专题01 幂的运算及逆运算的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题01 幂的运算及逆运算的五种模型 目录 题型一：幂的混合运算 1 题型二：幂的逆运算求值 5 题型三：利用幂的乘方比较大小 10 题型四：与幂的运算有关的新定义型问题 15 题型五：零指数幂、负整数指数幂的运算 21 题型一：幂的混合运算 1．（25-26八年级上·陕西延安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，先计算同底数幂的乘法再合并即可． 【详解】解： 2．（25-26八年级上·陕西延安·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项的运算法则正确计算即可． 【详解】解： ． 3．（25-26七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方． 先计算积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 4．（25-26八年级上·吉林四平·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： 5．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，先运算积的乘方，然后运算同底数幂相乘，再运算同底数幂相除，最后合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 6．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键．（1）先计算幂的乘方和积的乘方，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； （2）先计算幂的乘方和积的乘方，然后将化为，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； （3）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 8．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，整式的加减法运算，掌握相关运算法则并正确计算是解题关键． （1）先用同底数幂乘除法，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （2）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （3）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 9．（20-21八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】，-25 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的各类运算法则是解题的关键． 先根据幂的运算法则对代数式进行化简，然后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式=． 10．（25-26七年级下·全国·周测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；3 【分析】本题考查的是幂的运算，掌握积的乘方和幂的乘方法则、同底数幂的除法法则是解题的关键． 根据积的乘方和幂的乘方法则和同底数幂的除法法则把原式化简，代入已知数据计算即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 题型二：幂的逆运算求值 11．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算 (1)如果，，求的值． (2)已知x、y满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求代数式的值，同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘法的逆用；根据公式逆用化简计算即可． （1）由同底数幂的乘法公式得，代值计算即可； （2）由同底数幂的除法公式及幂的乘法公式得，代值计算即可． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：， ， ∴． 12．（25-26七年级上·广东深圳·月考）（1）已知，，则求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）72 【分析】本题考查求代数式的值，以及同底数幂的乘方、乘法计算，熟练掌握对应公式是解题的关键． （1）将代入，可求得的值，最后求出的值； （2）由变形成，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； 解：（2）∵， ∵，， ∴， ∴． 13．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）（1）已知：，求：①的值；②的值； （2）已知，求x的值． 【答案】 （1）①72；② （2）8 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可； （2）把各个数字化为以3为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴； ②∵，， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆运算、幂的乘方逆运算，一元一次方程，代数式求值，熟记各运算法则是解题关键． （1）将化为，则，可得到，即可解答； （2）先化简，再根据同底数幂的除法的逆运算、幂的乘方逆运算进行化简，最后代入求值即可． 【详解】解：（1） ， ， 解得， 答：的值为3． （2）， ， 答：的值为． 15．（24-25七年级下·河南郑州·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）化简，再将已知代入即可； （2）由，，可得，，求出、的值即可求解． 【详解】解：（1），， ∴ ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 16．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）解答下列各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)68 【分析】本题主要考查同底数幂除法逆用，幂的乘方逆用，积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用同底数幂除法运算法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 17．（24-25七年级下·广东佛山·月考）求下列代数式的值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)15 (2) (3)3 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法法则计算即可； （2）逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则计算即可； （3）将原式变形为，再根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则分别计算即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：， ； （3）解：， ， ， ， ， ． 18．（24-25七年级下·四川巴中·月考）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）将代入，计算幂的乘方即可得； （2）利用同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得； （3）利用幂的乘方的逆用可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， ， 解得； （3）解：， ， ， ， ． 19．（25-26八年级上·全国·单元测试）幂的运算综合应用： (1)已知 ，，求 和 的值； (2)若 ，，求 的值； (3)已知 ，，，试比较 a、b、c 的大小（提示：转化为指数相同的形式比较）． 【答案】(1)20； (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，同底数幂除法的逆用，解题关键是掌握上述法则． （1）用逆用同底数幂乘法法则求，用逆用幂的乘方法则与逆用同底数幂除法法则求； （2）用逆用幂的乘方法则与逆用同底数幂除法法则求解； （3）先逆用幂的乘方将三个数的指数化为相同，再比较底数的大小，然后得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ． （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，，， ， ∴， 即． 题型三：利用幂的乘方比较大小 20．（25-26八年级上·山东滨州·月考）比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则（），将不同的幂转化为同底数或同指数的形式进行比较是解题的关键． （1）将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数大小； （2）将三个幂转化为底数相同的形式，再比较指数大小． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴； （2）解：，，， ， ， ． 21．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 22．（24-25六年级下·山东淄博·月考）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （2）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （3）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （4）仿照材料中的例题，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∵， ∴， 即； （2）∵，，， ∵， ∴， 即； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵，， 又∵， ∴． 23．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 【答案】(1)3 (2)相等 (3)4 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法和除法运算等知识点． （1）先由幂的乘方得到，再由同底数幂的乘法运算法则得到，则，解方程即可； （2）将化为，再由幂的乘方化简比较即可； （3）设，则，设，则，再根据通过幂的运算性质推导求值． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：，故相等； （3）解：设，则， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 所以，即． 题型四：与幂的运算有关的新定义型问题 24．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义的有理数运算、幂得乘方、同底数幂的乘除法运算． （1）先得到新定义运算的式子，再计算即可； （2）先根据幂的乘方得到，，再逆用幂的乘、除法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴，， ∴， ∴ ∴． 25．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）对于整数、定义运算： （其中、为常数），如． (1)填空：当时， ___________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据定义的运算解答即可； （2）根据新定义运算，幂的乘方计算即可即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴． 26．（25-26八年级上·四川南充·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键． （1）根据题意的计算方法求解即可； （2）根据题意得到，，，结合题意，运用幂的乘方，同底数幂的计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 27．（24-25七年级下·全国·周测）定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，，时， ． 28．（25-26七年级下·全国·周测）新定义：两数，之间的一种运算记作，若，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以． (1)①____________； ②若，则____________． (2)若，，，探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是有理数的乘方运算和同底数幂的乘法，本题是新定义型，掌握新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． （1）①②利用“雅对”定义解答即可； （2）利用“雅对”定义得到，，，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：①，②． 【提示】①， ； ②， ， ， ，即． （2）解：由题意可知，，，， ， 即， ． 29．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）【概念学习】我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，则， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算[， ]，写出计算过程； （3）猜想[， ]，并说明理由． 【答案】（1）3，4；（2）24，见解析；（3）6，理由见解析 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，熟练掌握同底数幂的乘除法及题意是解题的关键； （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解； （3）设，，则，，进而根据新定义运算及同底数幂的除法可进行求解． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：3，4； （2）设，，则，， ∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 设，，则，， ∵， ∴， ∴． 30．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 【答案】(1) (2)①；②；③见详解 (3)①；②2 【分析】本题考查了新定义，同底数幂相乘，同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用题干的性质内容进行解题，即可作答． （2）①结合，得； ②根据①进行总结归纳，得（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数），结合，，，得，即； （3）模仿（2）的③，进行分析，即可作答． ②结合，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：①由（1）得，，， ∵， ∴； ②由①得，且 ∴（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数） 则根据对数定义，, 利用同底数幂的乘法性质：， ∴, 即； （3）解：①当且，，时， 设，， 则根据对数定义，， 利用同底数幂的除法性质：， ∴， 即， ， ②， ∵， ∴， ∴． 题型五：零指数幂、负整数指数幂的运算 31．（25-26九年级上·广东广州·月考）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的计算公式． 分别计算乘方、负整数指数幂和零指数幂，再进行加减计算． 【详解】解： 32．（25-26八年级上·北京海淀·期末）计算：． 【答案】 【分析】先算乘方，再算加减法． 本题考查了实数的混合运算，掌握实数运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 33．（25-26八年级上·青海海东·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查零次幂及负指数幂，熟练掌握零次幂及负指数幂是解题的关键；根据乘方运算、零次幂及负指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式． 34．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查乘方运算、零次幂、负整数指数幂：先计算乘方、零次幂、负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解：原式． 35．（25-26八年级上·吉林松原·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值化简，再进行计算，即可求解． 【详解】解：    ． 36．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂和负整数幂的意义，先根据乘方、绝对值、零指数幂和负整数幂的意义化简，再算加减即可． 【详解】解：原式． 37．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了0指数幂、负整数指数幂、幂的乘方、幂积的乘方、同底数幂的乘除等知识，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算有理数的乘方、0指数幂和负整数指数幂的运算，再计算加减即可； （2）先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算乘方、负整数指数幂和绝对值，再进行四则运算； （2）先分别计算乘方、负整数指数幂、零指数幂和绝对值，再进行四则运算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂和绝对值的运算，解题关键是牢记各类幂的运算法则，注意区分与的不同，以及零指数幂的条件． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01幂的运算及逆运算的五种模型 题型归纳 目录 题型一：幂的混合运算 .1 题型二：幂的逆运算求值 题型三：利用幂的乘方比较大小.10 题型四：与幂的运算有关的新定义型问题 .15 题型五：零指数幂、负整数指数幂的运算21 题型专练 题型一：幂的混合运算 1.(25-26八年级上陕西延安期末)计算：x3.x4+2x2.x. 2.(25-26八年级上陕西延安月考)计算：aa-2(a2)+-2a 3.(25-26七年级上上海期末)计算：（-2a2)+-3a2-(-a9 4.(25-26八年级上吉林四平期末)计算：a5a’+a(-a+2-a) 5.(25-26七年级上上海闵行期末)计算：(-2x2)+(-3x-(-x)°x÷(-x) 6.(25-26八年级上河北廊坊月考)计算： ()a5.a3+(2a2）-（-a)3÷(a2)月 (2②)2a）°-a2.a°+(-2a'÷a2 7.(25-26七年级下·全国课后作业)计算： 1)(-y2)3(-y3)2(-y)8. (2[(m-n)3]2.[(n-m)-(m-n)2]3. (3)x24+(-3x3)2+(-2x2)3. 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键.(1)先计算幂的 乘方和积的乘方，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； 8.(25-26八年级上广西崇左·月考)计算： (1)a2.a3+-a4）°÷a2: (②32a2'+a5.a-a÷a2; 3)a5.(-aj3+a0÷a2+-2a}2. 1/6 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.(20-21八年级上全国课后作业)先化简，再求值：[5a·a2-(3a)2÷(a2)]÷(2a2)2,其中a=-5. 10.(25-26七年级下全国周测)先化简，再求值：(2x-y)÷[(2x-y门÷[0-2x2],其中x=2, y=1. 题型二：幂的逆运算求值 11.（24-25七年级下.江苏无锡月考)计算 (1)如果x"=3,X”=4,求xXm+"的值. (2)已知x、y满足x-5y-3=0,求2÷32的值. 12.(25-26七年级上广东深圳月考)(1)已知a=3,aa'=12,则求a+a'的值； (2)若8=2,8=3，求83a+2b的值. 13.(25-26七年级上江苏盐城月考)（1)已知：a"=2,a”=3,求：①a3m+2m的值；②a2m-3m的值； (2)已知3×9×81=321，求x的值. 14.(25-26八年级上·全国.单元测试)(1)已知9=34-6，求x的值； (2)已知a2m=16,a”=4,求a3m-4m的值. 15.(24-25七年级下.河南郑州期中)（1)a"=2,d”=3,求a2m-"的值； (2)若16"=4×22m-2,27”=9×3m+3,求(m-n)2025 16.(24-25七年级下，山东菏泽·期中)解答下列各题： (1)已知2=5,2"=7，求2-的值； (2)已知x=2,求(3x"）+4x)的值 17.(24-25七年级下·广东佛山月考)求下列代数式的值： (I)已知am=5,a”=3,求am"的值； (2)已知am=5,a”=3,求a2m-3m的值； (3)若2÷8*×32=128，求x的值 18.(24-25七年级下·四川巴中月考)若a"=a”(a>0且a≠1，m、n是正整数)，则m=n.利用上面结 论解决下面的问题： (1)如果8=26，求x的值； (2)如果2+2+21=24，求x的值； (3)若x=5m-1,y=4-25m,用含x的代数式表示y. 19.（25-26八年级上·全国·单元测试)幂的运算综合应用： (1)己知3=4,3=5，求3+y和32-y的值； (2)若2=3，4Ψ=5，求2-2y的值： (3)已知a=25,b=34,c=43,试比较a、b、c的大小（提示：转化为指数相同的形式比较）. 2/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三：利用幂的乘方比较大小 20.(25-26八年级上山东滨州月考)比较下列各题中幂的大小： (1)比较34,53,62这3个数的大小关系； (2)已知a=8131,b=2741,c=91,比较a、b、c的大小关系. 21.(24-25七年级下·安微六安期中)阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运 用，也可以逆向运用.例如，“同底数幂的乘法“幂的乘方“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为： am+"=am·a”,am"=am)=a“),如下列探究： 探究一：比较25与32的大小 解：因为25=(2)=323,32=(34)=813， 又因为32<81，所以323<813，所以25<32. 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较28和82的大小. 解：因为82=(2)2=26，且8>6，所以2>2°，即2>82， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小. 解决下列问题： (1)比较24,42的大小： (2)比较724,436,348,260的大小： (3)比较32×50与30×52的大小. 22.（24-25六年级下·山东淄博·月考)阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较322和4的大小. 解：：4=(22”=22，且3>2， .32>222,即32>41 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小. 材料二：比较28和82的大小. 解：82=(22=26，且8>6， 2>26,即28>82. 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小. 【方法运用】 (1)比较34、4、522的大小： (②)比较8131、271、91的大小； (3)己知a2=3,b3=4,a>0,b>0,比较a、b的大小： 3/6 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4)比较32×50与30×52的大小 23.(25-26八年级上·辽宁大连期末)著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换 它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则” 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m,n都是正整数. ①若a>1,当m=n时，am=a；当m>n时，am>a”;当m<n时，am<a". ②若a>0,b>0,当a=b时，a"=bm；当a>b时，a">b"；当a<b时，a"<bm. 【理解知识】例如： ①若4=210，求x的值. 解：法一：4=（22）=2222=210.2x=10x=5. 法二：20=(2）=4.4=45.x=5. ②比较230与320的大小. 解：20=(2)°=8,320=(32”=9°，8<920<320. 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题， (1)若2×8=20，求x的值. (2)比较32与9的大小. (3)定义两个正数a,b之间的一种运算，记作a,b,如果a"=b,那么[a,b]=m,例如：：2=8，∴[2,8=3.求 ,64的值 2,6+49」 题型四：与幂的运算有关的新定义型问题 24.(24-25七年级下江苏扬州期末)对于整数a、b定义运算：a⑧b=(a）+(b)”(其中m、n为常数)， 如4⑧3=(4)+(3）”. (1)填空：当m=2,n=2025时，2⑧(-1= (2)若1⑧4=8,2⑧2=19，求42a-m的值. 25.(24-25七年级下·江苏扬州月考)对于整数a、b定义运算：a※b=a)+b）”(其中m、n为常数)， 如3※2=(32)）”+(2）”. (1)填空：当m=1,n=2025时，2※(1 (2)若1※4=10,2※2=15，求22m+n-1的值 26.(25-26八年级上四川南充期末)如果x”=y,那么我们规定(x,y)=n.例如：因为2=8，所以 4/6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2,8=3. (1)根据上述规定填空： (-2,4）= (5,1= (2)已知，(9,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c,求证：2a+b=c. 27.（24-25七年级下·全国·周测)定义一种幂的新运算：x⊕x=xb+x*b.如： 3©32=32+32=32+33=9+27=36.请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求22⊕23的值. (2)若2P=3,24=4,39=9,求2P⊕29的值. 28.(25-26七年级下·全国周测)新定义：两数a,b之间的一种运算记作(a,b),若a"=b,则a,b)=m.我 们称(a,b)为“雅对”.例如：因为23=8，所以(2,8)=3. (1①3,9)= ②若x27-3,则x= (2)若(5,6)=a,(5,9)=b,(5,54)=c,探究a,b,c之间的数量关系. 29.(25-26八年级上湖南衡阳期末)【概念学习】我们规定a,b两数之间的一种运算，记作[，b,如果 a=b,那么[a,b=c;例如32=9，记作[3,9]=2. 【初步探究】 (1)根据以上规定直接写出结果：[5,125)=-；【-2,16=- 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有am·a”=am+",am÷a”=am-",例如32×3=32+5=37,36÷32=36-2=34。 (2)小颗发现[4,2]+[4,3]=[4,6也成立，并证明如下： 设[4,2]=x,[4,3]=y,则4=2,4y=3, 因为4×4=4+y=6,所以[4,6]=x+y, 所以4,2]+[4,3]=x+y=[4,6, 仿照以上证明，计算[2025,4+[2025,6]=[2025，]，写出计算过程； (3)猜想[5,18-[5,3=[5，]，并说明理由. 30.(25-26七年级上·上海期中)阅读材料，并解决问题 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplr,1550-1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前， 直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707-1783)才发现指数与对数之间的联系.我们知道，n个相同的因 数a相乘a·a·…·a记为a°，如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28,即log28=3. 5/6 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一般地，若a”=b(a>0且a≠1，b>0),则n叫做以a为底b的对数，记为logb,即logb=n,如 34=81,则4叫做以3为底81的对数，记为log81,即1og81=4. (1)【概念理解】计算下列各对数的值：1og24=」 ,l0g216= l0g,64= (2)【性质发现】 ①观察1og24、1og216、10g264之间满足的关系式是 ②归纳：logM+log.N= (a>0,且a≠1，M>0,N>0). ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质am·a”=am+m(m,n是正整数)以及对数的含义说明上述结论。 (3)【拓展延伸】 ①当a>0且a≠1，M>0,N>0时，log。M-log。N= ②计算：1og336-l0g,4= 题型五：零指数幂、负整数指数幂的运算 31.(25-26九年级上广东广州月考)计算： 2+（+a- 32.2525八年缓上北京海淀期末)计第：+-2026+兮 识226八年级上背海海东期)计数：-)+-2母八 34.(2526八年级上甘肃陇商期末)计第：-+(-314+)+-2。 35.(25-26八年级上吉林松原期末)计算：-1224+(2025-π)°-32+-2. 36,(25,26九年级上甘肃兰州期中)计算：-m+-61(3014-x+() 37.(25-26八年级上全国·期末)计算： 0-+-314+- 2a2i-aj÷(-a2月 38.（25-26七年级下·全国·课后作业)计算： +(2026-π)°--2. 6/6