专题15：植树问题（计算专项训练）数学青岛版五四制三年级下册（新教材）

专题15：植树问题 计算专项训练 一、核心概念（重中之重，必背）： 1.植树问题核心三要素：总长度（植树路线的总距离，单位：米、分米等）、间隔长度（相邻两棵树之间的距离，单位与总长度一致）、棵数（植树的总数量）。 2.关键关系：间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度（核心公式，所有植树问题的基础，需熟练掌握，注意总长度与间隔长度单位统一）。 二、直线植树问题的三种核心题型（重点突破） 形式1：两端都栽（基础必练） 特征：植树路线的起点和终点都栽树，棵数比间隔数多1，是三年级植树问题的基础题型，重点考查核心公式的直接应用。 核心公式：间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度；棵数 = 间隔数 + 1 形式2：两端都不栽（重点提升） 特征：植树路线的起点和终点都不栽树，棵数比间隔数少1，难度略高于两端都栽，重点考查对棵数与间隔数关系的灵活运用，是易错题型之一。 核心公式：间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度；棵数 = 间隔数 - 1 形式3：一端栽、一端不栽（拓展掌握） 特征：植树路线的起点栽树、终点不栽，或起点不栽、终点栽树，棵数与间隔数相等，难度适中，重点考查对三种类型关系的区分，贴合课本拓展要求。 核心公式：间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度；棵数 = 间隔数 题型1：长方形与长方形拼接 典型例题：计算下列组合图形的面积 一个长方形长5分米、宽3分米，另一个长方形长4分米、宽3分米，将两个长方形的宽拼接在一起，形成一个组合图形，求这个组合图形的面积。 解题思路：第一步：判断组合方式（无缺口拼接），确定用分割法，将组合图形分割成原来的两个长方形；第二步：检查单位（均为分米，单位统一）；第三步：分别计算两个长方形的面积，再求和；第四步：检验计算结果是否合理。 解题过程： 第一步：计算第一个长方形的面积（长5dm，宽3dm）；面积 = 5×3 = 15（平方分米） 第二步：计算第二个长方形的面积（长4dm，宽3dm）；面积 = 4×3 = 12（平方分米） 第三步：求组合图形的总面积（两个长方形面积之和）；15 + 12 = 27（平方分米） 检验：两个长方形宽都是3dm，拼接后大长方形的长为5+4=9dm，宽为3dm，面积=9×3=27平方分米，与分步计算结果一致，单位规范；答：这个组合图形的面积是27平方分米。 跟踪训练：计算下列组合图形的面积 1.一个长方形长6厘米、宽2厘米，另一个长方形长6厘米、宽4厘米，将两个长方形的长拼接在一起，求组合图形的面积。 2.一个长方形长7分米、宽5分米，另一个长方形长3分米、宽5分米，将两个长方形的宽拼接在一起，求组合图形的面积。 3.一个长方形长8米、宽4米，另一个长方形长5米、宽4米，将两个长方形的宽拼接后，求组合图形的面积（换算成平方分米）。 题型2：长方形与正方形拼接（无缺口，重点提升，突破易错） 典型例题：计算下列组合图形的面积 一个正方形边长4分米，一个长方形长4分米、宽2分米，将长方形的长与正方形的一条边完全拼接（无重叠），求这个组合图形的面积。 解题思路：第一步：判断组合方式（长方形与正方形无缺口拼接），拼接边为正方形的边长（4dm）和长方形的长（4dm），长度相等，用分割法；第二步：检查单位（均为分米，统一）；第三步：分别计算正方形和长方形的面积，再求和；第四步：检验结果。 解题过程： 第一步：计算正方形的面积（边长4dm）；面积 = 4×4 = 16（平方分米） 第二步：计算长方形的面积（长4dm，宽2dm）；面积 = 4×2 = 8（平方分米） 第三步：求组合图形的总面积；16 + 8 = 24（平方分米） 检验：拼接后组合图形可看作一个大长方形，长为4+2=6dm，宽为4dm，面积=6×4=24平方分米，计算无误，单位规范；答：这个组合图形的面积是24平方分米。 跟踪训练：计算下列组合图形的面积 1.一个长方形长7厘米、宽3厘米，一个正方形边长3厘米，将正方形的一条边与长方形的宽拼接，求组合图形的面积。 2.一个正方形边长5分米，一个长方形长5分米、宽3分米，将长方形的长与正方形的一条边拼接，求组合图形的面积（换算成平方厘米）。 3.一个长方形长9米、宽6米，一个正方形边长6米，将正方形与长方形的宽拼接，求组合图形的面积。 题型3：带缺口的组合图形（补全/分割，易错突破） 典型例题：计算下列组合图形的面积 一个长方形长8分米、宽5分米，在它的一个角上缺了一个边长2分米的正方形，求剩下的组合图形的面积（用两种方法解答）。 解题思路：方法一（补全法）：将带缺口的图形补成原来完整的长方形，用长方形的面积减去缺口正方形的面积，得到组合图形面积；方法二（分割法）：将剩下的图形分割成一个大长方形和一个小长方形，分别计算面积再求和；两种方法均可，重点掌握补全法（三年级拓展重点）。 解题过程： 方法一（补全法）： 第一步：计算完整长方形的面积（长8dm，宽5dm）；面积 = 8×5 = 40（平方分米） 第二步：计算缺口正方形的面积（边长2dm）；面积 = 2×2 = 4（平方分米） 第三步：求组合图形的面积（长方形面积 - 正方形面积）；40 - 4 = 36（平方分米） 方法二（分割法）： 第一步：将剩下的图形分割成一个长8-2=6dm、宽5dm的长方形和一个长5-2=3dm、宽2dm的长方形； 第二步：计算第一个长方形面积；6×5 = 30（平方分米） 第三步：计算第二个长方形面积；3×2 = 6（平方分米） 第四步：求总面积；30 + 6 = 36（平方分米） 检验：两种方法结果一致，估算组合图形面积应小于40平方分米，36平方分米合理，单位规范；答：剩下的组合图形的面积是36平方分米。 跟踪训练：计算下列带缺口的组合图形的面积 1. 一个正方形边长6厘米，在它的一条边上挖去一个长3厘米、宽1厘米的长方形，求剩下的组合图形面积。 2. 一个长方形长10分米、宽6分米，在它的一个角上缺了一个边长3分米的正方形，求剩下的组合图形面积。 3. 一个长方形长12米、宽8米，在它的中间缺了一个长4米、宽2米的长方形，求剩下的组合图形面积（换算成平方分米）。 练习巩固 1．某高速公路全长400km，在公路的一侧如果平均每50km设立一处高速服务区(起点和终点都不设)，那么全程一共需要设立　 　处服务区。 2．小朋友们做广播体操，小明恰好站在队列的正中心，此时无论是从前往后或者从后往前数他都排在第5个，无论是从左往右或者是从右往左数他都排在第6个，则这个队列中一共有　 　位小朋友． 3．小明家住6楼，他从1楼上到5楼一共走了60级台阶，他上下一次楼（到6楼），一共要走　 　级台阶。 4．甲、乙两人比赛爬楼梯，当甲跑到第四层时，乙恰好跑到第三层，照这样计算，甲跑到第16层时，乙应跑到第　 　层． 5．一个长方形的草坪，长80米，宽50米．在这个草坪的四周每隔5米种一棵柳树，一共种　 　棵？ 6．奇奇从三楼爬到四楼用了 分钟，按这样的速度，他从一楼爬到五楼要用　 　分钟。 7．有一幢楼房，每相邻两层之间的台阶都是 18 级，小华从一楼走到8楼，共要走　 　级台阶。 8．为迎接亚运，杭州某公园在环湖路上每隔25米放置一把长凳，共放置40把，环湖路周长是　 　米；如果第九把长凳和第十把长凳之间每5米种一棵柳树，这两把长凳之间需要种　 　棵。 9．在笔直的跑道一旁插着46面彩旗，相邻两面彩旗的间隔为2m，现在要改为只插31面彩旗（两端的彩旗不动），间隔应改为多少米？ 10．一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共 辆，每辆车长 米，前后每辆车相隔 米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶 米，那么这列车队要通过 米长的检阅场地，需要多少时间？ 11．学而思学校三年级运动员参加校运动会入场式，组成 的方块队（即每行每列都是6人），前后每行间隔为2米．他们以每分钟40米的速度，通过长30米的主席台，需要多少分钟？ 12．一群小猴排成整齐的队伍做操，长颈鹿站在队伍旁边，一下子看到了他的好朋友金丝猴．长颈鹿数了数，金丝猴的左边有 只猴，右边也有 只猴，前面有 只猴，后面也有 只猴．小朋友，你能算出有多少只猴子在做操吗？ 13．马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树。张军乘汽车5分钟共看到501棵树。问汽车每小时走多少千米？ 14．北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列队前进．排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？ 15．周叔叔家有一个长40米，宽30米的长方形鱼塘，他想沿塘每隔5米栽一棵柳树，需要栽多少棵柳树？ 16．同学们做操，小林站在左起第 列，右起第 列；从前数前面有 个同学，从后数后面有 个同学．每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？ 题型1：两端都栽（基础必练） 答案： 1. 第一步：间隔数=30÷6=5（个）；第二步：棵数=5+1=6（盏）；检验：两端都挂，盏数比间隔数多1，5+1=6，无误；答：一共需要挂6盏彩灯。 2. 第一步：间隔数=48÷8=6（个）；第二步：棵数=6+1=7（棵）；检验：两端都栽，棵数比间隔数多1，6+1=7，无误；答：一共需要栽7棵月季花。 3. 第一步：间隔数=18÷3=6（个）；第二步：棵数=6+1=7（棵）；检验：间隔数=6，棵数=7，多1，无误；答：一共需要栽7棵树。 题型2：两端都不栽（重点提升） 答案： 1. 第一步：间隔数=30÷6=5（个）；第二步：棵数=5-1=4（个）；检验：两端都不挂，个数比间隔数少1，5-1=4，无误；答：一共需要挂4个绝缘子。 2. 第一步：间隔数=35÷5=7（个）；第二步：棵数=7-1=6（块）；检验：两端都不摆，块数比间隔数少1，7-1=6，无误；答：一共需要摆6块石头。 3. 第一步：间隔数=24÷3=8（个）；第二步：棵数=8-1=7（棵）；检验：间隔数=8，棵数=7，少1，无误；答：一共需要栽7棵树。 题型3：一端栽、一端不栽（拓展掌握） 答案： 1. 第一步：间隔数=36÷6=6（个）；第二步：棵数=6（盆）；检验：一端摆、一端不摆，盆数与间隔数相等，6=6，无误；答：一共需要摆6盆花。 2. 第一步：间隔数=40÷5=8（个）；第二步：棵数=8（幅）；检验：一端挂、一端不挂，幅数与间隔数相等，8=8，无误；答：一共需要挂8幅图画。 3. 第一步：间隔数=15÷3=5（个）；第二步：棵数=5（棵）；检验：间隔数=5，棵数=5，相等，无误；答：一共需要栽5棵树。 练习巩固 1．【答案】7 【解析】解：400÷50-1 =8-1 =7（处） 故答案为：7。 此题主要考查了植树问题的应用，如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么：株数＝段数－1＝全长÷株距－1。 2．【答案】99 【解析】解：每列有 （位），每行有 （位），则这个队列共有： （位）。 故答案为：99 从前向后数和从左向右数，小明都是重复计数的。因此每列有（5+5-1）位，每行有（6+6-1）位。把每列的位数与每行的位数相乘即可求出总人数。 3．【答案】150 【解析】解：1层楼的楼梯级数：60÷（5-1）=15（级），一共要走：（6-1）×2×15=5×2×15=10×15=150（级）。 故答案为：150。 先根据“每层楼梯的级数=已知台阶的级数÷对应的楼层数=已知台阶的级数÷（已知高楼层数-已知低楼层数）”计算出每层楼梯的级数，再根据“上下一次楼一共要走的台阶的级数=楼层数×2×每层楼梯的级数=（小明家的楼层数-出发的楼层数）×2×每层楼梯的级数”，代入数值解答即可。 4．【答案】11 【解析】解：根据分析可得，（4﹣1）：（3﹣1）＝3：2， （16-1）÷3×2+1 ＝10+1 ＝11（层） 故答案为：11。 根据植树问题的知识可知，甲跑到第四层，共跑了3层楼梯，乙跑到第三层，共跑了2层楼梯，所以甲乙的速度比就是3：2。甲跑到16层共跑了15层楼梯，用15除以3，再乘2即可求出乙跑的层数，再加上1就是乙跑到的楼层数。 5．【答案】52 【解析】(80+50)×2÷5 =130×2÷5 =260÷5 =52(棵) 故答案为：52 根据长方形的周长公式计算出草坪的周长；由于是封闭图形的植树问题，因此用长方形的周长除以两棵树间隔的长度即可求出植树的棵数. 6．【答案】 【解析】解：×4=（分钟） 故答案为：。 从三楼爬到四楼用了 分钟，说明爬一层需要的时间是分钟；从一楼爬到五楼共爬了4层，爬一层用的时间×爬的层数=一共用的时间。 7．【答案】126 【解析】解：18×（8-1） =18×7 =126（级）。 故答案为：126。 共要走的台阶级数=平均每相邻两层之间的台阶级数×（8楼-1）。 8．【答案】1000；4 【解析】解：周长：25×40=1000（米）； 种柳树：25÷5-1=4（棵）。 故答案为：1000；4。 第一问：在环形路上植树，棵数=间隔数，所以用间隔长度乘长凳的把数即可求出周长； 第二问：第九把长凳和第十把长凳之间的长度是25米，两端都不栽柳树，所以棵数=间隔数-1。用两个长凳间隔的长度除以5求出间隔数，用间隔数减去1就是需要种柳树的棵数。 9．【答案】解：（46-1）×2÷（31-1） =45×2÷30 =90÷30 =3（米） 答：间隔应改为3米。 【解析】本题属于植树问题，间隔应改为的长度=（原来插彩旗的面数-1面）×原来的间距÷（现在插彩旗的面数-1面）。 10．【答案】解：车队间隔总长度：（30-1）×4=145（米）， 车身总长度：30×4=120（米）， 车队总长度：145+120=265（米）， 行驶的时间：（535+265）÷2 =800÷2 =400（秒） 答：这列车队排了265米。需要400秒。 【解析】车队的总长度包括车身的总长度和间隔的总长度。间隔数=车辆数-1，这样用间隔数乘每个间隔的长度求出间隔的总长度，再加上30辆车车身的总长度就是这个车队的总长度。根据列车过桥问题可知，经过检阅场地一共要走的路程是检阅场地的长度和车队的长度，用总路程除以速度即可求出经过的时间。 11．【答案】解：方队总长：（6-1）×2=10（米）需要的时间：（10+40）÷40=1（分钟）答：需要1分钟。 【解析】根据植树问题的知识可知，间隔的个数=行数-1，因此用间隔的个数乘每行间隔的距离即可求出方队的总长度。根据列车过桥问题可知，方队通过主席台要走的路程是方队的长度与主席团的长度和，用长度和除以速度即可求出经过的时间。 12．【答案】解：总行数：5+5+1=11（行）， 总列数：4+4+1=9（列）， 总数：11×9=99（只）。 答：有99只猴子在做操。 【解析】数列与数行时金丝猴都没有计数，因此把它前面的只数加上后面的只数再加上1就是总行数；把它左边的只数加上右边的只数再加上1就是总列数，用总列数乘总行数即可求出猴子总数。 13．【答案】解：5分钟汽车共走了： （米）， 汽车每分钟走： （米）， 汽车每小时走： （米） （千米） 答：汽车每小时走54千米。 【解析】两端都有树，棵数=间隔数+1。用棵数减去1，再乘9即可求出5分钟汽车走的路程，用路程除以时间求出汽车每分钟走的路程，用每分钟走的路程乘60即可求出每小时走的路程，注意还要把米换算成千米。 14．【答案】解：每队的人数是： （人），每队可以分成的排数是： （排），200排的全长米数是： （米），25个队的全长米数是： （米），25个队之间的距离总米数是： （米），游行队伍的全长是： （米）。答：游行队伍全长5071米。 【解析】这道题仍是植树问题中两端都植树的知识，间隔数=队数（排数）-1。先求出每队的人数，再求出每队可以分的排数，用排与排的距离乘（排数-1）即可求出全排的长度，也就是一个队的长度，用一个队的长度乘25就是全队的长度。由于队与队之间还有间隔（25-1）个间隔，因此用间隔数乘4即可求出间隔的长度。把队的长度加上间隔的长度就是队伍总长度。 15．【答案】解： （米） （棵） 答：需要栽28棵柳树。 【解析】此题属于在封闭路段上的植树问题，棵数=间隔数，因此用长方形鱼塘的周长除以5即可求出间隔数，也就是需要栽柳树的棵数。 16．【答案】解：总行数：4+6+1=11（行）， 总列数：5+3-1=7（列）， 总人数：11×7=77（人）。 答：做操的同学一共有77人。 【解析】数列时，小林是重复计数的，因此列数是（5+3-1）；数行时小林两次都没有计数，因数行数是（4+6+1）。用行数乘列数即可求出总人数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $