·山西太原·月考）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合共轭复数定义与模长公式计算即可得. 【详解】由，则. 故选：B. 2．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知复数，i为虚数单位. (1)求； (2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值；并把代数式分解成一次因式的积. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）应用复数的除法和加法化简复数，再写出其共轭复数； （2）是的两个根，应用根与系数关系求参数，再对代数式作因式分解. 【详解】（1）由题设，则； （2）由题设是的两个根，则，故， 所以. 1．（24-25高二下·四川凉山·期末）设，则（   ） A． B．i C．1 D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据共轭复数的定义求出 【详解】，所以， 故选：A. 2．（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用复数的乘除法则计算出复数，然后利用共轭复数的概念求出结果. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法求出，再求共轭复数即可． 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：． 4．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知是虚数单位，设，． (1)已知，且，求的值； (2)求证：． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）设，再分及代入计算即可得解； （2）设，再分及验证是否恒成立即可得. 【详解】（1）设， 若，则， 故， 即，，即； 若，则， 故， 即，，即； 综上所述，或； （2）设， 若，则，， 则， ，故； 若，则，， ， ，故； 故恒成立，即得证. 【典型例题九 复数的平方根与立方根】 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的配方法求根得，进而求解复数模长得结论． 【详解】复数满足， 即，可得， 则． 故选：B． 2．（2025高一·上海·专题练习）求及的平方根． 【答案】的平方根为或；的平方根为或. 【分析】由可得出的平方根，设，根据复数的乘法运算可得出关于、的方程组，解出、的值，可得出的平方根. 【详解】，所以，的平方根为或. 设，即，所以，， 解得或，因此，的平方根为或. 1．（2025·辽宁沈阳·三模）虚数单位的平方根是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】设平方根为，然后由平方根定义列式，由复数相等的定义计算． 【详解】设的平方根为，则， 所以，解得或． 所以的平方根为或． 故选：D． 2．（24-25高一下·浙江温州·期中）设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（    ） A．只有纯虚数根 B．只有实数根 C．有两个实数根，两个纯虚数根 D．既没有实数根，也没有纯虚数根 【答案】D 【分析】根据题意假设是方程的根，进而代入得，同号，再求得，即可判断求得答案. 【详解】解：因为关于x的方程有纯虚数根，不妨设为， 所以，即， 所以，所以，同号， 所以， 所以， 令，所以，即 因为， 所以， 所以不可能为纯虚数，也不可能为实数， 所以关于x的方程既没有实数根，也没有纯虚数根 故选：D 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】或 【分析】利用求根公式计算. 【详解】， 或． 故答案为：或. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若（）是1的一个立方根，试用表示–1，8的立方根． 【答案】–1的立方根为–1，，，8的立方根为2，，． 【分析】求出1的立方根，后变形方程，与，对照，整体换元，求出–1，8的立方根即可. 【详解】令，则， 解得， 则（舍去），， 解得， 不妨设，为的另一个非实数立方根. 令，则，整体换元，， 分别解得， 因此–1的立方根为–1，，； 令，则，整体换元，， 分别解得， 因此8的立方根为2，，． 【典型例题十 复数的三角表示】 1．（24-25高一下·河南安阳·月考）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】化为三角形式，根据棣莫弗定理求解. 【详解】. 故选：B 2．（2025高一·全国·专题练习）将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）求出三角函数值展开后可得； （2）结合诱导公式求出三角函数值展开后可得； （3）先计算模长，再求辐角，然后可得； （4）先计算模长，再求辐角，然后可得. 【详解】（1）. （2）. （3）复数的模长为1，辐角为，所以. （4）复数的模长为1，辐角为，. 1．（2024高一下·全国·专题练习）－6的辐角的主值为（　　） A．0 B． C．π D． 【答案】C 【分析】根据代数形式和三角形式之间的转化公式即可求解. 【详解】，辐角的主值. 故选：C. 2．（24-25高二·全国·单元测试）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解. 【详解】 ， 故选：C. 3．（24-25高一下·全国·单元测试）已知复数，，则 . 【答案】 【分析】设出复数的三角形式，根据复数的三角形式运算即可得解. 【详解】因为， 可设， 所以：， 所，则. 故答案为：1 4．（24-25高一·全国·课后作业）将下列复数表示成三角形式 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)当时,； 当时，. 【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系及诱导公式，再结合复数表示的三角形式 即可求解； （2）根据三角函数的二倍角公式及诱导公式，再结合复数表示的三角形式即可求解； 【详解】（1）， ， （2） . ∵当时，，， ∴， 当时，，， ∴ . 【典型例题十一 复数乘、除运算的三角表示】 1．（2025·海南·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】因为复数， 根据复数的运算法则，可得. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用复数运算的三角表示化简可得结果； 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）设复数，则函数的图象的一部分是下列图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用复数三角形式的运算化简，从而得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以， 易知的图像是的图像保留轴上方的图像，同时将轴下方的图像往上翻折得到， 显然选项A中的图像满足要求. 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形式的运算求解即可. 【详解】因为是方程的一个根， 所以． 故选：D. 3．（24-25高一·全国·课前预习）计算(cos＋isin)÷＝ ． 【答案】 【分析】根据复数除法的几何意义即可得结果. 【详解】由复数除法的几何意义知：(cos＋isin)÷＝. 故答案为： 4．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，结合复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . （2）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . 1．（24-25高一下·山西·月考）已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数对应点的对称，可得出，再由复数的加法及复数的模求解. 【详解】因为，所以点． 因为点A与点B关于直线对称， 所以， 所以． 故选：A 2．（2025·河北石家庄·模拟预测），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，化简得到，解得答案. 【详解】设，则，故， 故，故. 故选：. 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 3．（25-26高三上·河南焦作·月考）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的性质即可结合模长公式求解. 【详解】由可得，故，则，故， ， 故选：D 4．（2025·广东·模拟预测）的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数混合运算得，进而可得解． 【详解】依题意，，故所求虚部为． 故选：A． 5．（25-26高三上·江苏·月考）已知，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】由，得，所以，由此可得. 【详解】由，得. 所以. 所以. 故选：D. 6．（2024·福建漳州·一模）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据复数的加法结合复数相等求，进而逐项分析判断. 【详解】由题意可得：， 则，解得，可得， 故BCD正确，A错误. 故选：BCD. 7．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数模的定义判断A；根据共轭复数的定义即可判断B；根据复数的乘法运算即可判断C；根据复数的乘方即可判断D． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：AC． 8．（24-25高一下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若是关于的方程的根，则 【答案】CD 【分析】由的值周期为4，可得A选项；由虚数不能比大小，可得B选项；设（为实数），可计算得C选项；由虚根成对和韦达定理可得D选项. 【详解】因为,所以 ，所以，故A错； 由于虚数不能比大小，所以B错； 设（为实数）则，故C对； 若是关于的方程的根，则也是关于的方程的根， 由根与系数的关系，，所以，故D对. 故选：CD 9．（2025·广东珠海·二模）设为虚数单位，若，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的乘方可得，，进而即得为偶数，即得． 【详解】∵， ∴， 要使，则， 则为偶数． 故选：AC． 10．（24-25高三上·全国·开学考试）若关于的方程有两个不等复数根和，其中（i是虚数单位），则下面四个选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据韦达定理可得，，即可结合选项逐一求解. 【详解】由题可知，，所以，，故A正确；，均为虚数，不能比较大小，故B错误；，故C正确；，故D正确. 故选：ACD 11．（2025高一·全国·专题练习）若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 . 【答案】9π 【分析】直接判断出点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，即可求出. 【详解】由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π. 故答案为：9π 12．（25-26高三上·河北邢台·月考）复数的实部为 ． 【答案】 【分析】利用复数代数形式的运算得到，结合实部定义即可得答案． 【详解】由题意得， 所以复数的实部为． 故答案为：. 13．（2025·上海杨浦·一模）若复数满足：，则 . 【答案】 【分析】先根据复数的运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可求出答案. 【详解】由得，， 则. 故答案为：. 14．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则 . 【答案】21 【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】根据可得到， 故，，求得， 所以. 故答案为：21 15．（25-26高三上·北京·月考）已知复数满足，则 ． 【答案】 【分析】由条件结合复数运算法则求，根据共轭复数定义求，再利用复数模的性质求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 16．（24-25高一下·云南·期中）已知复数，． (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程求出，再利用复数的模长公式计算即可； （2）根据复数的几何意义列不等式组，求解即可. 【详解】（1）因为是纯虚数，所以，解得， 则，所以，故． （2）由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 17．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数． (1)求的最小值； (2)若的实部大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数减法模长公式得的表达式，进一步可得最小值； （2）由复数乘法、复数的概念列不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由复数的模长公式得，而，得到，即，故当时，原式取得最小值． （2）因为，所以， 而的实部大于，则，解得，故的取值范围为． 18．（24-25高一下·贵州毕节·期中）设关于的方程是． (1)若方程有实数根，求锐角和实数根； (2)证明：对任意，方程无纯虚数根． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）先将原方程可化为，再根据复数相等的条件得出左边复数的实部与虚部都为0得到关于的方程组，解之即得． （2）利用反证法证明方程有纯虚数根，推出矛盾即可． 【详解】（1）原方程可化为，方程有实数根，设为， ∴. 又θ是锐角，故． （2）假设方程有纯虚数根，可设根为，，， 则化为， 即，可得， 因为，所以方程无实根. 故假设不成立，所以方程无纯虚数根． 19．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 20．（2025高三·全国·专题练习）设、是方程（）在复数范围内的两根，求（用含a的解析式表示） 【答案】 【分析】复数范围解一元二次方程，讨论判别式、分别求解，用根与系数的关系化简求值，在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值进行分类讨论. 【详解】因为、是方程（）， 所以， 若，即或，此时，， 由得或， ∴当或时，. 当时，. 若，即，此时，、为一对共轭虚根. . 综上所述，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 复数的四则运算（2大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 复数加减法的代数运算 典型例题二 复数加减法几何意义的运用 典型例题三 复数代数形式的乘法运算 典型例题四 复数的乘方 典型例题五 复数范围内方程的根 典型例题六 复数的除法运算 典型例题七 根据复数乘法运算结果求复数的特征 典型例题八 共轭复数的概念及计算 典型例题九 复数的平方根与立方根 典型例题十 复数的三角表示 典型例题十一 复数乘、除运算的三角表示 知识点一：复数的加、减法 1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. 2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． 4、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 5、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线， 以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 6、复数的减法是加法的逆运算，如图2， 复数与向量等于）对应， 这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 【即时训练】 1．（24-25高一下·安徽·月考）若，则|z|=（   ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在复平面上的中，对应的复数为，对应的复数为，则向量对应的复数为 . 知识点二：复数的乘、除法 1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． 2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 （1）z1·z2＝z2·z1(交换律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； （3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立． 3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． 4、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 5、规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 【即时训练】 1．（24-25高三上·江苏·期末）已知复数，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 2．（2025·湖南·一模）已知（为虚数单位，），则的值为 ． 【典型例题一 复数加减法的代数运算】 1．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）为虚数单位，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3). 1．（24-25高一下·山东济宁·月考）设复数，满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知复数满足，当的虚部取最小值时，（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）若，则 ． 4．（24-25高一·上海·课堂例题）若复数和复数满足，，，求． 【典型例题二 复数加减法几何意义的运用】 1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 2．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知复数满足，且，求. 1．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是 . 4．（2024高一下·全国·专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. （2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离： ①； ②. 【典型例题三 复数代数形式的乘法运算】 1．（2026·四川宜宾·一模）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）（1）计算复数，并将结果表示为的形式（其中为实数）； （2）已知复数，求的模. 1．（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C．4 D． 2．（24-25高一下·江西南昌·期末）设复数z满足，则（ ） A． B．2 C． D．1 3．（24-25高一下·四川雅安·月考）复数的虚部为 ． 4．（24-25高一下·浙江·期中）在复平面内复数，其所对应的点分别为为坐标原点，是虚数单位. (1)求； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根. 【典型例题四 复数的乘方】 1．（2025·河北邯郸·一模）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3). 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）若复数满足，则 （   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ） A． B． C． D． 3．（2025高一下·宁夏内蒙古·专题练习）已知复数，则 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）在一次练习中，有位同学在判断一道多选题的某个选项“已知复数，且，则”是否正确时，他在草稿纸上写的解法如下：因为，所以，那么．请判断一下这位同学的解答是否正确，若不正确，请指出推理过程中的错误． 【典型例题五 复数范围内方程的根】 1．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）若复数是关于x的方程，（a，）的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海·月考）关于x的方程的两根分别为， (1)若，求实数p的值； (2)若，求实数p的值． 1．（24-25高一下·山东·月考）已知是关于x的方程的根，则（   ） A．-9 B．-1 C．9 D．1 2．（24-25高一下·云南大理·月考）若是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知复数为方程的根，则 . 4．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 【典型例题六 复数的除法运算】 1．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数. (1)求复数； (2)若，求实数a，b的值. 1．（25-26高三上·山东聊城·月考）复数z满足（i是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）若则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川成都·期中）若复数满足，则 . 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知是关于x的方程的一个根，其中i为虚数单位. (1)求p，q的值； (2)记复数，求复数. 【典型例题七 根据复数乘法运算结果求复数的特征】 1．（2025·河南郑州·一模）已知是虚数单位，若复数的实部为1，，则复数的虚部为（    ） A．或 B．或 C．或1 D．或 2．（24-25高一·上海·课堂例题）已知是实系数一元二次方程一个根，求b、c的值． 1．（24-25高三下·广东惠州·月考）已知是关于的方程的一个根，为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知复数，（，，是虚数单位）满足，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·天津河西·月考）已知，则的虚部为 . 4．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知复数为虚数单位. (1)若，求； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求. 【典型例题八 共轭复数的概念及计算】 1．（25-26高三上·山西太原·月考）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知复数，i为虚数单位. (1)求； (2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值；并把代数式分解成一次因式的积. 1．（24-25高二下·四川凉山·期末）设，则（   ） A． B．i C．1 D． 2．（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则 ． 4．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知是虚数单位，设，． (1)已知，且，求的值； (2)求证：． 【典型例题九 复数的平方根与立方根】 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（2025高一·上海·专题练习）求及的平方根． 1．（2025·辽宁沈阳·三模）虚数单位的平方根是（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高一下·浙江温州·期中）设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（    ） A．只有纯虚数根 B．只有实数根 C．有两个实数根，两个纯虚数根 D．既没有实数根，也没有纯虚数根 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若，则 ． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若（）是1的一个立方根，试用表示–1，8的立方根． 【典型例题十 复数的三角表示】 1．（24-25高一下·河南安阳·月考）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 1．（2024高一下·全国·专题练习）－6的辐角的主值为（　　） A．0 B． C．π D． 2．（24-25高二·全国·单元测试）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·单元测试）已知复数，，则 . 4．（24-25高一·全国·课后作业）将下列复数表示成三角形式 (1)； (2)． 【典型例题十一 复数乘、除运算的三角表示】 1．（2025·海南·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）设复数，则函数的图象的一部分是下列图中的（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高一下·全国·课后作业）复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·课前预习）计算(cos＋isin)÷＝ ． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 1．（24-25高一下·山西·月考）已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北石家庄·模拟预测），若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南焦作·月考）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·模拟预测）的虚部为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏·月考）已知，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 6．（2024·福建漳州·一模）若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若是关于的方程的根，则 9．（2025·广东珠海·二模）设为虚数单位，若，则可以是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·全国·开学考试）若关于的方程有两个不等复数根和，其中（i是虚数单位），则下面四个选项正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·全国·专题练习）若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 . 12．（25-26高三上·河北邢台·月考）复数的实部为 ． 13．（2025·上海杨浦·一模）若复数满足：，则 . 14．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则 . 15．（25-26高三上·北京·月考）已知复数满足，则 ． 16．（24-25高一下·云南·期中）已知复数，． (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 17．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数． (1)求的最小值； (2)若的实部大于，求的取值范围． 18．（24-25高一下·贵州毕节·期中）设关于的方程是． (1)若方程有实数根，求锐角和实数根； (2)证明：对任意，方程无纯虚数根． 19．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 20．（2025高三·全国·专题练习）设、是方程（）在复数范围内的两根，求（用含a的解析式表示） 学科网（北京）股份有限公司 $