专题07：求长方形和正方形的最短周长（计算专项训练）数学青岛版五四制三年级下册（新教材）

专题07：求长方形和正方形的最短周长 计算专项训练 一、核（对边相等，长≠宽）： 思路：长方形长＞宽时，让长边靠墙，可节省最长的一条边，此时周长最短；若长＜宽，让宽边靠墙（实际极少出现，优先掌握长＞宽的情况）。 最短周长公式（长＞宽）：长方形最短周长 = 长 + 宽 × 2（节省一条长边，计算剩余3条边的和） 场景2：给定边长总和/面积，求长方形、正方形的最短周长（拓展重点） 给定边长总心前提（必记） 1.基础公式回顾： 长方形周长 = （长 + 宽）× 2 正方形周长 = 边长 × 4 逆向公式：长方形的长 = 周长÷2 - 宽、宽 = 周长÷2 - 长；正方形的边长 = 周长÷4 2.关键原则：求最短周长，核心是“让图形的长边尽可能利用现有条件（如靠墙），或让图形的边长/长宽和尽可能最小”，结合长方形、正方形的边的特征计算。 二、求最短周长的两种核心场景（重点突破） 场景1：一边靠墙，求长方形、正方形的最短周长（最常考） 正方形（4条边相等）： 思路：正方形4条边长度相同，靠墙时让任意一条边靠墙，均可节省一条边的长度，此时周长最短（只有3条边需要计算）。 最短周长公式：正方形最短周长 = 边长 × 3 长方形和（即长方形的长+宽的和、正方形的边长×4相关）： 长方形：长 + 宽的和固定时，长与宽的差距越小，周长越短（当长=宽时，变成正方形，周长最短）。 正方形：边长总和固定时，边长固定，周长唯一（无最短、最长之分，直接用边长×4计算）。 给定面积（贴合三年级下册面积入门，简单拓展）： 长方形：面积固定时，长与宽越接近，周长越短；当长=宽时（正方形），周长最短。 正方形：面积固定时，边长固定，周长唯一。 题型1：一边靠墙（墙足够长），求正方形的最短周长（基础必练） 典型例题：计算下列正方形靠墙时的最短周长 （1）边长8厘米；（2）边长12分米；（3）边长10米 解题思路：正方形4条边相等，靠墙时让任意一条边靠墙，节省一条边的长度，最短周长 = 边长 × 3，直接代入公式计算即可。 解题过程： （1）8 × 3 = 24（厘米）； 答：这个正方形靠墙时的最短周长是24厘米。 （2）12 × 3 = 36（分米）； 答：这个正方形靠墙时的最短周长是36分米。 （3）10 × 3 = 30（米）； 答：这个正方形靠墙时的最短周长是30米。 跟踪训练：计算下列正方形靠墙（墙足够长）时的最短周长 （1）边长6厘米；（2）边长9分米；（3）边长15米 题型2：一边靠墙（墙足够长），求长方形的最短周长（重点易错） 典型例题：计算下列长方形靠墙时的最短周长（长＞宽） （1）长8厘米，宽5厘米；（2）长12分米，宽7分米；（3）长10米，宽3米 解题思路：长方形长＞宽，要使周长最短，需让长边靠墙，节省一条长边的长度，最短周长 = 长 + 宽 × 2，代入长和宽的数据计算即可。 解题过程： （1）8 + 5 × 2 = 8 + 10 = 18（厘米）； 答：这个长方形靠墙时的最短周长是18厘米。 （2）12 + 7 × 2 = 12 + 14 = 26（分米）； 答：这个长方形靠墙时的最短周长是26分米。 （3）10 + 3 × 2 = 10 + 6 = 16（米）； 答：这个长方形靠墙时的最短周长是16米。 跟踪训练：计算下列长方形靠墙（墙足够长）时的最短周长（长＞宽） （1）长6厘米，宽4厘米；（2）长9分米，宽5分米；（3）长15米，宽8米 题型3：一边靠墙（墙足够长），求长方形、正方形最短周长对比（易错区分） 典型例题：解决下列问题 （1）一个长方形花坛，长10米，宽6米，一边靠墙（墙足够长），围这个花坛至少需要多少米栅栏？（求最短周长） （2）一个正方形花坛，边长8米，一边靠墙（墙足够长），围这个花坛至少需要多少米栅栏？ （3）一个长方形和一个正方形，长方形长9米，宽5米，正方形边长7米，两者均一边靠墙，哪个的最短周长更短？短多少米？ 解题思路：先判断图形类型，长方形（长＞宽）长边靠墙求最短周长，正方形任意边靠墙求最短周长；第（3）题分别计算两者的最短周长，再对比差值。 解题过程： （1）长方形长边靠墙，最短周长 = 10 + 6 × 2 = 10 + 12 = 22（米）； 答：至少需要22米栅栏。 （2）正方形靠墙，最短周长 = 8 × 3 = 24（米）； 答：至少需要24米栅栏。 （3）长方形最短周长：9 + 5 × 2 = 19（米）；正方形最短周长：7 × 3 = 21（米）； 19 ＜ 21，差值：21 - 19 = 2（米）； 答：长方形的最短周长更短，短2米。 跟踪训练：解决下列问题 （1）一个长方形菜地，长12米，宽7米，一边靠墙，围菜地至少需要多少米篱笆？ （2）一个正方形菜地，边长9米，一边靠墙，围菜地至少需要多少米篱笆？ （3）长方形长8米，宽4米，正方形边长6米，均一边靠墙，求两者最短周长的和是多少米？ 题型4：给定长+宽的和，求长方形的最短周长（拓展重点） 典型例题：解决下列问题 （1）一个长方形，长 + 宽 = 15厘米，这个长方形的最短周长是多少厘米？ （2）一个长方形，长 + 宽 = 20分米，当长和宽最接近时，求它的周长是多少分米？ 解题思路：长 + 宽的和固定时，长与宽的差距越小，周长越短；当长 = 宽时（变成正方形），周长最短，此时长和宽都等于“长+宽的和÷2”，再用（长+宽）×2计算周长（或边长×4）。 解题过程： （1）长 + 宽 = 15厘米，最接近的长和宽：15 ÷ 2 = 7.5厘米（贴合三年级，可取7厘米和8厘米，差距最小）； 最短周长 = 15 × 2 = 30（厘米）； 答：这个长方形的最短周长是30厘米。 （2）长 + 宽 = 20分米，长和宽最接近时，长 = 宽 = 20 ÷ 2 = 10分米（正方形）； 周长 = 20 × 2 = 40（分米）（或10 × 4 = 40分米）； 答：它的周长是40分米。 跟踪训练：解决下列问题 （1）一个长方形，长 + 宽 = 12厘米，这个长方形的最短周长是多少厘米？ （2）一个长方形，长 + 宽 = 18分米，当长和宽最接近时，求它的周长是多少分米？ 题型5：给定面积，求长方形、正方形的最短周长（简单拓展） 典型例题：解决下列问题 （1）一个长方形，面积是24平方厘米（边长为整数），这个长方形的最短周长是多少厘米？ （2）一个正方形，面积是36平方分米，它的周长是多少分米？（对比长方形，感知正方形周长最短） 解题思路：（1）长方形面积固定（边长为整数），先找出所有长和宽的组合（长×宽=面积），再计算每组的周长，找出最短的；（2）正方形面积固定，先求边长（边长×边长=面积），再计算周长。 解题过程： （1）面积24平方厘米，长和宽（整数）的组合： ① 长24厘米，宽1厘米，周长 = （24+1）×2=50厘米；② 长12厘米，宽2厘米，周长=（12+2）×2=28厘米； ③ 长8厘米，宽3厘米，周长=（8+3）×2=22厘米；④ 长6厘米，宽4厘米，周长=（6+4）×2=20厘米； 最短线周长是20厘米； 答：这个长方形的最短周长是20厘米。 （2）正方形面积36平方分米，边长=6分米（6×6=36），周长=6×4=24（分米）； 答：它的周长是24分米。 跟踪训练：解决下列问题 （1）一个长方形，面积是18平方厘米（边长为整数），这个长方形的最短周长是多少厘米？ （2）一个正方形，面积是49平方米，它的周长是多少平方米？ 练习巩固 1．给一个长13米，宽8米的长方形鸡舍围篱笆。如果鸡舍的一面靠墙，那么至少需要多少米长的篱笆？（墙足够长） 2．三年级同学要在学校种植园里用篱笆围一个长13米，宽9米的小菜园。班级里部分同学的圈法见下图。徐老师看了同学们的围法后，提出了一个问题：已知篱笆的成本是每米8元，要想节约采购篱笆的成本，这个菜园应该如何设计呢？（靠墙的一边不围）请你在下图2中画一画，再算出你设计的小菜园的篱笆需要花费多少元。 3．一块长方形菜地，长7米，宽4米。给菜地围上篱笆，如果菜地一面靠墙，篱笆至少长多少米？ 4．一块长方形菜地长24米，宽15米，四周围上篱笆，篱笆长多少米？如果一面靠墙，篱笆至少长多少米？ 5．爸爸妈妈带小明参观宜昌市少年儿童图书馆，买了两张纪念卡，其中一张卡片长5厘米，宽4厘米；另一张卡片长4厘米，宽3厘米；小明把两张纪念卡片拼摆在一起，怎么拼周长最短，最短多少厘米？ 6．苟坝红色文化旅游景区成功创建为国家AAAA级旅游景区，同学们去景区顺然农场研学实践，看到李叔叔用木栅栏围了一块长方形菜地，一面靠墙，菜地宽6米，长是宽的2倍，围这块菜地最少要用多少米木栅栏？ 7．王爷爷打算用篱笆围一块长12米、宽8米的长方形菜地，其中有一面墙（墙足够长）可以利用。 王爷爷应该怎样围才能最省篱笆呢？请画出图形并计算围菜地所用篱笆的长度。 8．一个长方形菜地，长24米，宽13米。如果在它的四周围上篱笆，篱笆长多少米？如果这块菜地有一面靠墙，至少围多少米篱笆？ 9．刘奶奶要用篱笆围一块长方形的鸡圈，长6米，宽4米。鸡圈的一面靠墙，刘奶奶怎么围最节省篱笆？画一画，算一算。 10．李爷爷靠着一面墙用篱笆围了一块长25米、宽10米的长方形菜地，他最多要用多少米篱笆？最少要用多少米篱笆？ 11．一个长方形花坛，长8米，宽5米。它的一面靠墙，其余三面装上护栏，至少要多少米护栏？ 12．王叔叔想用篱笆围一个长方形花圃，长是10米，宽是8米。其中一面靠墙，至少要准备多少米长的篱笆呢？（要求：先画一画，再算一算） 13．张大爷家有一个一边靠墙的长方形花园，长6米，宽3米。张大爷要给这个花园围上竹篱笆，那么张大爷至少需要多少米竹篱笆？（先画出示意图，标出数据，再解答）。 14．花坛里有一块靠墙的草地，长和宽分别是18米和7米，如果用栏杆围这块草地，至少需要多少米栏杆？ 15．爷爷有一块长方形菜地，长为4米，宽为3米，为了不让小狗踩坏菜苗，爷爷在菜地的四周围起了篱笆，篱笆长多少米？如果这块菜地一边靠墙，篱笆至少要多少米？ 16．小明的爸爸在河边挖了一块长方形菜地，长8米，宽5米。他用篱笆把不靠河边的三面围了起来，至少得用多少米篱笆？ 17．王老先生有块菜地，长12米，长是宽的3倍，宽是多少米？如果一面靠墙，围上篱笆，篱笆至少要多少米？ 18．王大爷利用一面墙，用篱笆围成一个长方形鸡圈，鸡圈的长是18米，宽是12米，至少需要多少米篱笆？ 题型1：一边靠墙，求正方形的最短周长 答案：（1）18厘米；（2）27分米；（3）45米 解析：（1）6×3=18（厘米）；（2）9×3=27（分米）；（3）15×3=45（米）。 题型2：一边靠墙，求长方形的最短周长 答案：（1）14厘米；（2）19分米；（3）31米 解析：（1）6+4×2=14（厘米）；（2）9+5×2=19（分米）；（3）15+8×2=31（米）。 题型3：长方形、正方形最短周长对比 答案：（1）26米；（2）27米；（3）32米 解析：（1）12+7×2=26（米）；（2）9×3=27（米）；（3）长方形：8+4×2=16（米），正方形：6×3=18（米），16+18=34（米）。 题型4：给定长+宽的和，求长方形最短周长 答案：（1）24厘米；（2）36分米 解析：（1）12×2=24（厘米）；（2）18×2=36（分米）。 题型5：给定面积，求长方形、正方形最短周长 答案：（1）22厘米；（2）28米 解析：（1）面积18平方厘米，最接近的长6厘米、宽3厘米，周长（6+3）×2=18厘米（或长9厘米、宽2厘米，周长22厘米，此处以整数最接近为准）；（2）边长7米，7×4=28（米）。 练习巩固 1．29米 【分析】要使所用篱笆最少，那么就要长方形的长靠墙，再根据长方形周长＝（长＋宽）×2，那么篱笆至少长＝宽＋宽＋长，即可解答。 【详解】8＋8＋13 ＝16＋13 ＝29（米） 答：至少需要29米长的篱笆。 2．图见详解；248元 【分析】根据题意分析，已知图一中的围法是将宽靠墙，还可以将长靠墙作为另一种围法，把长靠墙的围法画出，再将画出的两个宽与一个长的长度相加，即可求出需要多少的篱笆。 【详解】设计图如下： 9×2＋13 ＝18＋13 ＝31（米） 31×8＝248（元） 答：设计的小菜园的篱笆需要花费248元。 3．15米 【分析】已知长方形菜地长7米，宽4米，因为要使篱笆最少，所以让长靠墙，此时篱笆长度为2个宽加1个长，据此解答即可。 【详解】4×2＋7 ＝8＋7 ＝15（米） 答：篱笆至少长15米。 4．78米；54米 【分析】求篱笆长，就是求长方形菜地的周长。长方形周长＝（长＋宽）×2，代入数据求出篱笆长。 如果一面靠墙，可以长靠墙，也可以宽靠墙。当长靠墙，篱笆长是2个宽的米数加上一个长的米数。当宽靠墙，篱笆长是2个长的米数加上1个宽的米数。算出结果比较，看哪一个篱笆长最短。 【详解】（24＋15）×2 ＝39×2 ＝78（米） 当长靠墙：15×2＋24 ＝30＋24 ＝54（米） 当宽靠墙：24×2＋15 ＝48＋15 ＝63（米） 54＜63 答：篱笆长78米。如果一面靠墙，篱笆至少长54米。 5．24厘米 【分析】一张卡片长5厘米，宽4厘米；另一张卡片长4厘米，宽3厘米，把两个长方形4厘米长度的边重合在一起拼接，这时拼成一个长方形，周长最短，这个长方形长是5＋3＝8（厘米），宽是4厘米，再根据长方形周长＝（长＋宽）×2计算。 【详解】 5＋3＝8（厘米） （8＋4）×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 答：周长最短24厘米。 6．24米 【分析】根据题意，要想求最少要用多少米木栅栏，应该让长方形的长的一边靠墙来节省木栅栏，那么用6乘2求出一条长，再加上两条宽的边的和，列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 6×2＋6＋6 ＝12＋6＋6 ＝18＋6 ＝24（米） 答：围这块菜地最少要用24米木栅栏。 7．王爷爷应将长12米的一边靠墙；见详解；28米 【分析】根据题意，想要最省篱笆应该把长方形篱笆的长的一边靠墙，再计算两条宽和一条长的和，就是篱笆的长度，先画图，再计算。 【详解】根据分析可知： 答：王爷爷应将长12米的一边靠墙。 12＋8＋8 ＝20＋8 ＝28（米） 答：围菜地所用篱笆的长度是28米。 8．74米；50米 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此将长和宽带入即可计算出篱笆总长；一面靠墙，要想用的篱笆少，就需要较长的边靠墙，也就是长靠墙，篱笆的长度就等于两条宽加一条长，据此解题。 【详解】（24＋13）×2 ＝37×2 ＝74（米） 13×2＋24 ＝26＋24 ＝50（米） 答：在它的四周围上篱笆，篱笆长74米。如果这块菜地有一面靠墙，至少围50米篱笆。 9．鸡圈长边靠墙；图见详解 【分析】 如果长方形鸡圈长边靠墙，如图：，篱笆长度是长方形的2个宽和1个长的长度和，篱笆长（4×2＋6）米。如果长方形鸡圈宽边靠墙，如图： ，篱笆长度是长方形的1个宽和2个长的长度和，篱笆长（6×2＋4）米。比较两种围法需要的篱笆长度即可。 【详解】 4×2＋6 ＝8＋6 ＝14（米） 6×2＋4 ＝12＋4 ＝16（米） 14＜16 答：长方形的鸡圈的长边靠墙最节省篱笆。 10．60米；45米 【分析】根据题意，要使李爷爷用篱笆最多，则让一条宽靠墙，即围成的长方形的篱笆总长度包括2条长和1条宽；要使李爷爷用篱笆最少，则让一条长靠墙，即围成的长方形的篱笆总长度包括2条宽和1条长；根据周长的意义，分别把3条边的长度加起来，即可解答。 【详解】最多：25×2＋10 ＝50＋10 ＝60（米） 最少：10×2＋25 ＝20＋25 ＝45（米） 答：他最多要用60米篱笆，最少要用45米篱笆。 11．18米 【分析】一面靠墙，用护栏围成一个长8米，宽5米的长方形花坛，有两种不同的围法：①长边靠墙；②宽边靠墙； ①长边靠墙，需要护栏的长度等于一条长加上两条宽； ②宽边靠墙，需要护栏的长度等于两条长加上一条宽；据此分别求出结果，再作比较即可解答。 【详解】①长边靠墙： 8＋5×2 ＝8＋10 ＝18（米） ②宽边靠墙： 8×2＋5 ＝16＋5 ＝21（米） 18＜21 答：至少要18米护栏。 12．26米；图见详解 【分析】一面靠墙，可以分别让宽和长靠墙，然后计算出另外三条边之和，也就是需要的篱笆长，然后较短的即可所求。 【详解】 10＋8×2 ＝10＋16 ＝26（米） 10×2＋8 ＝20＋8 ＝28（米） 26＜28，所以长靠墙需要的篱笆少，需要26米。 答：至少要准备26米长的篱笆。 13．示意图见解析； 12米 【分析】由题意可知，这个长方形花园有一边靠墙，靠墙的这一边是不需要围篱笆的。这个长方形花园长6米，宽3米，有可能是长靠墙，也可能是宽靠墙。当长靠墙时，篱笆的长度＝长＋宽×2，即比这个长方形的周长少了6米；当宽靠墙时，篱笆的长度＝长×2＋宽，即比这个长方形的周长少了3米；因此当长靠墙时，需要的竹篱笆最短。 【详解】如图： 6＋3×2 ＝6＋6 ＝12（米） 答：张大爷至少需要12米竹篱笆。 14．32米 【分析】草地是长方形，栏杆有一条边需要靠墙，所以栏杆的长度等于长方形草地的周长减去一条边的长度，减去的这条边越长，最终用的栏杆米数就越少，18＞7，所以应该把长18米的那条边靠墙，然后用宽×2＋长即可解题。 【详解】7×2＋18 ＝14＋18 ＝32（米） 答：至少需要32米栏杆。 15．14米；10米 【分析】根据题意可知，所需篱笆的长度＝长方形菜地的周长，长方形的周长＝（长＋宽）×2，依此计算即可。如果这块菜地一边靠墙，则至少所需篱笆的长度＝长方形菜地的长＋2个宽，依此计算。 【详解】（3＋4）×2 ＝7×2 ＝14（米） 4＋3×2 ＝4＋6 ＝10（米） 答：爷爷在菜地的四周围起了篱笆，篱笆长14米；如果这块菜地一边靠墙，篱笆至少要10米。 16．18米 【分析】考虑到最少，则靠河边的一面不需要围篱笆。只需要围其它三面，是由一条长和两条宽组成，即篱笆的长度＝长＋宽×2，代入数据计算即可。 【详解】8＋5×2 ＝8＋10 ＝18（米） 答：篱笆至少长18米。 【点睛】解决本题的关键是知道篱笆的长度是由一条长和两条宽组成，然后加起来就可以。 17．4米；20米 【分析】已知一个数的几倍是多少求这个数用除法计算。菜地的长除以3可以算出宽是（12÷3＝4）米。 要使篱笆最少，菜地的长边靠墙，如图： 篱笆长度是菜地的一个长边和2个宽边的长度和。 【详解】12÷3＝4（米） 4×2＋12 ＝8＋12 ＝20（米） 答：宽是4米，篱笆至少要20米。 18．42米 【分析】当长方形的鸡圈的一条长靠墙时，此时需要的篱笆的长度是最少的；用（18＋12＋12）求出需要的篱笆的长度。 【详解】18＋12＋12 ＝30＋12 ＝42（米） 答：至少需要42米篱笆。 【点睛】本题主要考查了长方形的周长公式，明确当长方形的鸡圈的一条长靠墙时，此时需要的篱笆的长度是最少的。 1 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