第一单元第3课时 等式的性质（二）和解方程（2个知识点+2类热点题型精讲+自我检测）（分层作业）数学苏教版五年级下册

第一单元第3课时 等式的性质（二）和解方程 知识点一等式的性质（二） 1、等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。即：若a=b，则ac=bc或a÷c=b÷c(c≠0)。 知识点二利用等式的性质（二）解方程 1、解形如ax=b或x÷a=b(a≠0)的方程，可根据等式的性质(二)，在方程的两边同时除以或乘“，使方程左边只剩未知数，这时方程右边的数b÷a或bxa就是x的值。 题型一等式的性质（二）的运用 1．观察图，等式成立的是（    ）。    A．a＝2c B．5b＝2a＋2c C．4a＝9c D．3a＝4b 【答案】C 【分析】观察题意可知，天平平衡，说明天平两边相等，2a＝3b，2b＝3c，据此判断即可。 【解答】2a＝3b 解：2a÷2＝3b÷2 a＝1.5b 2b＝3c 解：2b÷2＝3c÷2 b＝1.5c A．a ＝1.5b ＝1.5×1.5c ＝2.25c 所以a≠2c B．5b ＝3b＋2b ＝2a＋3c 所以5b≠2a＋2c C．因为a＝2.25c 4a＝2.25c×4 所以4a＝9c D．因为a＝1.5b 3a＝1.5b×3 3a＝4.5b 所以3a≠4b 故答案为：C 【点评】解答此题的关键是先根据题意得出等量关系，然后再进一步解答。 2．如果 a、b 都大于 0，且 a÷2＝b÷3，那么 a（    ）b。 A．＞ B．＜ C．＝ D．无法确定 【答案】B 【分析】假设a＝2，把a＝2代入等式，求出b的值，再比较a、b的大小。 【解答】假设a＝2，代入a÷2＝b÷3中。 2÷2＝b÷3 b÷3×3＝1×3 b＝3 因为2＜3，所以a＜b。 故答案为：B 【点评】赋值法是解答此类问题的一种有效的方法，学生需掌握。 3．考考你。 亮亮买了2本笔记本和4支铅笔，红红买了14支同样的铅笔，两人用去的钱同样多。一本笔记本的价钱等于（ ）支铅笔的价钱。 【答案】5 【分析】根据题意可知，2本笔记本的价钱＋4支铅笔的价钱＝14支铅笔的价钱，根据等式的性质1，等式两边同时减去4支铅笔的价钱，再根据等式的性质2，等式两边同时除以2，即可求出一本笔记本的价钱等于几支铅笔的价钱。 【解答】2本笔记本的价钱＋4支铅笔的价钱＝14支铅笔的价钱 2本笔记本的价钱＋4只铅笔的价钱－4支铅笔的价钱＝14支铅笔的价钱－4支铅笔的价钱 2本笔记本的价钱＝10支铅笔的价钱 2本笔记本的价钱÷2＝10支铅笔的价钱÷2 1本笔记本的价钱＝5支铅笔的价钱。 亮亮买了2本笔记本和4支铅笔，红红买了14支同样的铅笔，两人用去的钱同样多。一本笔记本的价钱等于5支铅笔的价钱。 题型二运用等式的性质（二）列方程解决问题 4．李伯伯养山羊和绵羊共156只，其中山羊的只数是绵羊的5倍，山羊和绵羊各有多少只？（列方程解答） 【答案】绵羊26只，山羊130只 【分析】设绵羊有x只，根据求一个数的几倍是多少，用乘法，可知山羊有5x只；根据等量关系式：绵羊数量＋山羊数量＝总数量，列出方程x＋5x＝156，最后先计算等式的左边，再根据等式的性质求出方程的解，即绵羊的数量，进而根据倍数关系求出山羊的数量。 【解答】解：设绵羊有x只，山羊有5x只。 x＋5x＝156 6x＝156 6x÷6＝156÷6 x＝26 26×5＝130（只） 答：绵羊有26只，山羊有130只。 5．森林公园的枫树和银杏树一共有1000棵。枫树的棵数是银杏树的1.5倍，两种树各有多少棵？（先写出等量关系式，然后列方程解答。） 【答案】枫树棵数＋银杏树棵数＝1000棵 枫树：600棵；银杏树：400棵 【分析】根据题意可知，枫树和银杏树一共有1000棵，等量关系式：枫树棵数＋银杏树棵数＝1000棵； 设银杏树有x棵，枫树的棵数是银杏树的1.5倍，即枫树有1.5x棵，枫树棵数＋银杏树棵数＝1000棵；列方程：1.5x＋x＝1000，解方程，即可解答。 【解答】等量关系式：枫树棵数＋银杏树棵数＝1000棵； 解：设银杏树有x棵，则枫树有1.5x棵。 1.5x＋x＝1000 2.5x＝1000 2.5x÷2.5＝1000÷2.5 x＝400 枫树：400×1.5＝600（棵） 答：枫树有600棵，银杏树有400棵。 6．明代范钦所建天一阁是我国古代著名藏书楼。初藏古籍时，将书卷分置上、下两匮（古代藏书的器具），两匮共藏古籍540卷，上匮所藏卷数是下匮的2.6倍，上、下两匮各藏古籍多少卷？（列方程解答） 【答案】上匮藏古籍390卷，下匮藏古籍150卷。 【分析】设下匮所藏卷数是x卷，则上匮所藏卷数是2.6x卷，根据“上匮所藏卷数＋下匮所藏卷数＝古籍540卷”列方程解答。 【解答】解：设下匮所藏卷数是x卷，则上匮所藏卷数是2.6x卷。 2.6x＋x＝540 （2.6＋1）x＝540 3.6x＝540 3.6x÷3.6＝540÷3.6 x＝150 2.6x＝2.6×150＝390（卷） 答：上匮藏古籍390卷，下匮藏古籍150卷。 一、选择题 1．如果2x＋1＝9，那么4x＋2＝（    ）。 A．20 B．16 C．17 D．18 2．根据等式的基本性质，当时，（    ）。 A．25b B．b C．0.2b 3．如图，可以看出在解方程时运用了（    ）。 A．商不变的规律 B．等式的性质 C．一个乘数＝积÷另一个乘数 4．如果x÷4＝y÷5（x＞0，y＞0），那么x与y的大小关系判断正确的是（    ）。 A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．无法确定 5．用计算器计算，依次按下如下按键，显示屏显示结果是15（两个“？”表示相同的数）。则“？”代表几？（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题 6．已知3x＝y，根据等式的基本性质，3x＋7＝y＋（ ），18x＝y×（ ）。 7．根据等式性质，如果，那么（ ）；（ ）。 8．今年妈妈的年龄刚好是小欣的3倍，她们的年龄之和是48，妈妈今年（ ）岁，小欣今年（ ）岁。 9．琳琳在解方程的步骤时，画横线这一步（如下图）是依据（ ）进行计算的。 5x÷0.5x＝66 （5÷0.5）x＝66 10x＝66 10．下面是按规律排列的一列数。2，4，6，8，10，12，14，…如果用n表示从左起的这列数的序号，m表示某个序号对应的数，m和n之间的等量关系式为（ ），第（ ）个数是108。 三、计算题 11．解方程。              四、解答题 12．南京到上海的距离为330千米，一辆快车从南京开往上海，一辆慢车从上海开往南京，两车同时出发，相向而行，快车每小时行75千米，慢车每小时行65千米，几小时后两车还相距50千米。（列方程解答） 13．甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1瓶果汁和10包小饼干，付了33.5元；乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元；丙买了同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 14．为了丰富师生的精神文化生活，开阔师生的视野，实验小学购进经典名著类图书和励志类图书共220本，其中，经典名著类图书的本数是励志类图书的3倍。 （1）根据题中的数学信息，把线段图补充完整。 （2）实验小学购进励志类图书多少本，购进经典名著类图书多少本？（用方程解答） 参考答案 1．D 【分析】根据等式的性质，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式，由此即可选择。 【解答】在2x＋1＝9两边同时乘2，则： （2x＋1）×2＝9×2 4x＋2＝18 故答案为：D 2．A 【分析】等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘或除以同一个不为零的数，等式仍然成立。已知a＝5b，所以求5a是多少，等式的左右两边同时乘5，即可解答。 【解答】已知a＝5b，所以，5×a＝5b×5即5a＝25b 故答案为：A 3．B 【分析】商不变的规律是指被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 等式的性质为：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 “一个乘数＝积÷另一个乘数”是乘法各部分之间的关系。 判断解方程过程中运用的数学原理，可通过分析解方程的步骤来确定运用的规律或性质。 【解答】在解方程时，先化简方程得到，然后在等式两边同时除以16，即，得到，符合等式的性质中“等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立”这一内容。因此可以看出在解方程时运用了等式的性质。 故答案为：B 4．B 【分析】根据等式的性质，等式的两边同时乘20，可以将等式转化成5x＝4y，如果两个算式的积相等，一个因数越大，与它相乘的另一个因数就越小，据此解答。 【解答】已知x÷4＝y÷5（x＞0，y＞0），则x÷4×20＝y÷5×20 5x＝4y 因为5＞4，所以x＜y。 故答案为：B 5．C 【分析】计算器按顺序执行按键操作，先进行乘法运算再进行加法运算，可以设“？”为，根据运算式子可以列出方程，再解方程即可求出结果。 【解答】解：设“？”为。 所以“？”代表5。 故答案为：C 6．7 6 【分析】等式性质1：等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立； 等式性质2：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍成立，据此分析。 【解答】因为3x＝y，方程左边加7时，右边也要加7；3x变为18x，方程左边乘6，右边也要乘6。 所以已知3x＝y，根据等式的基本性质，3x＋7＝y＋7，18x＝y×6。 7． 【分析】根据等式的性质，等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【解答】，等式两边同时乘2，得到。 ，等式两边同时加上100，得到 所以，；。 8．36 12 【分析】设小欣今年的年龄为x岁，则妈妈今年3x岁，根据等量关系小欣今年的年龄＋妈妈今年的年龄＝她们的年龄之和，列出方程x＋3x＝48，利用等式的基本性质解出方程的解，即小欣今年的年龄，再乘3得到妈妈今年的年龄。 【解答】解：设小欣今年的年龄为x岁，则妈妈今年3x岁。 x＋3x＝48 4x＝48 4x÷4＝48÷4 x＝12 12×3＝36（岁） 因此，妈妈今年36岁，小欣今年12岁。 9．除法的运算性质 【分析】这道题需要在解方程过程中对式子进行简化计算，运用“被除数和除数同时含有相同的非零因数x”，先将系数部分5和0.5进行除法运算，再与共同的字母x结合，即把“5x÷0.5x”拆分为“（5÷0.5）x”，因此简化为（5÷0.5）x。 【解答】由分析可得，琳琳在解方程的步骤时，画横线这一步（如下图）是依据除法的运算性质进行计算的。 5x÷0.5x＝66（5÷0.5）x＝66 10x＝66 10．m＝2n 54 【分析】观察这列数：序号n＝1时，数m＝2＝2×1；n＝2时，m＝4＝2×2；n＝3时，m＝6＝2×3；……可见每个序号对应的数是序号的2倍，因此等量关系式为m＝2n。 求108对应的序号，即m＝108，代入关系式m＝2n，可得2n＝108，根据等式的性质，方程两边同时除以2求出n的值即可。 【解答】分析可知，每个序号对应的数是序号的2倍，因此等量关系式为m＝2n。 2n＝108 解：2n÷2＝108÷2 n＝54 因此，m和n之间的等量关系式为m＝2n，第54个数是108。 11．；；； 【分析】，根据等式的性质2，在两边同时除以15即可解答。 ，根据“被除数＝商×除数”，x是被除数，即可解答。 ，根据等式的性质1，在两边同时加5，，即，再根据等式的性质2，在两边同时除以8即可解答。 ，先计算方程左边5x＋x＝6x，原方程变为6x＝45，在根据等式的性质2，在两边同时除以6即可解答。 【解答】 解： 解： 解： 解： 12．2小时 【分析】两车还相距50千米，即实际两车行驶的总路程为（330－50）千米；设小时后两车还相距50千米，根据“路程＝速度×时间”分别计算出小时的时候快车和慢车行驶的路程；再根据等量关系式“快车行驶的路程＋慢车行驶的路程＝两车实际行驶的总路程”代入数值列出方程并解答。 【解答】解：设小时后两车还相距50千米。 答：2小时后两车还相距50千米。 13．22元 【分析】由题意可知，计算丙需要付的钱数时，必须以甲和乙所买食品的数量及所付的钱数为突破口。通过比较，发现：甲买的食品数量×2＝8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干，乙买的食品数量×3＝9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干，此时他们购买商品数量的差为（9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干）－（8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干），化简可得，1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干＝26×3－33.5×2＝11元，由此求出（1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干）×2需要付的钱数，据此解答。 【解答】甲：4根棒棒糖＋1瓶果汁＋10包小饼干＝33.5元 （4根棒棒糖＋1瓶果汁＋10包小饼干）×2＝33.5元×2 8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干＝67元 乙：3根棒棒糖＋1瓶果汁＋7包小饼干＝26元 （3根棒棒糖＋1瓶果汁＋7包小饼干）×3＝26元×3 9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干＝78元 （9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干）－（8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干） ＝9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干－8根棒棒糖－2瓶果汁－20包小饼干 ＝1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干 ＝78－67 ＝11（元） （1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干）×2＝11元×2 2根棒棒糖＋2瓶果汁＋2包小饼干＝22元 答：丙需付22元。 【点评】仔细分析题意并运用等式的性质2化简求出1根棒棒糖、1瓶果汁和1包小饼干需要付的钱数是解答题目的关键。 14．（1）见详解 （2）55本；165本 【分析】（1）已知经典名著类图书的本数是励志类图书的3倍，因此经典名著类图书的线段应画成与励志类图书等长的3段，表示3x本，最后标注总本数为220本。 （2）设购进励志类图书x本，则经典名著类图书的数量就是3x本，然后根据“励志类图书的本数＋经典名著类图书的本数＝220本”可列方程为x＋3x＝220，计算得4x＝220，然后根据等式的性质，方程两边同时除以4，求解出x的值，就是励志类图书的本数；再将x的值代入3x中即可得到经典名著类图书的本数。据此解答。 【解答】（1）如图： （2）解：设购进励志类图书x本，则购进经典名著类图书3x本。 x＋3x＝220 4x＝220 4x÷4＝220÷4 x＝55 3x＝3×55＝165（本） 答：购进励志类图书55本，则购进经典名著类图书165本。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $