寒假预习衔接讲义第三单元 圆柱与圆锥（讲义） -2025-2026学年六年级数学下册人教版

【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版六年级数学下册 第三单元 圆柱与圆锥 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：圆柱的认识 1.生活中有许多物体是圆柱形的,如茶叶桶、蜡烛、罐头盒等。 2.圆柱的特征:圆柱是由3个面围成的。它的上、下两个面叫做底面。圆柱周围的面(上、下底面除外)叫做侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高,圆柱有无数条高。 3.圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆。圆柱的侧面是一个曲面,沿高展开后是一个长方形(或正方形),这个长方形(或正方形)的长(或边长)等于圆柱的底面周长,宽(或边长)等于圆柱的高。 4.把一张长方形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,长方形硬纸形成的图形就是圆柱。 知识点02：圆柱的表面积 1.圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示:S侧=Ch。如果已知底面直径,底面周长的计算公式是C=πd,圆柱的侧面积公式就是S侧=πdh;如果已知底面半径,底面周长的计算公式就是C=2πr,圆柱的侧面积公式就是S侧=2πrh。 2.圆柱的表面积=侧面积+底面积×2,用字母表示为S表=Ch+2πr2。 知识点03：圆柱的体积 1.圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱的体积。 2.圆柱体积的推导过程:把一个圆柱的底面沿半径分成若干个相等的扇形,按照等分线沿着圆柱的高把它们切开后,可以拼成一个近似的长方体。分成的扇形越多,拼成的立体图形就越接近于长方体。拼成的长方体与圆柱形状不同,体积相等。长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的高。长方体的体积=底面积×高,推导出:圆柱的体积=底面积×高。 3.圆柱的体积公式是V圆柱=Sh,如果知道圆柱的底面半径r和高h,圆柱的体积公式就是V圆柱=πr2h。 4.在求不规则的物体的体积或容积时,可以利用转化的思想,将其转化成规则的图形进行计算。 知识点04：圆锥的认识 1.生活中有很多物体的形状是圆锥形的,像尖形的帽子、粮囤的顶部等,还有漏斗、跳棋等物体的形状也接近圆锥形。 2.圆锥的特征:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的立体图形。圆锥的底面是一个圆,圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。 3.圆锥高的测量方法:①把圆锥的底面水平放好;②把一块平板水平地放在圆锥的顶点上面;③平板和底面之间的距离就是圆锥的高。 4.把一张直角三角形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,直角三角形转动形成的图形是圆锥,贴在木棒上的直角边是圆锥的高,另一条直角边是圆锥的底面半径。 知识点05：圆锥的体积 1.圆锥的体积推导过程:准备等底等高的圆柱和圆锥形容器。把空的圆锥形容器里装满水或细沙,然后倒入空圆柱形容器里,倒3次正好将空圆柱装满。如果把空圆柱形容器装满水或细沙,倒入空圆锥形容器中,每次都倒满,正好也倒了3次。通过实验可知,等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积是圆锥体积的3倍,也可以说圆锥的体积是圆柱体积的。 2.圆锥的体积公式:V圆锥=Sh。已知圆锥的底面半径和高,可以直接利用公式V圆锥=πr2h来计算体积。 考点1：圆柱的表面积 【典型例题】 一个圆柱的底面直径和高都扩大到原来的2倍，侧面积扩大到原来的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．6倍 【变式训练1】 一根大小均匀的圆柱形木头，底面直径是2分米，把它锯成三根小圆柱，表面积增加（    ）平方分米。 A．12.56 B．18.84 C．25.12 D．50.24 考点2：圆柱的体积 【典型例题】 把一个棱长为4dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】 一个盛水的圆柱形容器的底面直径是10cm，把一块铁块放入这个容器中（铁块全部浸没在水中），水面上升2cm。这块铁块的体积是（    ）。 A．628 B．157 C．125.6 D．78.5 考点3：圆柱与圆锥的体积关系 【典型例题】 把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分体积的（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】 一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积一共是36立方厘米，这个圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．12 B．18 C．24 D．27 考点4：立体图形的拼切 【典型例题】 把一个正方体木块加工成最大的圆锥。圆锥的底面直径是4厘米。这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．4 B．8 C．16 D．64 【变式训练1】 把一个棱长为6分米的正方体木块加工成一个最大的圆锥，体积比原来减少了（    ）立方分米。 A．56.52 B．159.48 C．169.54 D．216 考点5：组合图形的体积 【典型例题】 陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个木制陀螺（如下图），这个陀螺的体积大约是（    ）立方厘米。 A．9π B．54π C．63π D．81π 【变式训练1】 把下图的直角梯形以边所在的直线为轴，旋转一周，得到的立体图形的体积是（    ）。（单位：） A． B． C． D． 一、选择题 1．24个相同的铁圆锥，可以熔铸成（    ）个与它等底等高的铁圆柱。（不考虑损耗） A．12 B．8 C．72 2．如果两个圆柱的高相等，大圆柱的底面半径等于小圆柱的底面直径，那么小圆柱的体积是大圆柱体积的（    ）。 A． B． C． 3．将一个长18分米、宽12分米的长方形铁片加工成一个圆桶，另加一个底，则这个圆桶的最大容积是（    ）立方分米。（接头处忽略不计，π取3） A．324 B．216 C．1296 4．一个圆柱形排气管，它的横截面积是8平方分米，排气气流的速度是每秒5分米，这个通风管每分钟可以排气体（    ）立方分米。 A．40 B．200 C．2400 5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个正方形的边长是12.56cm，则这个圆柱的高是（    ）cm。 A．6.28 B．12.56 C．3.14 二、填空题 6．一个正方体的棱长是4cm，把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是( )。 7．一个圆柱的体积为，高为7m，其底面半径为( )m。 8．如下图，把圆柱切开再拼成长方体，长方体的底面积等于圆柱的( )，长方体的高等于圆柱的( )，长方体的体积与圆柱的体积( )，即圆柱的体积＝( )×( )。 9．把一个半径为8cm、高为10cm的圆柱沿着它的底面直径垂直切开，表面积增加了( )。 10．一个圆柱的侧面积是，底面半径是2cm，它的高是( )cm。 11．用一个底面积为、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为( )cm。 12．一张长4cm、宽3cm的长方形纸，以它长的一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱。这个圆柱的体积是( )。 13．一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，它的侧面积( )，体积( )。 14．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是。圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 15．将一张长30cm、宽18cm的长方形白纸卷成一个圆柱（如图），这个圆柱的侧面积是( )。 16．一个圆柱，沿底面的一条直径垂直向下切开，截面是一个边长为6cm的正方形。这个圆柱的体积是( )，与它等底等高的圆锥的体积是( )。 17．一个长和宽分别为8cm和4cm的长方形，以长为轴旋转一周得到的立体图形是( )。这个立体图形的表面积是( )，体积是( )。 三、判断题 18．一个圆柱和圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高为4厘米，则圆锥的高为12厘米。( ) 19．直角三角形，绕任意一边旋转一周都能形成圆锥。( ) 20．把一个圆柱体削成一个圆锥体，削去部分的体积是圆柱的。( ) 21．把圆锥的侧面展开，可能得到一个三角形。( ) 22．圆柱的体积比和它等底等高的圆锥的体积大。( ) 四、计算题 23．计算下面图形的侧面积和表面积。（单位：cm） 24．根据条件求粮囤的体积。（单位：m） 五、解答题 25．一个圆锥形沙堆的占地面积是，高是1.8m，每立方米沙重1.6t。用一辆载重量是3000kg的小货车运这堆沙子，多少次可以运完？ 26．小明家买回一台燃气热水器，在使用过程中会排出一些废气。为了防止中毒，爸爸准备做一个排气管（如下图）。要制作这样一个排气管，至少需要多少平方厘米的铁皮？（接头处损耗忽略不计） 27．如下图，左边是一听装满饮料的圆柱形易拉罐，右边是一个圆锥形酒杯。每听易拉罐饮料大约能倒满几杯？ 28．有一个正方体纸盒，其中恰好能装入一个体积是的圆柱。这个纸盒的体积是多少？ 29．一根2m长的圆柱形钢管，其外直径为30cm，内直径为20cm。要制造这根钢管需要多少立方米的钢材？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版六年级数学下册 第三单元 圆柱与圆锥 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：圆柱的认识 1.生活中有许多物体是圆柱形的,如茶叶桶、蜡烛、罐头盒等。 2.圆柱的特征:圆柱是由3个面围成的。它的上、下两个面叫做底面。圆柱周围的面(上、下底面除外)叫做侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高,圆柱有无数条高。 3.圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆。圆柱的侧面是一个曲面,沿高展开后是一个长方形(或正方形),这个长方形(或正方形)的长(或边长)等于圆柱的底面周长,宽(或边长)等于圆柱的高。 4.把一张长方形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,长方形硬纸形成的图形就是圆柱。 知识点02：圆柱的表面积 1.圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示:S侧=Ch。如果已知底面直径,底面周长的计算公式是C=πd,圆柱的侧面积公式就是S侧=πdh;如果已知底面半径,底面周长的计算公式就是C=2πr,圆柱的侧面积公式就是S侧=2πrh。 2.圆柱的表面积=侧面积+底面积×2,用字母表示为S表=Ch+2πr2。 知识点03：圆柱的体积 1.圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱的体积。 2.圆柱体积的推导过程:把一个圆柱的底面沿半径分成若干个相等的扇形,按照等分线沿着圆柱的高把它们切开后,可以拼成一个近似的长方体。分成的扇形越多,拼成的立体图形就越接近于长方体。拼成的长方体与圆柱形状不同,体积相等。长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的高。长方体的体积=底面积×高,推导出:圆柱的体积=底面积×高。 3.圆柱的体积公式是V圆柱=Sh,如果知道圆柱的底面半径r和高h,圆柱的体积公式就是V圆柱=πr2h。 4.在求不规则的物体的体积或容积时,可以利用转化的思想,将其转化成规则的图形进行计算。 知识点04：圆锥的认识 1.生活中有很多物体的形状是圆锥形的,像尖形的帽子、粮囤的顶部等,还有漏斗、跳棋等物体的形状也接近圆锥形。 2.圆锥的特征:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的立体图形。圆锥的底面是一个圆,圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。 3.圆锥高的测量方法:①把圆锥的底面水平放好;②把一块平板水平地放在圆锥的顶点上面;③平板和底面之间的距离就是圆锥的高。 4.把一张直角三角形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,直角三角形转动形成的图形是圆锥,贴在木棒上的直角边是圆锥的高,另一条直角边是圆锥的底面半径。 知识点05：圆锥的体积 1.圆锥的体积推导过程:准备等底等高的圆柱和圆锥形容器。把空的圆锥形容器里装满水或细沙,然后倒入空圆柱形容器里,倒3次正好将空圆柱装满。如果把空圆柱形容器装满水或细沙,倒入空圆锥形容器中,每次都倒满,正好也倒了3次。通过实验可知,等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积是圆锥体积的3倍,也可以说圆锥的体积是圆柱体积的。 2.圆锥的体积公式:V圆锥=Sh。已知圆锥的底面半径和高,可以直接利用公式V圆锥=πr2h来计算体积。 考点1：圆柱的表面积 【典型例题】 一个圆柱的底面直径和高都扩大到原来的2倍，侧面积扩大到原来的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．6倍 【答案】B 【分析】圆柱的侧面积（d表示直径，h表示高），当圆柱的底面直径和高都扩大到原来的2倍时，根据积的变化规律，圆柱的侧面积扩大到原来的倍。 【详解】一个圆柱的底面直径和高都扩大到原来的2倍，侧面积扩大到原来的4倍。 故答案为：B 【变式训练1】 一根大小均匀的圆柱形木头，底面直径是2分米，把它锯成三根小圆柱，表面积增加（    ）平方分米。 A．12.56 B．18.84 C．25.12 D．50.24 【答案】A 【分析】锯一次会增加两个切面的面积，锯两次会增加四个切面的面积，把这个圆柱锯成三根小圆柱，表面积增加4个截面的面积，用圆柱的底面积乘4即可解答；圆的面积＝。 【详解】2÷2＝1（分米） 3.14××4 ＝3.14×1×4 ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 所以表面积增加12.56平方分米。 故答案为：A 考点2：圆柱的体积 【典型例题】 把一个棱长为4dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，把一个棱长为4dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径就是4dm，圆柱的高是4dm，那么底面半径是（dm）；根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可解答。 【详解】底面半径：（dm） 圆柱的体积：（dm3） 故答案为：A 【变式训练1】 一个盛水的圆柱形容器的底面直径是10cm，把一块铁块放入这个容器中（铁块全部浸没在水中），水面上升2cm。这块铁块的体积是（    ）。 A．628 B．157 C．125.6 D．78.5 【答案】B 【分析】铁块放入盛水容器中，水上升的体积就是铁块的体积，据此解答。 【详解】（cm3） 故答案为：B 考点3：圆柱与圆锥的体积关系 【典型例题】 把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分体积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，则圆柱和圆锥等底等高，圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的，可以把圆柱的体积看成3份，圆锥的体积看成1份，则圆柱的体积比圆锥多2份，所以圆锥的体积是削去部分体积的。 【详解】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分体积的。 故答案为：A 【变式训练1】 一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积一共是36立方厘米，这个圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】D 【分析】根据圆柱的体积＝，圆锥的体积＝，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用总体积36立方厘米除以（1＋3）即可求出这个圆锥的体积，再乘3即可求出这个圆柱的体积。 【详解】36÷（1＋3）×3 ＝36÷4×3 ＝27（立方厘米） 即这个圆柱的体积是27立方厘米。 故答案为：D 考点4：立体图形的拼切 【典型例题】 把一个正方体木块加工成最大的圆锥。圆锥的底面直径是4厘米。这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【分析】根据题意，把一个正方体木块加工成最大的圆锥，那么圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。已知圆锥的底面直径是4厘米，说明正方体的棱长是4厘米，利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出这个正方体的体积，据此解答。 【详解】正方体的棱长等于圆锥的底面直径4厘米。 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 所以，这个正方体的体积是64立方厘米。 故答案为：D 【变式训练1】 把一个棱长为6分米的正方体木块加工成一个最大的圆锥，体积比原来减少了（    ）立方分米。 A．56.52 B．159.48 C．169.54 D．216 【答案】B 【分析】已知正方体的棱长是6分米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出正方体的体积；要把正方体加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，用底面直径除以2计算出底面半径，然后根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积；最后用正方体体积减去圆锥的体积即可。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） ×3.14×（6÷2）2×6 ＝×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3.14×3×6 ＝9.42×6 ＝56.52（立方分米） 216－56.52＝159.48（立方分米） 所以体积比原来减少了159.48立方分米。 故答案为：B 考点5：组合图形的体积 【典型例题】 陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个木制陀螺（如下图），这个陀螺的体积大约是（    ）立方厘米。 A．9π B．54π C．63π D．81π 【答案】C 【分析】从图中可知，陀螺的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这个陀螺的体积。 【详解】π×（6÷2）2×6＋×π×（6÷2）2×3 ＝π×32×6＋×π×32×3 ＝π×9×6＋×π×9×3 ＝54π＋9π ＝63π（立方厘米） 这个陀螺的体积大约是63π立方厘米。 故答案为：C 【变式训练1】 把下图的直角梯形以边所在的直线为轴，旋转一周，得到的立体图形的体积是（    ）。（单位：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直角梯形以边所在的直线为轴，旋转一周，上半部分得到一个圆锥，下半部分得到一个圆柱。圆锥的底面半径等于边的长，为，圆锥的高为，圆柱的底面半径等于边的长，为，圆柱的高等于边的长，为，据此求出圆柱和圆锥的体积，加起来即可。 【详解】圆锥的体积为 圆柱的体积为 上、下两部分的体积相加得到立体图形的体积为 故答案为：B 【点睛】关键是掌握圆柱和圆锥的体积公式，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高×。 一、选择题 1．24个相同的铁圆锥，可以熔铸成（    ）个与它等底等高的铁圆柱。（不考虑损耗） A．12 B．8 C．72 【答案】B 【分析】圆柱的体积是等底等高圆锥的体积的3倍，即3个铁圆锥才能熔铸成1个铁圆柱，个，所以24个相同的铁圆锥，可以熔铸成8个铁圆柱。 【详解】24个相同的铁圆锥，可以熔铸成8个与它等底等高的铁圆柱。 故答案为：B 2．如果两个圆柱的高相等，大圆柱的底面半径等于小圆柱的底面直径，那么小圆柱的体积是大圆柱体积的（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】根据题意，已知大圆柱的底面半径等于小圆柱的底面直径，设小圆柱的底面半径为r，则大圆柱的底面半径是2r；两个圆柱的高相等，设小圆柱和大圆柱的高都是h；根据圆柱的体积分别求出大圆柱和小圆柱的体积；最后用小圆柱的体积除以大圆柱的体积，即可求解。 【详解】设小圆柱的底面半径为r，则大圆柱的底面半径是2r，设小圆柱和大圆柱的高都是h。 大圆柱的体积： 小圆柱的体积： 因此，如果两个圆柱的高相等，大圆柱的底面半径等于小圆柱的底面直径，小圆柱的体积是大圆柱体积的。 故答案为：C 3．将一个长18分米、宽12分米的长方形铁片加工成一个圆桶，另加一个底，则这个圆桶的最大容积是（    ）立方分米。（接头处忽略不计，π取3） A．324 B．216 C．1296 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，要使围成的圆柱体积最大，要以长方形铁片的长边为底面周长，长方形铁片的宽为圆柱的高。根据圆柱的体积（容积）公式：V＝πr2h；圆的周长公式：C＝2πr；把数据代入公式解答。 【详解】3×（18÷3÷2）2×12 ＝3×（6÷2）2×12 ＝3×32×12 ＝3×9×12 ＝27×12 ＝324（立方分米） 这个圆桶的最大容积是324立方分米。 故答案为：A 4．一个圆柱形排气管，它的横截面积是8平方分米，排气气流的速度是每秒5分米，这个通风管每分钟可以排气体（    ）立方分米。 A．40 B．200 C．2400 【答案】C 【分析】1分钟＝60秒；已知圆柱形排气管的底面积，排气气流的速度相当于圆柱形排气管的高，根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，求出每秒可以排出气体的体积 ，再乘60，即可解答。 【详解】1分钟＝60秒 8×5×60 ＝40×60 ＝2400（立方分米） 一个圆柱形排气管，它的横截面积是8平方分米，排气气流的速度是每秒5分米，这个通风管每分钟可以排气体2400立方分米。 故答案为：C 5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个正方形的边长是12.56cm，则这个圆柱的高是（    ）cm。 A．6.28 B．12.56 C．3.14 【答案】B 【分析】 圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形。圆柱的侧面展开图是正方形时，正方形的边长既等于圆柱的底面周长，也等于圆柱的高；据此进行分析。 【详解】根据分析： 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形时，正方形的边长等于圆柱的高，正方形边长是12.56cm，这个圆柱的高也是12.56cm。 故答案为：B 二、填空题 6．一个正方体的棱长是4cm，把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是( )。 【答案】50.24 【分析】正方体棱长为4cm，削成最大圆柱时，圆柱的底面直径等于正方体棱长，高也等于正方体棱长。根据圆柱的体积公式（取3.14，为底面圆的半径，是圆柱的高），圆的半径等于直径的一半。据此解答。 【详解】 （cm） 一个正方体的棱长是4cm，把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是50.24cm。 7．一个圆柱的体积为，高为7m，其底面半径为( )m。 【答案】3 【分析】圆柱底面积＝体积÷高、圆半径平方＝圆面积÷π、半径×半径＝半径平方，根据这些数量关系解答。 【详解】底面积：（平方米） 圆半径平方：（平方米） 因为：，所以：底面半径是3米。 一个圆柱的体积为，高为7m，其底面半径为3m。 8．如下图，把圆柱切开再拼成长方体，长方体的底面积等于圆柱的( )，长方体的高等于圆柱的( )，长方体的体积与圆柱的体积( )，即圆柱的体积＝( )×( )。 【答案】 底面积 高 相等 底面积 高 【分析】通过将圆柱切拼成长方体，分析两者之间的关系来得出圆柱体积公式。 如图所示，把圆柱切开再拼成长方体，长方体的底面积是由圆柱底面的扇形拼接而成，所以长方体的底面与圆柱的底面相等；在切拼过程中，圆柱的高并没有发生变化，所以长方体的高与圆柱的高相等；因为是将圆柱切拼成长方体，物质的量没有增加或减少，所以长方体的体积与圆柱的体积相等。由长方体体积＝底面积×高，且长方体体积与圆柱体积相等，由此推出圆柱的体积公式，据此解答。 【详解】由分析可知，把圆柱切开再拼成长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积与圆柱的体积相等，即圆柱的体积＝底面积×高。 9．把一个半径为8cm、高为10cm的圆柱沿着它的底面直径垂直切开，表面积增加了( )。 【答案】320 【分析】把一个半径为8cm、高为10cm的圆柱沿着它的底面直径垂直切开，增加了2个长为厘米，宽为10厘米的长方形，则增加的表面积就等于这2个长方形的面积，据此列式计算即可。 【详解】 （平方厘米） 所以表面积增加了320平方厘米。 10．一个圆柱的侧面积是，底面半径是2cm，它的高是( )cm。 【答案】3 【分析】圆柱的高＝圆柱的侧面积÷底面周长，因为圆柱的底面周长＝，由此代入数据即可解决问题。 【详解】 （cm） 一个圆柱的侧面积是，底面半径是2cm，它的高是3cm。 11．用一个底面积为、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为( )cm。 【答案】75 【分析】用一个底面积为94.2cm2、高为30cm的圆锥形容器盛满水，根据圆锥的体积公式，代入数据即可求出圆锥的容积，也就是水的体积；水的体积不变，把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，根据，求出圆柱的底面半径；根据圆的面积公式，代入数据求出圆柱的底面积；最后用水的体积除以圆柱的底面积，求出水的高度，据此解答。 【详解】水的体积：（cm3） 圆柱的底面半径：（cm） 圆柱的底面积：（cm2） 水的高度：（cm） 因此，用一个底面积为94.2cm2、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为75cm。 12．一张长4cm、宽3cm的长方形纸，以它长的一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱。这个圆柱的体积是( )。 【答案】113.04 【分析】将一张长4cm、宽3cm的长方形纸，以它长的一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱，圆柱的高等于长方形的长，即4cm，圆柱的底面半径等于长方形的宽，即3cm；根据圆柱的体积公式：，代入数据计算，据此解答。 【详解】（cm3） 因此，一张长4cm、宽3cm的长方形纸，以它长的一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱。这个圆柱的体积是113.04cm3。 13．一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，它的侧面积( )，体积( )。 【答案】 不变 扩大到原来的2倍 【分析】圆柱侧面积公式：，新半径，新高，新侧面积：，所以，侧面积不变。 圆柱体积公式：，新体积：，所以，体积扩大到原来的2倍。 【详解】一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，它的侧面积不变，体积扩大到原来的2倍。 14．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是。圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 【答案】 60 20 【分析】已知圆柱和圆锥等底等高，即圆柱体积是圆锥体积的3倍，它们的体积之和是80dm³，那么把圆锥体积看作1份，圆柱体积看作3份，圆柱和圆锥体积的总份数为份，用圆柱和圆锥的体积之和除以它们的总份数，求出1份的体积，即是圆锥的体积；再用圆锥体积乘3，可得到圆柱的体积，据此解答。 【详解】圆锥体积：（立方分米） 圆柱体积：（立方分米） 因此，等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是80dm³。圆柱的体积是60dm³，圆锥的体积是20dm³ 15．将一张长30cm、宽18cm的长方形白纸卷成一个圆柱（如图），这个圆柱的侧面积是( )。 【答案】540 【分析】根据题意，将一张长30cm、宽18cm的长方形白纸卷成一个圆柱，这个圆柱的侧面积等于这个长方形的面积；根据长方形的面积=长×宽，代入数据计算即可，据此解答。 【详解】由分析可得：（cm2） 因此，将一张长30cm、宽18cm的长方形白纸卷成一个圆柱（如图），这个圆柱的侧面积是540cm2。 16．一个圆柱，沿底面的一条直径垂直向下切开，截面是一个边长为6cm的正方形。这个圆柱的体积是( )，与它等底等高的圆锥的体积是( )。 【答案】 169.56 56.52 【分析】一个圆柱，沿底面的一条直径垂直向下切开，截面是一个边长为6cm的正方形，说明圆柱的底面直径和高相等，都是6厘米，圆柱的体积（π取3.14，d表示直径，h表示高），先据此求出圆柱的体积，再除以3，即可求出等底等高的圆锥的体积。 【详解】 （立方厘米） （立方厘米） 所以这个圆柱的体积是169.56，与它等底等高的圆锥的体积是56.52。 17．一个长和宽分别为8cm和4cm的长方形，以长为轴旋转一周得到的立体图形是( )。这个立体图形的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 圆柱 301.44 401.92 【分析】这个长方形以长为轴旋转一周得到的是圆柱，其中长方形的宽就是圆柱底面的半径，长就是这个圆柱的高，根据圆柱的表面积公式：，圆柱的体积公式：，将数据代入到公式中即可得解。 【详解】一个长和宽分别为8cm和4cm的长方形，以长为轴旋转一周得到的立体图形是圆柱。 （） （） 一个长和宽分别为8cm和4cm的长方形，以长为轴旋转一周得到的立体图形是圆柱。这个立体图形的表面积是301.44，体积是401.92。 三、判断题 18．一个圆柱和圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高为4厘米，则圆锥的高为12厘米。( ) 【答案】√ 【分析】圆柱的体积计算公式为：；圆锥的体积计算公式为： 。本题中圆柱和圆锥的体积相等，底面积也相等，需要利用这两个公式，通过假设底面积为具体数值，计算圆锥的高，判断题干是否正确。 【详解】假设它们的底面积都是1平方厘米。 圆柱体积： ＝1×4＝4（立方厘米） 圆锥体积： ，即4＝ （厘米） 因此，题干说法正确。 故答案为：√ 19．直角三角形，绕任意一边旋转一周都能形成圆锥。( ) 【答案】 × 【分析】当直角三角形绕一条直角边旋转一周时，该直角边作为圆锥的高，另一条直角边作为底面半径，旋转形成圆锥体；当绕另一条直角边旋转时，同理形成圆锥体。但当绕斜边旋转一周时，形成的立体图形是由两个圆锥共享底面组成的复合体，不是单一的圆锥体。 【详解】直角三角形绕其直角边旋转一周可形成圆锥，但绕斜边旋转一周不能形成圆锥。原题说法错误。 故答案为：× 20．把一个圆柱体削成一个圆锥体，削去部分的体积是圆柱的。( ) 【答案】× 【分析】题干未明确圆柱和圆锥是否等底等高。根据圆柱和圆锥的体积关系，只有当它们等底等高时，圆锥的体积才是圆柱体积的，削去部分的体积才是圆柱体积的。若不等底等高，削去部分的体积可能不等于。因此，该说法不一定成立。 【详解】根据分析： 把一个圆柱体削成一个圆锥体，削去部分的体积不一定是圆柱的。原说法错误。 故答案为：× 21．把圆锥的侧面展开，可能得到一个三角形。( ) 【答案】× 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图的特征：圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长，半径等于圆锥的母线长。三角形是平面图形，有三条直边，而圆锥的侧面展开后不可能形成三角形，据此解答。 【详解】根据分析可知：把圆锥的侧面展开，可得到一个扇形。因此，不可能得到一个三角形。 故答案为：× 22．圆柱的体积比和它等底等高的圆锥的体积大。( ) 【答案】× 【分析】根据，，可以看出当它们等底等高时，圆柱体积是圆锥的3倍。设圆锥的体积为，则与它等底等高的圆柱体积为，圆柱体积比圆锥大。所以，圆柱体积比圆锥大的是圆锥体积的2倍，而非原题所述的。 【详解】设圆锥的体积为，则与它等底等高的圆柱体积为。圆柱体积比圆锥大：。 ，即圆柱体积比圆锥大2倍，而非。原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 23．计算下面图形的侧面积和表面积。（单位：cm） 【答案】502.4cm；904.32cm 【分析】根据圆柱的侧面积＝底面周长高，圆柱的表面积＝侧面积＋2个底面积，进行分析。 【详解】侧面积： （cm） 表面积： （cm） 24．根据条件求粮囤的体积。（单位：m） 【答案】 15.543m3 【分析】由图可知，粮囤由底面相同的圆锥和圆柱组合而成；已知底面周长是9.42m，根据求出底面半径；已知圆柱的高是2m，根据圆柱的体积，代入数据即可计算出圆柱的体积；已知圆锥的高是0.6m，根据圆锥的体积，代入数据计算即可计算出圆锥的体积；最后用圆柱的体积加上圆锥的体积，即可求出粮囤的体积，据此解答。 【详解】底面半径：（m） 圆柱的体积：（m3） 圆锥的体积：（m3） 粮囤的体积：（m3） 答：粮囤的体积是15.543m3。 五、解答题 25．一个圆锥形沙堆的占地面积是，高是1.8m，每立方米沙重1.6t。用一辆载重量是3000kg的小货车运这堆沙子，多少次可以运完？ 【答案】4次 【分析】圆锥形沙堆的体积=×圆锥形沙堆的占地面积×高，据此得出圆锥形沙堆的体积；圆锥形沙堆的重量=每立方米沙子的重量×圆锥形沙堆的体积，据此得出圆锥形沙堆的重量；把3000kg的单位化为吨，用圆锥形沙堆的重量除以小货车的载重量，结果用进一法取值即可解答。 【详解】 （） （t） （次） 答：4次可以运完。 26．小明家买回一台燃气热水器，在使用过程中会排出一些废气。为了防止中毒，爸爸准备做一个排气管（如下图）。要制作这样一个排气管，至少需要多少平方厘米的铁皮？（接头处损耗忽略不计） 【答案】5024平方厘米 【分析】将题目中的长度单位米换算为厘米，因为，所以2.8m换算后为280cm，1.2m换算后为120cm； 把排气管看作圆柱体，底面直径，圆柱的高为两段长度之和，即。根据圆柱侧面积公式，π取3.14，可计算出所需铁皮面积。 【详解】       （平方厘米） 答：至少需要5024平方厘米的铁皮。 【点睛】本题需先将长度单位统一换算为厘米，再把排气管看作一个圆柱体，利用圆柱侧面积公式（ 其中d为底面直径，h为圆柱的高）来计算所需铁皮面积，此排气管的高为两段长度之和。 27．如下图，左边是一听装满饮料的圆柱形易拉罐，右边是一个圆锥形酒杯。每听易拉罐饮料大约能倒满几杯？ 【答案】7杯 【分析】根据圆柱的体积＝底面积高、底面积＝半径的平方（取3.14）、圆锥的体积＝底面积高，先分别计算出圆柱形易拉罐和圆锥形酒杯的容积，然后用易拉罐的容积除以酒杯的容积，得到能倒满的杯数。据此解答。 【详解】 （cm） （cm） （杯） 答：每听易拉罐饮料大约能倒满7杯。 28．有一个正方体纸盒，其中恰好能装入一个体积是的圆柱。这个纸盒的体积是多少？ 【答案】64立方分米 【分析】正方体纸盒恰好能装入一个圆柱，说明圆柱的底面直径正好等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长。因此，圆柱的体积为，可得到（立方分米），所以正方体的体积为，再把的数值代入此公式，可得到这个纸盒的体积，据此解答。 【详解】由分析可知， （立方分米） 正方体纸盒的体积：（立方分米） 答：这个纸盒的体积是64立方分米。 【点睛】本题考查圆柱的体积的应用，理解正方体纸盒恰好能装入一个圆柱，说明圆柱的底面直径正好等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，是解题的关键。 29．一根2m长的圆柱形钢管，其外直径为30cm，内直径为20cm。要制造这根钢管需要多少立方米的钢材？ 【答案】0.0785立方米 【分析】先根据1米＝100厘米，把单位统一，再利用圆柱的体积＝底面积×高，分别求出以外部直径为30厘米，长2米的圆柱形钢管的体积和以内部直径为20厘米，长2米的圆柱形钢管的体积，再把两个体积相减，可得到这个钢管需要钢材的体积，据此解答。 【详解】30厘米＝0.3米 20厘米＝0.2米 （立方米） 答：要制造这根钢管需要0.0785立方米的钢材。 【点睛】本题考查圆柱形体积的应用，要理解圆柱形钢管是空心的圆柱形，用外部圆柱形的体积减去内部圆柱形的体积，进而得到圆柱形钢管的体积，是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $